Exponentes y radicales
(Versión preliminar)
M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
Un poco de gimnasia mental
Mediante el trazo de 4 líneas, una los 9 puntos que siguen.
No se permite levantar el lápiz del papel, ni recorrer dos
veces la misma línea, ni tocar dos veces el mismo punto.
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Solución:
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Un año luz es igual a 9 461 000 000 000 000 km. Esta cantidad también se expresa
así:
9461  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10
El producto 10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10  10, se abrevia como 10 12
lo cual se lee 10 a la 12, en ello el número 10 se llama base y el número 12 se
llama exponente, y ambas cosas forman lo que se llama una potencia. El
exponente indica el número de veces que la base actúa como factor en el
producto que se abrevia.
Los términos que forman una potencia
a
a es la
base
x
a
x
son estos:
x es el exponente
Leyes de los exponentes:
1. a a  a
m
2.
n
a 
m
n
m n
a
n
m
a
n
mn
6. a
3 . (a b )  a b
n
5.
a
n
n
n

m n
1
a
n
a
a
4.    n , b  0
b
b
a
n
, a 0
, a 0
7 . a  1, a  0
0
7 
 4
5 
2
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3

x
3
 
4
3
Ejemplo 4
2
2

4

3

1 / 3
1 3
c
6
1
3
 
4
1 2
b c
 3a
4
2

1 2
x 
2

1 2
1
2
9a b
3a
7 
5 
1 2
3


 


9

3
5

1
7

2
5
2
7
1

7
1
  1  x 
3
2
25
3

1
x
6
 
1
x
6
2
1
3
4

2
2

4
16
4




 
2
3
3
9




3
1/ 3
3
 6  4
  c 1/ 2 
 a  b
3
3

3
a
b
c 2

  1/ 3   6  
4
 a
 b
 c 
10 3 17 3  9 2
b
c
1
1
1
Leyes de los radicales
• Los radicales se rigen por las leyes de los
exponentes, porque:
n
a
m
a
m n
Ejemplo 5
3
64

3
864 
Ejemplo 6
3
8
2
64 
 8 
3
2 3
5
3
4
2 3
 4
3

2
3
z
1 3

3
  1  z
   1 z
3 3
 2 3
 2  3  2  3
Ejemplo 7
 
 2
1 9
1 3
5
12
3
3
2 3
 2
3
2
 2  4
2
3
 4  4
1

12
 2
5 2
3
3 2
 2
2
1
2
3
1
1
2
 2 2
2
 12 6
     1  z
1
 
z
19
1 3

13
   1
13
z
1 3

13
12
3 3
1
12
Ejemplo 8
8x
3
 8x


3b 
 27 y 
6a
27 y
6a
3b
 0 .0 0 8   0 .0 0 6 4 
2
80000 

Ejemplo 9
 212  1 0 10 


6
8
2

1
0


Ejemplo 10
3
576 
3


8x
6a
27 y
2
2
3

13
3
3b
10
3

13

3
2
3
13

8
13
x
2a
13
y
 2
6
10
4
10

2
27
2
4
b


2x
2a
3y
b

 
 2 3  1 0 3 2 2 6  1 0 4

2
3
4

2 10


13

 2 10
 24 
2
6

3
18
24 

13
3
 2 10
2

6
 0 .0 0 0 0 0 4
2 3  2 3
3
3

13
 2 3
3






13
Ejemplo 11
Si
a1 
2 , a2 
2 2 , a3 
2 2 2 , a4 
2 2 2 2 ,
exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de
los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la
misma forma el término an de la sucesión, en donde n
es un número entero positivo.
Solución
Nótese que:
2 1
a1  2
a2 
12
 2
2
,

2 2  2 2
a3 
a4 
12
2 1
 2

12

2 2 2   2 2 2

2 2 2

n
an  2
3 2

2
12
 2



2
n
2
2
3
2 1
12
 
12
2   2  2 2 2
 

2 1
Entonces:

2
12
 2

12



7 2
3
12



 2
12
2
3
15
 22  2
4
4
2 1
2
4
Problema de aplicación:
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tiene
un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más
pequeño es Plutón con un diámetro aproximado de
3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?
Solución
Sea
VJ
el volumen de Júpiter y sea V P
el volumen de Plutón,
entonces:
VJ
VP

4 3 R
3
4 3 r
3
3
3
3
8
 1.4288  10 8 
R
 1.4288   10 
  
 
  6
6
3.5

10
3.5
 r 

  10 


3
3
24
 10 8 
10
6
4
 0.0680315   6   0.0680315  18  0.0680315  10  6.80315  10
10
 10 
Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Júpiter.
Fin
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