UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
CEPRE UNI
MOVIMIENTO
ARMONICO
SIMPLE
Ing. JORGE COSCO GRIMANEY
MOVIMIENTO OSCILATORIO
Son muchos los sistemas
físicos oscilantes que se dan
en la naturaleza
La partícula se desplaza entre
dos
posiciones
extremas
siguiendo la misma trayectoria
en torno a un punto de
equilibrio
MOVIMIENTO OSCILATORIO
MOVIMIENTO OSCILATORIO
MOVIMIENTO OSCILATORIO
k
N
Fe
mg
x
y
0
PE
x
MOVIMIENTO PERIODICO
Es
aquel
movimiento
que
a
intervalos
regulares de tiempo se repiten los valores
de las magnitudes que lo caracterizan, El
tiempo regular se denomina periodo.
MOVIMIENTO PERIODICO
MOVIMIENTO ARMONICO
Es el movimiento en que la posición, velocidad y aceleración
se pueden describir mediante funciones senoidales o
cosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el más
sencillo es el Movimiento Armónico Simple
CAUSAS DE LA OSCILACION
La causa del movimiento oscilatorio es la fuerza
restauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de su
posición de equilibrio
TIPOS DE EQUILIBRIO
El equilibrio es estable si el cuerpo, al apartarse de su
posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por
efecto de la fuerza de recuperadora. Ejemplo: El péndulo, la
plomada, una campana colgada.
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilante de una
partícula que ocurre debido a la acción de una fuerza
recuperadora, de la forma -Kx en donde su posición varía
con el tiempo y se representa con una función seno o
coseno
Función seno
t
PARAMETROS EN EL MAS
Elongación
Es la posición de la partícula medida desde la PE.
Amplitud de oscilación (A)
Es la máxima elongación, es decir: xmax= A
x(t)Elongación
POSICIÓN DE
EQUILIBRIO
AAMPLITUD
x(t)
x=-A
x=0
x=A
PARAMETROS EN EL MAS
Periodo (T)
Es el tiempo que tarda
la partícula en dar una
oscilación completa
Frecuencia ()
Es el número de vibraciones por unidad de tiempo
 =1/T
Frecuencia angular ()
Es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos.
En el S.I. se mide en rad/s .
Se expresa :  = 2 / T = 2
Fase del movimiento (t + )
Es el argumento de la función seno o coseno
Fase inicial ()
Esta relacionada con las condiciones iníciales del movimiento
es decir nos da información sobre la posición y velocidad en
el instante t0 = 0
t=0
Fase inicial de la función Seno ()
MAS y MCU
Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un
Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la
posición del cuerpo en el instante inicial.
t=0
Cuando un objeto
gira con movimiento
circular uniforme
sobre una
circunferencia, su
proyección sobre el
diámetro coincide
con la posición de un
objeto que describe
un MAS sobre ella.
MAS y MCU
Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilación
en el MAS
v
an
a
v
La proyección del vector velocidad del MCU sobre el
diámetro da lugar al vector velocidad del MAS
La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre
el diámetro da lugar al vector aceleración del MAS
CINEMATICA DEL MAS
Consideremos una partícula que se mueve con un MAS en el
eje X, como se muestra en la figura.
v
=
0
-X
v
m
á
x
.
v
=
0
+
X
0
-A
P
E
.
Z
o
n
a
d
e
m
o
v
m
ie
in
o
t
+
A
POSICION DE LA PARTICULA
Se mide desde el centro (0),
que corresponde a la
posición de equilibrio (PE).
Alcanza
sus
máximos
(amplitud) en los extremos
de la trayectoria. Donde A
y –A es la amplitud máxima
X(t) = A Sen (wt + φ1)
X(t) = A Cos (wt + φ2)
o
POSICION DE LA PARTICULA
La posición de una partícula que describe un movimiento
armónico simple puede ser determinada por una ecuación
de movimiento
La partícula describe un movimiento armónico simple
(t + ) : Es el argumento de la función armónica (en
radianes) y

: Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto
(xo) donde se empieza a medir el tiempo (to = 0).
VELOCIDAD DE LA PARTICULA
v
v(t) = ωA Cos (ωt + φ)
ACELERACION DE LA PARTICULA
Siempre señala hacia la
PE. Su magnitud es
proporcional
a
la
posición del móvil.
a(t) = - ω2A Sen (ωt + φ)
a(t) = - ω2 X(t)
Ecuaciones cinématicas
Posición:
x ( t )  A sen ( w t   )
Velocidad :
v ( t )  w A cos( w t   )
Aceleración :
a ( t )   w Asen ( w t   )   w x
2
2
Gráficas de la posición, velocidad y aceleración en
función del tiempo, para el caso ( = 0 )
sen(t+) = cos(t+ - /2)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
x=A
x(t)
sen(t+) = cos(t+ - /2)
GRÁFICA posición - tiempo
x(t)
A
t
-A
0
T/4 T/2 3T/4 T
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A
x=0
x=A
x(t)
sen(t+150) = cos(t+150 -/2)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
A/2
x=A
x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
x=A
x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
x=A
x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
x=-A
x=0
x=A
x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
x=A
x(t)
Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno
v
x=-A
x=0
x=A
x(t)
RESUMEN de CINEMATIVA DEL MAS
El Movimiento Armónico Simple es un movimiento
periódico en el que la posición varía según una ecuación de
tipo senoidal o cosenoidal
La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo
máxima en el centro de la trayectoria y nula en los
extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
movimiento.
El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente.
Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de
signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los
extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el
centro.
DINAMICA DEL MAS
La
fuerza
recuperadora
sobre el móvil es
proporcional a su
desplazamiento
respecto de la
posición
de
equilibrio
Sistema Masa- Resorte Horizontal
Estudiemos la oscilación de un cuerpo de masa m, unido a un
resorte de constante elástica k y masa despreciable
denominado oscilador armonico simple.
k
N
mg
x
Fe
y
0
x
PE
El sistema cuerpo-resorte realiza oscilaciones armónicas
simples sobre una superficie horizontal sin fricción.
La fuerza restauradora es elástica,
Como la masa se mueve con MAS, entonces:
ax = -  2x
Planteando la segunda Ley de Newton para el movimiento
del cuerpo:
Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m  2x
Comparando: k x = m  2 x
w 
k
m
SISTEMA MASA - RESORTE VERTICAL
A
-k

PE
PE
y
-k(+y)
mg
w 
k
m
-A
mg
y
CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
EN EL MAS
Consideremos el sistema masa-resorte y la fuerza del tipo
conservativo
v
y
k
x
x
0
PE
E m  E c  E pe 
1
2
2
1
1
m A
Em 
2
kA
2

2
mv
2

2
1
2
kx
2
=0
1
kA
2
2
Ek 
1
mv
2
2
E pe 
1
E pe 
1
kx
2
kx
2
mv
2
2
T
Ek 
2
1
2
Em 
1
2
kA 
2
1
2
m A
2
2
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
x  
A
2
x  ¿?
-A/2
0
A/2
¿? A
x(t)
2

1
1
A
1 1
1
2
2 
Ep

kx

k

kA

Em

2

2
2
4
4
4



 
2
2
 Ec  1 k ( A 2  x 2 )  1 k ( A 2  A )  1 k 3 A  3  1 kA 2   3 Em


2
2
4
2
4
4  2
4


para que la Ep  Ec 
1
2
Em 
1 1
1
1
2 
2
2
kA

Ep

kx

kA
 x  

2  2
2
4

A
2
ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES EN EL MAS
RESUMEN de ENERGIA del MAS
La fuerza elástica que origina un M.A.S. es
conservativa. La energía potencial elástica que lleva
asociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima en
sus extremos.
La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente,
siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en sus
extremos.
Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, la
energía mecánica total del cuerpo permanece constante
a lo largo de toda la trayectoria.
PENDULO SIMPLE
Un péndulo simple se
define
como
una
partícula de masa m
suspendida del punto
O
por
un
hilo
inextensible
de
longitud l y de masa
despreciable.
Para oscilaciones pequeñas
Fres  
T 
mg
x  m a  m ( w x)
2
l
2
w
 2
l
g
Fres = - mgsen

L
x
El periodo de oscilación no depende de la masa ni
del Angulo α
ECUACIONES DEL PENDULO
SIMPLE
 ( t )   A sen ( w t   )
 ( t )  w A cos( wt   )
 ( t )   w  A sen ( w t   )
2
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