DESCRIPCION DE
SISTEMAS
Tema 2
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Indice
Sistemas en Tiempo Continuo
 Sistemas Lineales e Invariantes
 Transformada de Laplace
 Función de Transferencia
 Diagramas de Bloques
 Espacio de Estado

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Sistemas en Tiempo Continuo

Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por
magnitudes o señales que toman valor en cada instante de
tiempo

Señales continuas frecuentes
 (t )
u(t )
1
1
t
0
impulso
t
0
escalon
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Sistemas en Tiempo Continuo
kt u ( t )
e
 at
u(t )
1
k
t
0
t
0
exponencial
rampa
sen (  t   )
1
senoidal
0
t
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Sistemas en Tiempo Continuo

Descripcion de STC en base a ecuaciones diferenciales
n)
m)
F ( y ( t ),..., y ( t ), y ( t ), u ( t ),..., u ( t ), u ( t ))  0
con F en general no lineal.

Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y
entradas

Objetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t)
(solución de la ecuaciones diferenciales)
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Sistemas Lineales e Invariantes

Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la
respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se
puede descomponer en la suma de las respuestas individuales
Sistema
Lineal
y1 ( t )
x1 ( t )
x 2 (t )
a 1 x1 ( t )  a 2 x 2 ( t )
Sistema
Lineal
Sistema
Lineal
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y 2 (t )
a1 y1 ( t )  a 2 y 2 ( t )
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Sistemas Lineales e Invariantes

Un sistema en tiempo continuo definido mediante
ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si
se puede expresar como una combinación lineal
de derivadas de la salida y la entrada en la forma
an y
n)
 a n 1 y
n  1)
  a 1 y '  a 0 y  b m u
m)
  b1 u '  b 0 u
donde a j , j  1 n y bk , k  1 m son constantes o
funciones del tiempo t . En el caso de que los
coeficientes no dependan explícitamente del
tiempo el sistema se dice que es invariante en el
tiempo.
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Sistemas Lineales e Invariantes

En el caso de que los coeficientes no cumplan las condiciones
reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales.

En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema
son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una
particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de
operación.

Algunos tipos de relaciones No-lineales :valor absoluto, saturación,
espacio muerto, relé ideal,…

La característica más importante de los sistemas No-lineales y a la vez
limitante es la no aplicación del principio de superposición.
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Sistemas Lineales e Invariantes
No Linealidades comunes
y
y
0
x
V a lo r A b so lu to
0
x
S a tu ra ció n
y
y
0
x
Z o n a M u erta
0
x
R elé Id ea l
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Sistemas Lineales e Invariantes

La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones:
1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son
válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido
determinadas.
2. No existen soluciones analíticas, por lo que se han de obtener en forma
numérica mediante simulación.

La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los
sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación
nominal mediante técnicas de aproximación.

La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en
torno al punto de operación nominal.
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Transformada de Laplace
Transformada Directa de Laplace

La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando
estas en ecuaciones algebraicas lineales.

La transformada de Laplacede una función se define como
L  f ( t )  F ( s ) 

f (t )e
 st
dt ,
s    j
0
pasando del dominio temporal al dominio complejo , siendo
f ( t )  F ( s)
el par funcion-transformada.
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Transformada de Laplace

Propiedades de la Transformada de Laplace

Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que
harán más fácil su cálculo.
1. Linealidad L a 1 f 1 ( t )  a 2 f 2 ( t )  a 1 F1 ( s )  a 2 F2 ( s )
 sT
2. Desplazamiento
L  f ( t  T ) u ( t  T )  e F ( s )
3. Amortiguación L  e  at f ( t )   F ( s  a )
4. Derivacion
L  f ' ( t )   sF ( s )  f ( 0 )
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Transformada de Laplace
En el caso más general
L f
5. Integración
n)
( t )  s F ( s )  s
n
n 1
f (0)  s
n2
f ' ( 0 )   f
n  1)
(0)
0
 t

F ( s) 1
L   f ( t ) dt  
  f ( t ) dt
s
s 


6. Multiplicación por potencias de t
L {t f ( t )}  ( 1) F
n
n
n)
( s)
7. Producto
L { f 1 ( t )  f 2 ( t )}  F1 ( s )  F 2 ( s )
8. Teorema del Valor Final
f (  )  lim f ( t )  lim s  F ( s )
t
s 0
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

La aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones
diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a
un conjunto de ecuaciones algebraicas en s
Transformada Inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de
su transformada , según
  j

L {Y ( s )}   Y ( s ) e ds  

  j
1

st
y ( t ), t  0
0 ,t  0
El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su
fórmula de definición, sino aprovechando el conocimiento de la
transformada directa.
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Transformada de Laplace

En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya
transformada inversa se quiere hallar es una función racional
Y ( s) 
con
N ( s)
D ( s)
gra do ( N ( s ))  grado( D ( s ))

El cálculo de la transf. inversa se realizará descomponiendo Y(s) en
fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador
D(s) = 0.

