INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECyT No.13 RICARDO FLORES MAGÓN
Presentación
De la Unidad de Aprendizaje
Geometría y Trigonometría
Elaborada por la Profesora
Yolanda Rodríguez Cruz
FUNCIONES
EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
COMPETENCIA PARTICULAR
Emplea las propiedades de las funciones exponenciales y
logarítmicas en situaciones teóricas y reales de su
entorno personal, social y/o global.
RAP
1.1 Identificar las funciones exponenciales y logarítmicas en sus
diferentes expresiones: verbal, simbólico y grafico.
1.2 Aplicar los principios de las propiedades fundamentales de
funciones exponenciales y logarítmicas en la solución de
ecuaciones.
1.3 Utilizar las funciones y ecuaciones exponenciales y
logarítmicas en la solución de problemas de su entorno
personal, social y/o global.
Función
• Una función es la relación existente entre dos
magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), la
cual es llamada imagen.
• A la función se le suele designar por f y la imagen por f(x),
siendo x la variable independiente.
Variable independiente: la que se fija previamente.
Variable dependiente: la que se deduce de la variable
independiente.
Representación de las funciones
Las funciones se pueden representar de distintas
maneras:
• Mediante una expresión matemática: ecuación de la
forma y = f(x) cuando la relación es funcional.
Ejemplo: y = x + 3.
• Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: Para todo x, hay un número entero y vale más
de tres unidades.
• Mediante una tabulación (tabla que permite
representar valores de una función en este
caso y=x+3).
x
y
2
5
1
4
0
3
-1
2
-2
1
• Como pares ordenados:
A = (-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3)…….. (x, x +3)
Funciones logarítmicas y
exponenciales
• Función exponencial:
La siguiente es una función exponencial base “a”
f(x) = a×, donde “a” representa un número real
positivo constante diferente de 1.
• Función logarítmica:
f(x) = loga x
En la cual observamos que “a” es la base del
logaritmo.
Propiedades de los logaritmos
y potencias.
Para x , y , b números reales positivos, b  1 y n números real:
Logaritmos
Potencias
log b 1  0 , log
log
log
log
1
b
b
log
b  1, log
b
b
a
 1
 a
b  1, b  b
0
b
1
1
1

b
b
xy  log
x
b
b
 log
y
b
x
n
b
b
x  log
x  log
 n log
b
b
x
y
b
y
x
y
b b
b 
x
b
x
b
y
n
b
b
b
xn
x y
x y
Conversión de función exponencial a
logarítmica y viceversa
loga x = y
• Para obtener la función exponencial debemos tener en cuenta
que si la base del logaritmo es “a”, será “a” la base de la
función exponencial, “y” será el exponente y “x” el resultado.
a× = y
• Dominio: es el conjunto de número reales válidos en una
función con respecto al eje de las x.
• Rango: es el conjunto de números reales validos en una
función con respecto al eje de las y.
CONCEPTOS BÁSICOS
DE GEOMETRÍA
Competencia particular
Utiliza el método axiomático deductivo para
establecer un lenguaje formal.
RAP
2.1 Identificar los conceptos básicos de la geometría
euclidiana y el método axiomático deductivo para
establecer un lenguaje formal.
2.2 Analiza comparativamente las diferentes figuras
geométricas y sus propiedades en su entorno
académico y social.
2.3 Utilizar el método axiomático deductivo y las
propiedades de las figuras geométricas para solucionar
problemas académico y social.
Conceptos Previos
Concepto
Definición
Punto
Es la marca más pequeña que
puede efectuarse, carece de
anchura, longitud, altura.
Se extiende en dos sentidos, y
Recta
sus puntos se acomodan en la
misma dirección
Plano
Es el ente ideal que solo
posee dos dimensiones, y
contiene infinitos puntos y
rectas
Semirrecta
Es la parte de una recta
formada por todos los puntos
ubicados hacia un lado de un
punto fijo.
Descripción gráfica
Concepto
Segmento de
recta
Paralelas
Definición
Descripción
gráfica
A
B
Es una recta cortada por
dos puntos
SON RECTAS QUE SE DESPLAZAN
EN LA MISMA DIRECCIÓN
Perpendiculares
SON RECTAS QUE SE CORTAN EN
UN ANGULO DE 90°
Espacio
ESTAMOS INMERSOS EN ÉL; ES
TODO LO QUE NOS RODEA Y ES
ILIMITADO
…….
……….
