INSTITUCION EDUCATIVA
PEDRO CASTELLANOS
DOCENTE: Adalberto Paternina A.
Licenciado en Matemáticas y
físicas
TEMA . CARACTERISTICAS DE
LAS OSCILACIONES ARMONICAS.
Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es un
movimiento periódico, es decir se
repite a intervalos iguales de tiempo.
Puede ser descrito en función del
movimiento
circular
uniforme,
considerándolo como la proyección sobre
cualquier diámetro de un punto que se
mueve en una trayectoria circular con
velocidad constante como se ve en la
figura siguiente.
VL
a
r
P
O
A
Q


Al observar el movimiento armónico que
describe el punto A de la figura anterior al
moverse de un lado a otro de la línea recta
formada por P y Q, podemos apreciar que su
velocidad cambia en forma constante: cuando
está en el punto central O su velocidad es la
máxima, mientras en P y Q la velocidad es
momentáneamente nula; después aumenta poco
a poco hasta llegar a O donde es máxima para
de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otro
extremo de la trayectoria.


Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una
aceleración. Dicha aceleración siempre se dirige a la
posición central de equilibrio y su valor varía de la
siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en
cualquiera de los extremos P o Q hacia el centro o punto
O, en los extremos se tiene la mayor aceleración, la cual
disminuye a medida que se acerca al centro donde se
hace nula; después de pasar el punto central,
nuevamente aumenta la aceleración hasta llegar a su
valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que la
velocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de
equilibrio la aceleración es nula y la velocidad tendrá su
valor máximo, y en los extremos la aceleración tendrá su
valor máximo y la velocidad nula.





En el movimiento armónico simple resultan útiles los
siguientes conceptos:
Elongación.- Es la distancia de una partícula a su
punto de equilibrio. Puede ser positiva o negativa,
según esté hacia la derecha o a la izquierda de la
posición de equilibrio.
Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor
será igual al radio de la circunferencia.
Para calcular la elongación de una partícula
oscilatoria en cualquier instante de tiempo t se usa la
expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante la
siguiente deducción:



Al representar a la elongación con la letra Y y al
considerar que la elongación de una partícula
oscilatoria es igual a la proyección sobre el
diámetro horizontal del radio r descrita por el
móvil de la figura siguiente se tiene que el valor
de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su
valor es:
Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F
(3), sustituyendo 2 y 3 en 1:
Y = r cos 2 π F t.
VL
r
θ
Y




Donde: Y = elongación de la partícula en
metros.
r = radio de la circunferencia en
metros.
F = frecuencia en ciclos/seg
t = tiempo en segundos (seg)







Velocidad de oscilación.- Es el resultado de
proyectar la velocidad lineal del movimiento
circular de un cuerpo sobre el diámetro de la
circunferencia como se ve en la figura siguiente, de
modo que la expresión matemática de la velocidad de
oscilación será:
v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL
= ω r (4), sustituyendo 2, 3 y 4 en 1 queda:
v = - 2 π F r sen 2 π F t.
donde v = velocidad de oscilación en m/seg.
F = frecuencia en ciclos/seg.
r = radio de la circunferencia en metros (m)
t = tiempo en segundos (seg).
C
VL
VL
θ
θ
D
B
v
VL
VL
A



Como se observa en la figura anterior, cuando la
velocidad lineal es paralela al diámetro (puntos
A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo será
mayor y tendrá un valor igual a la velocidad
lineal.
Cuando
la
velocidad
lineal
es
perpendicular al diámetro (puntos B y D) su
proyección sobre el diámetro es nula, por lo
tanto su valor es cero.

Aceleración
de
una
partícula
oscilante.- En el MAS, la aceleración
de una partícula oscilante tiene un
valor igual a la proyección sobre el
diámetro de la aceleración radial ar,
del movimiento circular uniforme de
un cuerpo como se ve en la figura
siguiente, por lo que la expresión
matemática de la aceleración de una
partícula oscilante será:
VL
θ
ar
θ
a












a = - ar cos θ.
como ar = ω2 r.
ω=2πF
θ=ωt
θ = 2 π F t.
tendremos que :
a = - 4 π2 F2 r cos 2 π F t.
puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una
partícula oscilante también se puede expresar como:
a = - 4 π2 F2 Y.
donde a = aceleración en m/seg2.
F = frecuencia en ciclos/seg.
Y = elongación en metros (m).


El signo de la aceleración de una partícula oscilante es
negativa, por que su sentido es siempre contrario al
sentido del movimiento.
Si observamos la ecuación de la aceleración de una
partícula oscilante, tenemos que ésta es directamente
proporcional a la elongación, pero de sentido contrario.
De la ecuación de la aceleración de una partícula
oscilante puede despejarse la frecuencia quedando de la
siguiente manera:



F=
___________
√ - a/4 π 2Y
____
= 1 / 2 π √ - a/Y
GRAFICAS SINUSOIDALES DEL
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE


En el movimiento armónico simple (MAS) la
elongación, la velocidad y la aceleración se
expresan en funciones trigonométricas
sencillas de un ángulo. Se le denomina simple
para distinguirlo de un movimiento amortiguado.
Una curva senoide es la gráfica del seno de un
ángulo trazada en función del ángulo. Toda
onda de esta forma recibe el nombre de senoide
o sinusoide. Para trazar las gráficas sinusoidales
del MAS, recordemos lo siguiente :

1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro o
posición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición
de equilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t
se calcula con la expresión:







Y = r cos ω t .
Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al
radio r de la circunferencia.
2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la
velocidad lineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el
diámetro de la circunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con
la expresión:
v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto:
v = - ω r sen ω t.