La resolución de esta ecuación llamada ecuación característica da
como resultado un conjunto de raíces  p1 ,  p 2 ,  ,  p n con grados de
multiplicidad r , r ,  , r , en general complejas.
1
2
n
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Transformada de Laplace

La descomposición en fracciones se hará de la forma
Y (s) 
N (s)

D (s)


K 21
(s  p2 )

K 22
(s  p2 )
2
K 11
( s  p1 )
 

K 12
( s  p1 )
K 2r 2
(s  p2 )
r2
2
 
 
K 1r1
( s  p1 ) 1
K n1
(s  pn )
r
 
K nrn
(s  pn )
rn
El cálculo de los coeficientes K ij se hará por igualación o mediante
el método de los residuos, tal que:
1) para raíces con grado de multiplicidad 1 (simples),
K j  Y ( s )( s  p j )
s p j
, j  1,  l
2) para raíces con grado de multiplicidad rj (repetidas)
K
j r j  i 1

1
d
( i  1)! ds
i 1
r
i 1
(( s  p j ) j Y ( s ))
s p j
i  1  r j j  1,  l
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Transformada de Laplace
Una vez determinadas las Kij se procederá a calcular y(t)
utilizando las relaciones f ( t )  F ( s ) expuestas en la tabla de
transformadas de Laplace aplicadas a las fracciones simples
obtenidas de la descomposición, tal que:
1) para raíces reales simples
1
p t
(s  p j )
 e
j
n!
2) para raíces reales múltiples
(s  p j )
u (t )
 t e
n
n 1
 p jt
u (t )
p j  a j  j j
3) para raíces complejas simples
j
(s  a j )   j
2
2
 e
 a jt
sen  j t  u ( t )
(s  a j )
(s  a j )   j
2
2
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 e
 a jt
cos  j t  u ( t )
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Función de Transferencia

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante G(s) está
definida como la relación entre la transformada de Laplace de la salida
Y(s) y la transformada de la entrada U(s), bajo la suposición de
condiciones iniciales nulas, tal que
G (s)
Y (s)
U (s)

cond . inic  0
Para el sistema
an y
n)
 a n 1 y
n  1)
  a 1 y '  a 0 y  b m u
m)
  b1 u '  b 0 u
tomando transformadas en ambos miembros
Y (s)
U (s)

bm s
 G (s) 
an s
n)
m)
   b1 s  b 0
 a n 1 s
n 1 )
   a1 s  a 0
La función de transferencia es una propiedad del sistema en sí, ya
que no depende de la entrada al sistema.
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Función de Transferencia

Se pasa pues de representar un sistema que viene dado por su
ecuación diferencial en la forma de función de transferencia.

Esta forma de representación corresponde a la descripción
externa, la cual no provee ninguna información de la estructura
interna del sistema. Más aún, la función de transferencia de
sistemas distintos puede ser la misma (sistemas análogos).

A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación
característica) se le denomina orden del sistema

A las raíces de la ecuación característica se le denominan polos
del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman
zeros del sistema.
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Función de Transferencia
G (s) 
G (s) 

( s  3 )( s  2 )
( s  3 )( s  2 )
s ( s  1  j )( s  1  j )( s  6 )
s ( s  1  j )( s  1  j )( s  6 )
Si un sistema tiene varias entradas y/o varias salidas existe una matriz de
transferencia cuyos elementos G ij ( s ) relacionan cada salida Yi(s) con
cada entrada Uj(s), cuando las demás entradas son nulas
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Función de Transferencia
G ij ( s ) 
u1
um

Yi ( s )
U j (s)
i  1,  , n y j  1,  , m
cond . inic  0 ; R k  0 , k  j
Sistem a
M ultivariable
y1
yn
Por tanto, las funciones de salida Y1 ( s ), Y2 ( s ),  , Yn ( s ) serán
Y1 ( s )  G11 ( s )U 1 ( s )  G12 ( s )U 2 ( s )    G1 m ( s )U m ( s )
Y 2 ( s )  G 21 ( s )U 1 ( s )  G 22 ( s )U 2 ( s )    G 2 m ( s )U m ( s )

Y n ( s )  G n1 ( s )U 1 ( s )  G n 2 ( s )U 2 ( s )    G nm ( s )U m ( s )
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Diagramas de Bloques

Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de
las funciones realizadas por cada uno de sus componentes y sus
interrelaciones. En un diagrama de bloques las variables del sistema se
enlazan entre sí a través de bloques funcionales.

El bloque simboliza la operación matemática que el bloque produce a la
salida sobre la señal de entrada, expresada como func. de transferencia

Y
G (s )
U
X
Ademas de los bloques funcionales aparecen también el punto de suma
y el punto de reparto
U2
Y
U1
U
U3
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Diagramas de Bloques

El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones
dinámicas que describen el comportamiento de cada
componente a las que previamente se las aplica la transf. de
Laplace, conectando finalmente los componentes del
diagrama de bloques completo

A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden
realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el
diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.

Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de
las reglas del algebra de bloques
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Diagramas de Bloques
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Diagramas de Bloques
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