Ángulos
Llamamos ángulo a la abertura resultante de la
unión de dos semirrectas que tienen el mismo
punto de origen o vértice.
ángulo
vértice
Notación y simbología de los ángulos
Cualquier letra mayúscula situada en el
vértice fuera del ángulo hace referencia al
ángulo en cuestión. Por ejemplo A
A
Se puede usar también un símbolo griego
dentro del ángulo, por ejemplo en el
ángulo φ ( fi)
Tres letras mayúsculas, cada una
refiriéndose a una semirrecta dejando la
letra de en medio definiendo al vértice en
cuestión. Por ejemplo A-B-C
φ
A
B
C
Clasificación de ángulos según su
medida.
Ángulo
Medida
Ángulo agudo
Mide menos de 90°
Ángulo recto
Mide 90°
Ángulo obtuso
Mide más de 90° y menos
de 180°
Ángulo llano
Miden 180°
Ángulo perigonal
Miden 360°
Imagen
Clasificación de ángulos por su
posición
Nombre
Definición
Ángulos opuestos por el
vértice.
Son los que resultan
cuando dos rectas se
cortan de manera que se
forman dos pares de
ángulos iguales.
Imagen
b
c
a
d
a=c
Ángulos adyacentes.
Son los que están
formados de manera que
tienen un lado común y los
otros dos pertenecen a la
misma recta .
b
a
Clasificación de ángulos por la suma
de sus medidas
Nombre
Suma de medidas
Complementarios
µ +Ø = 90°
Imagen
Ø
µ
Suplementarios
µ+Ø = 180°
µ
Ø
Conjugados
µ+Ø = 360°
µ
Ø
Paralelas Cortadas por una secante
Nombre de Ángulos
Internos
Externos
Alternos internos
E
g
A
i
k
C
m
F
Alternos externos
B
j
l
n
h
Correspondientes
D
Colaterales internos
Colaterales externos
Opuestos por el vértice
Ejemplo
(figura)
i, j, k, l
g, h, m, n
i–l
j–k
g–n
h–m
g–k
i–m
h–l
j–n
j–l
i–k
g–m
h–n
g–j
h–i
k–n
l–m
Características
Iguales entre sí
Iguales entre sí
Iguales entre sí
Suplementarios
Suplementarios
Iguales entre sí
Teorema de Tales
• El teorema de tales establece lo siguiente:
Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas
segmentos correspondientes proporcionales.
l
3
l’
6
3
6
6
12
=
6
12
Triángulos
Triangulo: figura geométrica localizada en un plano, formada por tres
lados y tres ángulos.
• Triángulo equilátero: son los triángulos en los que sus tres lados miden
exactamente lo mismo.
x
x
x
• Triángulo isósceles: triángulos en los que dos de sus lados tienen
exactamente la misma medida, siendo esta diferente a la del tercer
lado.
y
y
x
• Triangulo escaleno: los tres lados que forman este tipo de triángulo
presentan medidas diferentes.
y
x
z
• Triangulo rectángulo: un ángulos del triángulo mide 90° grados (ángulo
recto).
A
B
C
• Triángulo acutángulo: los tres ángulos de este tipo de triangulo son
aguados. (Miden menos de 90°).
A
B
C
• Triángulo oblicuángulo: un ángulo de los tres que forman este tipo de
triángulos es obtuso (90°<x<180°)
A
C
B
• Mediana: segmento que une el vértice de un triángulo con
el punto medio de su lado opuesto. Todos los triángulos
tienen tres medianas. Las medianas se cortan en un punto
en el interior del triángulo llamado Baricentro, el cual es el
centro de gravedad del triángulo.
• Mediatriz: recta perpendicular a cada uno de los lados, que
pasa por el punto medio de estos.
Altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o la
prolongación de este.
Altura
Bisectriz: recta que divide a un ángulo en dos exactamente iguales.
Teoremas
importantes
• Teorema 1:
• La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo mide 180°, esto es:
A+B+C=180°.
B
C
A
• Teorema 2:
• La suma de los tres ángulos externos de cualquier
triangulo es igual a 360°, esto es: L+M+N=360°.
M
C
L
A
B
N
• Teorema 3:
• Un ángulo externo de cualquier triangulo es igual a la
suma de los ángulos no adyacentes a el.
