
1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
◦ Polinómicas
◦ Racionales.
◦ Problemas con condiciones

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA:
◦ En distintas áreas: Economía, Medicina, Ingeniería,
Física, etc.
◦ En problemas de optimización.

1. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Tipo de función
Dominio y Continuidad
Asíntotas
Máximos y mínimos
Corte con los ejes
Monotonía
Periodicidad
Puntos de inflexión
Simetría
Curvatura

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Polinómica
Racional
Tipo de función
Irracional
Exponenciales
y logarítimicas
Trigonométricas

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Dominio
Conjunto de valores que toman la
variable independiente x.
Dominio
Continuidad
Una función es continua si se puede
dibujar sin levantar el lápiz del papel
Periodicidad
Una función es periódica si se repite en
intervalos iguales
f ( x)  f ( x  T )

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN:
Par
y  x2
f ( x)  f (  x)
Simetría
y  x3
Impar
f ( x )   f (  x)

ANÁLISIS DE FUNCIONES
Polinómicas
Asíntotas
Racionales
Verticales
NO
SI o NO
Horizontales
NO
SI o NO
Oblicuas
NO
SI o NO

ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
Asíntota vertical
f ( x) 
xK
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a
cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que
no lo son del numerador
2x  5
x3
Se estudia:
lim f ( x)
x K 
lim f ( x)
x K 

ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
Asíntota vertical
f ( x) 
xK
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a
cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que
no lo son del numerador
6x
x2 1
Se estudia:
lim f ( x)
x K 
lim f ( x)
x K 

ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Racionales
Asíntota vertical
f ( x) 
xK
Resolver la ecuación que se obtiene al igualar a
cero el denominador;
Se toman solo las raíces del denominador que
no lo son del numerador
x
x2 1
Se estudia:
lim f ( x)
x K 
lim f ( x)
x K 

ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Funciones racionales
Asíntota Horizontal
f ( x) 
x
x2 1
6x2
f ( x)  2
x 1
x2
f ( x) 
x 1
y C
Se halla:
C  lim f ( x )
x  

ANÁLISIS DE FUNCIONES
◦ Funciones racionales
Asíntota Oblicua
f ( x) 
x
x2 1
x3  x 2
f ( x)  2
x 1
x2
f ( x) 
x 1
x4  x2  x
f ( x)  2
x  3x  12
Asíntota en y=mx+b, siempre
que el grado numerador sea
una unidad mayor que el de
denominador:
y=mx+b es el
cociente


ANÁLISIS DE FUNCIONES
¿Para que se utilizan las derivadas en el análisis
de funciones?.
Máximos y mínimos relativos
Monotonía (crecimiento y
decrecimiento) de una función
Calcular los puntos de inflexión
Curvatura (concavidad  o
convexidad  ) de una función

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
1ª Derivada
Calcula la pendiente (m) de la recta tangente
a cualquier punto de la curva
La recta tangente algún punto de la curva es:
y  y0  m  ( x  x0 )

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Derivada
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
Máximos
y mínimos
relativos
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
5º- Calcular f(punto candidato)
Las soluciones de f´(x)=0
son los candidatos a ser
máximos o mínimos
f´´(pto. candidato)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. candidato)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Máximos y mínimos relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
Las soluciones de f´(x)=0 son los
candidatos a ser máximos o mínimos
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
f ( x)  x3  5x 2 1

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Máximos y mínimos relativos
1º- Se calcula la 1ª derivada, f´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´(x)=0
Las soluciones de f´(x)=0 son los
candidatos a ser máximos o mínimos
3º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
4º- Calcular f´´(punto candidato)
f´´(pto. Cand.)<0,
Pto. candidato es
MÁXIMO
f´´(pto. Cand.)>0,
Pto candidato es
MÍNIMO
5º- Calcular f(punto candidato)
x2  5
f ( x) 
x 1

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
x2  6x  9
g ( x) 
x 1
2
x
 2x  3
g I ( x) 
( x  1) 2
Máximos y mínimos
Monotonía
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
g I ( x)  0
Función g(x) decrece
[1,1)  (1,3]
Evaluar el signo
de la 1ª derivada
g I ( x)  0
Función g(x) crece
(,1]  [3,)

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Puntos de inflexión
1º- Se calcula la 2ª derivada, f´´(x)
2º- Se resuelve la ecuación, f´´(x)=0
Las soluciones de f´´(x)=0 son los
candidatos a ser punto inflexión
3º- Se calcula la 3ª derivada, f´´´(x)
4º- Calcular f´´´(punto candidato)
f´´´(pto. Cand.) es distinto de cero.
Pto. Candidato es punto de Inflexión
Punto donde se produce el cambio
de concavo a convexo, o viceversa.
f ( x)  x3  5x 2 1

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Punto inflexión
Definen los
intervalos
Curvatura
Puntos no pertenecen
al dominio
f ( x)  x3  3x 2  4x
f II ( x)  0
Función g(x) concava
Evaluar el
signo de la 2ª
derivada
f II ( x)  0
Función g(x) convexa

1. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:
Punto inflexión
Definen los
intervalos
Curvatura
Puntos no pertenecen al
dominio
x2  6x  9
g ( x) 
x 1
f II ( x)  0
Función g(x) concava
(,1)
Evaluar el
signo de la
2ª derivada
f II ( x)  0
Función g(x) convexa
(1,  )
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TEMA 11: APLICACIONES DE LA DERIVADA