La velocidad de oscilación será positiva si el
móvil va a la derecha y negativa si va a la
izquierda.
3.- La aceleración de una partícula oscilante
a, tiene un valor igual a la proyección sobre el
diámetro de la aceleración radial ar del
movimiento circular uniforme de un móvil. Su
valor a un tiempo t se calcula con la expresión:
a = - ar cos θ.
como ar = ω2 r y θ = ω t, por lo tanto:
a = - ω2 r cos ω t.
Oscilador Armónico.

Otro ejemplo de movimiento armónico
simple es el que presenta el resorte de la
figura siguiente, el cual tiene suspendido
un cuerpo en su extremo inferior:
(a) posición de
equilibrio
(c) Fuerza de
restitución.
(b) Fuerza
debida al
tirón.

Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene
suspendido el resorte, éste se estira (inciso b de la
figura) y al soltar el cuerpo la fuerza de restitución
del resorte tratará de que recupere su posición de
equilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad
que lleva, por inercia sigue su movimiento comprimiendo
el resorte (inciso c de la figura), por ello vuelve a actuar
la fuerza de restitución ahora hacia abajo y nuevamente
el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin
embargo, por la inercia no se detiene y se estira
nuevamente, así actúa otra vez la fuerza de restitución
jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva
estos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se
comporta como un oscilador armónico.



Si no existieran fuerzas de fricción, el movimiento del
cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio,
continuaría indefinidamente.
Conforme aumenta la fuerza del tirón
aplicado al cuerpo, la fuerza de restitución encargada de
que el cuerpo recupere su posición de equilibrio,
también aumenta en la misma proporción. Según la
Ley de Hooke la fuerza de restitución que actúa
para que un cuerpo recupere su posición de
equilibrio es directamente proporcional al
desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de
restitución es opuesta al desplazamiento su signo es
negativo y la expresión matemática siguiente resume lo
expuesto:





F = - kd.
donde F = fuerza de restitución en
Newtons (N)
k = constante del resorte cuyo
valor depende del tipo de
material
elástico de que se trate y cuyas unidades
son N/m.
d = desplazamiento
experimentado por el cuerpo elástico de
que se trate en metros (m).



El periodo de un vibrador armónico simple,
como es el caso del resorte de la figura anterior
depende de su rigidez. Por lo tanto, a mayor
rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un
resorte es más rígido que otro realizará una
fuerza de restitución mayor para un
desplazamiento dado y su aceleración también
será mayor. La rigidez del resorte se expresa
mediante la constante del resorte k equivalente
a la fuerza de restitución por unidad de
desplazamiento.
donde: k = F/d (1).





Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa
una fuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza
0.2 metros actúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del
resorte será igual a:
k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8
N/m
De acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-)
significa que el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al del
desplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley de
Newton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte en
cualquier instante, de donde:
F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).







La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpo vibrador con
un movimiento armónico simple, es directamente proporcional a
su desplazamiento o elongación en cualquier instante.
En forma experimental se ha encontrado que el periodo de
un vibrador armónico simple es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultados
experimentales se expresan matemáticamente con la siguiente ecuación, la
cual nos permite calcular el periodo de vibración de un cuerpo con un MAS,
y en el que se observa que su valor es independiente de la amplitud.
___________
T = 2 π √ m/k
(4)
donde T = periodo en segundos (seg)
m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg).
k = constante del resorte en N/m.
PENDULO SIMPLE.

Un péndulo simple está constituido por un
cuerpo pesado suspendido en un punto
sobre un eje horizontal por medio de un
hilo de masa despreciable. Cuando se separa
un péndulo de su posición de equilibrio y
después se suelta, oscila a uno y otro lado del
mismo efecto de su peso, como se ve en la
figura siguiente:
a
θ
l
b
d
c
F
e
P = mg
F’



El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento
armónico simple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la
siguiente ecuación:
_______
T = 2 π √ l/g






Donde: T = periodo del péndulo en segundos (seg).
l = longitud del péndulo en metros (m) se
mide desde el
punto donde está suspendido
hasta el centro de gravedad del cuerpo pesado que
constituye al péndulo).
g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2.




De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:
1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que
sean, no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud del
movimiento, sino de su longitud.
2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada
de la longitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la aceleración debido a la acción de la gravedad.
La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo,
se puede deducir a partir de la figura anterior. En ella
representamos la longitud del péndulo con l, al peso con P, a la
masa m, y al desplazamiento con d. Como P = mg y sus dos
componentes rectangulares son F y F’, y si además consideramos
pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulos abc, y cde, son
prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:





F/mg = d/l (1)
reordenando términos: F/d = mg/l = k (2).
De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior
sabemos que:
T = 2 π √ m/k
(3).
Sustituyendo 2 en 3 tenemos:






T=
______
2 π √ m/mg/l
___
Por lo tanto T = 2 π √ l/g
(4)
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TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS - matehato