Esto es: C + B = D
C
D
B
Teorema de
Pitágoras
• La suma del cuadrado de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
C
c  a b
2
2
2
a
b
A
B
c
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECyT No.13 RICARDO FLOERES MAGÓN
TRIGONOMETRÍA
COMPETENCIA PARTICULAR
Emplea las funciones trigonométricas en la solución de
triángulos y ecuaciones que se presentan en situaciones
de su entorno académico y o social
RAP
3.1
Identificar las funciones e identidades
trigonométricas así como sus propiedades a partir
de triángulos rectángulos.
2.2 Aplica las funciones e identidades trigonométricas
para solucionar problemas que dan a lugar a
triángulos, en su ámbito académico y o social.
2.3
Utilizar las funciones e identidades
trigonométricas
para
solucionar
problemas
académico y social.
Sistemas de unidades para medir
ángulos
• Medida de un ángulo. Para medir un ángulo dado, se compara con otro que es la
•
•
•
unidad. El número de veces que ese ángulo dado contiene al ángulo unidad indica su
medida.
La medida de un ángulo puede expresarse en diferentes unidades; los sistemas de
unidades de gran relevancia son: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico.
El sistema sexagesimal consiste dividir una circunferencia en 360 partes iguales
llamadas grados; el grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada
minuto se divide en 60 partes llamadas segundos.
En el sistema cíclico tiene como unidad de medida principal el radian también
conocida como unidad cíclica o circular. Y su medida equivale a:
s=r, entonces α= s/r = 1 radián.
r
s
α
r
Lados de un triángulo
rectángulo.
LADO
a
ÁNGULO ÁNGULO
B
C
hipotenusa
C
hipotenusa
b
Cateto
opuesto
Cateto
adyacente
c
Cateto
adyacente
Cateto
opuesto
a
b
A
B
c
Definición de las funciones
trigonométricas
•
Para definir las funciones trigonométricas consideramos un ángulo
cualquiera de un triángulo rectángulo por ejemplo el A
LADO
DEFINICIÓN
NOTACIÓN
C
Seno de B
Cateto opuesto a B
Hipotenusa
Coseno de B
Cateto adyacente a B
Hipotenusa
Cos B
Tangente de
B
Cateto opuesto a B
Cateto adyacente a B
Tan B
Sen B
a
b
A
Cotangente
de B
Cateto adyacente a B
Cateto opuesto a B
Cot B
Secante de B
Hipotenusa
Cateto adyacente a B
Sec B
Cosecante de
B
Hipotenusa
Cateto opuesto a B
Csc B
c
B
Funciones
recíprocas
Cat. Opuesto
Sen B =
Hipotenusa
Cat. Adyacente
Cos B=
Hipotenusa
c.o.
Sen B csc B =
Tan B=
Cat. Opuesto
Cat. Adyacente
Cot B=
Cat. Adyacente
Cat. Opuesto
Sec B=
Hipotenusa
Cat. Adyacente
Csc B=
Hipotenusa
Cat. Opuesto
h
.
h
c.o.
= 1
Funciones trigonométricas
de ángulos de cuadrante
• Del ángulo de 0°
consideramos el triángulo rectángulo:
El mismo triángulo con el
ángulo α = 0° queda , en
consecuencia: b= c, a = 0
0°
b
a
De donde:
α
c
0
Sen 0° =
b
=0
c
cot 0° =
c
Cos 0° =
b
=1
sec 0° =
c =0
b
=±∞
=1
c
0
Tan 0° =
0
csc 0° =
b
0
=±∞
Del ángulo de 90°
Consideramos el triángulo rectángulo:
El mismo triángulo con el
ángulo α = 90° queda , en
consecuencia: b= a, c = 0
90°
b
a
α
De donde:
c
a
Sen 90° =
b
=1
0
cot 90° =
0
Cos 90° =
Tan 90° =
b
a
0
=0
sec 90° =
a
b
=0
=±∞
0
=±∞
csc 90° =
b
a
=1
Del ángulo de 180°
El mismo triángulo con el
ángulo α = 180° queda , en
consecuencia: b= c, a = 0
Consideramos el triángulo rectángulo:
180°
b
a
α
c
De donde:
Sen 180° =
Cos 180° =
0
b
-c
=0
0
= -1
b
Tan 180° =
cot 180° = -c = ± ∞
0 =0
-c
sec 180° = b = -1
-c
csc 180° = b = ± ∞
0
Del ángulo de 270°
Consideramos el triángulo rectángulo:
El mismo triángulo con el
ángulo α = 270° queda , en
consecuencia: a= b, c = 0
270°
α
c
De donde:
-a
a
b
Sen 270° =
= -1
b
0
cot 270° =
0
Cos 270° =
Tan 270° =
b
-a
0
=0
=±∞
sec 270° =
-a
b
=0
=±∞
0
csc 270° =
b
-a
=1
Gráfica de la
función seno
Para bosquejar la gráfica de la función seno podemos tomar valores de ángulos de 30 en
30 grados, calcular los valores correspondientes y construir una tabla como la siguiente.
