Premio Sahuaro Luminoso
III Reto
Seno y Coseno Circular
• Consideremos la
circunferencia
centrada en el
origen y de radio 1:
Seno y Coseno Circular
• Para cada
consideremos el
punto (x, y) sobre la
circunferencia cuyo
ángulo medido desde
el eje x sea igual a :
Seno y Coseno Circular
• Definimos
como la coordenada
x del punto así
obtenido.
• Definimos
como la coordenada
y del mismo punto.
Seno y Coseno Circular
• Es fácil ver de la
definición que
,
son
funciones acotadas.
• Además, es fácil ver
que dichas funciones
son periódicas.
Seno y Coseno Circular
• Probar (usando argumentos geométricos):
– cos(-t) = cos(t)
– sen(-t) = -sen(t)
– cos(p/2 - t) = sen(t)
– sen(p/2 - t) = cos(t)
– cos(p/2 + t) = -sen(t)
– sen(p/2 + t) = cos(t)
– cos(p - t) = -cos(t)
– sen(p - t) = sen(t)
Seno y Coseno Circular
• Probar (usando argumentos geométricos):
– cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
– sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
– cos(2t) = 2cos2(t) – 1
– sen(2t) = 2cos(t)sen(t)
Seno y Coseno Circular
• Observemos que el área
dirigida al doble del
sector circular de ángulo
t también es igual a t:
• Por área dirigida nos referimos a
que si el punto se toma debajo
del eje x, consideraremos el área
como negativa.
Seno y Coseno Circular
• Por ello, pudimos haber
definido el seno y el
coseno como función del
área, en vez de usar al
ángulo como parámetro.
Seno y Coseno Hiperbólico
• Consideremos la
Hipérbola Equilátera
unitaria centrada en
el origen:
• Para cada
consideremos un
punto de la
hipérbola; sus
coordenadas son
(cosh t, senh t)
Seno y Coseno Hiperbólico
• Pregunta:
• ¿Cómo definir el parámetro t para que se
cumplan las siguientes dos condiciones al
mismo tiempo?
• La definición del parámetro sea una generalización
natural del caso del seno y coseno circular.
• El parámetro t esté bien definido para todo
número real.
Seno y Coseno Hiperbólico
• Probar que:
– cosh(-t) = cosh(t)
– senh(-t) = -senh(t)
• Probar, partiendo de la definición geométrica,
que:
• Probar* que:
• Probar que:
Parámetros
• Observemos que la
longitud de arco del
sector circular de ángulo
t también es igual a t:
• De nuevo, si el ángulo es
negativo, consideraremos la
longitud de arco como negativa.
Parámetros
Ángulo
Área
Longitud
de Arco
Seno y Coseno Lemniscático
• La “Lemniscata de Bernoulli” es el lugar
geométrico de los puntos tales que el
producto de las distancias de dicho punto a
los “focos” (-½ , -½) y (½, ½) es constante e
igual a ½.
Seno y Coseno Lemniscático
Seno y Coseno Lemniscático
• Problema: Hallar la ecuación de la Lemniscata
de Bernoulli
– En coordenadas cartesianas.
– En coordenadas polares.
• ¿En qué sentido se puede definir el seno
lemniscático y el coseno lemniscático?
• ¿Qué propiedades tendría?
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