X
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
senx
.5
.86
1
.86
.5
0
-.5
-.86
--1
-.86
-.5
0
210°
30°
60°
90°
120°
150° 180°
240°
270°
300°
330°
360°
Conclusiones
• Procedimiento de la graficación.
Los pares de valores se grafican en las coordenadas cartesianas y se traza la
curva, o bien, se traza un círculo trigonométrico, se dibujan radios cada 15 grados
y, a partir de la intersección de éstos con la circunferencia, se trazan horizontales
como en la gráfica anterior. Los cruces con las rectas verticales trazadas cada 15
grados son puntos de la curva senoide.
• Conclusiones
La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de las “x”.
La gráfica se repite cada 360°.
La función es positiva en primero y segundo cuadrantes.
La función crece en primero y cuarto cuadrantes y decrece en el segundo y
tercero.
Gráfica de la
función coseno
Para graficar la función coseno se realiza el mismo tabular de 30 en 30
grados y se calculan los valores correspondientes.
X
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
cosx
.87
.5
0
-.5
-.87
-1
-.87
-.5
0
.5
.87
1
210°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
240°
270° 300°
330°
360°
Conclusiones
• La curva es indefinida en ambos sentidos en el eje de
las “x”.
• La grafica se repite cada 360°.
• La función es positiva en primero y cuarto
cuadrantes.
• La función decrece en primero y segundo
cuadrantes, y crece en el tercero y cuarto.
Función tangente
• Para graficar esta función se toman valores de 30
en 30 grados y se calculan los valores
correspondientes como en la siguiente tabla.
X
30°
60°
90°
120°
150°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
360°
tanx
.57
1.73
indef
-1.73
-.57
0
.57
1.73
indef
-1.73
-.57
0
Conclusiones:
1.- La curva es indefinida cerca de los 90 grados.
2.- se repite cada 180 grados.
3.- Es positiva en primero y tercer cuadrantes y negativa en segundo y cuarto
4.- Pierde su continuidad a los 90°, 270°, 245° etc.
Gráfica de la
función tangente
210° 240° 270° 300°
30°
60°
90°
120° 150° 180°
330° 360°
Resolución de triángulos
rectángulos
•
•
•
La trigonometría tiene como principal objetivo resolver situaciones que pueden
ser modeladas por un triángulo.
Las situaciones más sencillas de modelar son aquellas que incluyen triángulos
rectángulos. Determinar las medidas de sus lados y ángulos se conoce como
Resolución del triángulo.
Con frecuencia, en la resolución de triángulos debemos considerar ángulos
formados por horizontal y la línea de visibilidad de un observador. Cuando la
línea de visibilidad esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de
elevación, y si está por debajo es un ángulo de depresión.
Ángulo de
elevación
Ángulo de
depresión
Signos de las funciones
trigonométricas
Cuadrante
I
Funciones
positivas
Todas
Funciones
negativas
Ninguna
II
Sen, csc
Cos, sec, tan, cot
III
Tan, cot
Sen,csc, cos, sec
IV
Cos, sec
Sen, csc, tan, cot
Círculo unitario.
Funciones trigonométricas representadas por un
segmento
•
El círculo trigonométrico, es el que se traza con un radio igual a 1. por eso
también se le llama círculo unitario.
y
1
y
x
x
Solución de triángulo oblicuángulo
Ley de senos
• En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos a él.
• Se presentan 2 casos:
Con 2 ángulos y 1 lado ó Con 2 lados y 1 ángulo.
a
b
=
sen A
=
sen B
sen C
C
a
b
A
c
c
B
Ley de Cosenos
• Esta ley nos dice que en todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual
a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el
cuadrado del lado opuesto, dividido entre el doble producto de los lados
que forman dicho ángulo.
• Tenemos 2 casos:
Con 3 lados ó con 2 lados y el ángulo que está en medio.
cos A =
a² + c² - b²
b² + c² - a²
cos B =
2bc
a² + b² - c²
cos C =
2ac
C
a
b
A
c
B
2ab
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