Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
(A) Variedades de usos del concepto intuitivo de consecuencia.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
El razonamiento de Aristóteles es válido.
Usted se contradice. Por lo tanto, está comprometido con cualquier cosa.
Lo que Kant dijo acerca de las categorías se sigue de sus ideas acerca del
espacio y del tiempo.
Que haya agua en Marte implica que hay H2O.
La nieve sea blanca. Por lo tanto, tiene color.
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
B.- Consecuencia

Material



a priori

Analítica


Metafísica


lógica
S es una consecuencia material de K ssi o K es
falsa, o S es verdadera
S es una consecuencia a priori de K ssi la sola
aceptación de K garantiza (sin recurrencia a elemento
empírico alguno) la aceptación de S, una vez aceptado K
por las razones que fueran.
S es una consecuencia analítica de K sss la
verdad de S garantiza la verdad de K en virtud
puramente del significado de los términos (lógicos y
extralógicos) que figuran en K y en S. Ejemplo: Esto es
rojo. Por lo tanto, Esto tiene color.
S es una consecuencia metafísica de K sss se
preserva la verdad necesaria de K a S. Por ejemplo,
Esto es agua. Por lo tanto, Esto es H2O.
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 Necesidad

Consecuencia Lógica?
Coffa (1991) Tradición Semántica (Bolzano, Frege, Wiitgenstein, Círculo de Viena)

Dar una explicación de la necesidad sin recurrir a la intuición racional.
 Significado
Consecuencia Analítica
 Racionalidad
Consecuencia a priori
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 (C) Distintos problemas: epistémicos vs lógicos
 ¿Cómo determinar que S es una consecuencia de K?
 ¿Podemos justificar a priori (o de manera infalible) que S
es una consecuencia de K?
 ¿Qué papel juega la noción de consecuencia en nuestros
esfuerzos por obtener conocimientos?
 ¿En qué condiciones S es una consecuencia lógica de K?
 ¿Qué es necesario y suficiente para que S sea una
consecuencia de K?
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 (D) El análisis filosófico de un concepto
Explicar vs Analizar (Elucidar – Definir)

-

1.- ¿Qué es analizar un concepto?





El concepto X analiza Y
Presentar un concepto (X) que siendo suficientemente similar al concepto analizado (Y) posee
una precisión superior con vistas a emplearlo de manera exitosa en las afirmaciones donde
aparecía Y.
En un análisis conceptual, su objeto (en este caso, la noción intuitiva de consecuencia) es
siempre oscuro e impreciso.
hay que comenzar por identificar los usos útiles de la noción que se quiere elucidar
la pretensión es siempre que por medio del análisis se ilumine el significado (el sentido o la
referencia) de la noción analizada.
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Al ofrecer un análisis conceptual de la noción de consecuencia deductiva, debemos

Preservar la extensión del concepto intuitivo. ()


La propiedad de ser humano es equivalente a la de ser bípedo implume
Preservar el significado del concepto intuitivo. (L  )

La propiedad de ser humano es lógicamente equivalente a la de ser animal racional


Ejemplos
R. Tarski

R. Carnap Meaning and Necessity
análisis del concepto de verdad en términos del concepto de satisfacción
análisis del concepto de verdad necesaria en
términos del concepto de L-equivalencia
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


2.- El problema de la arbitrariedad
recortes en la extensión del concepto intuitivo (la definición de verdad y la
eliminación de las paradojas semánticas)
- estipulaciones (prohibición de definir verdad dentro del propio lenguaje)



Sostiene Simpson:
(...) clarificar un concepto es construir un concepto nuevo, con el margen de arbitrariedad que ello
implica.
3.-El problema de la paradoja del análisis:

Si se pretende ofrecer un análisis del significado real del concepto de verdad a través de otro
concepto, o bien el concepto sustituto tiene el mismo significado, lo que vuelve trivial al análisis, o
bien él no tiene el mismo significado por lo cual no es un verdadero análisis.





Soltero  NO Casado
Soltero  Soltero
A Coffa (1975) "Dos concepciones de la elucidación filosófica" Crítica VII nº 21.
M. Comesaña (1995) "Análisis y eliminación: un módico homenaje a Simpson" Crítica XXVII nº 79.
T.M.Simpson (1975) "Análisis y elucidación: una módica defensa de Quine" Crítica VII nº 21.
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 (E) La relación de consecuencia
lógica

es una relación formal.

Si una oración A es una consecuencia
lógica de un conjunto de oraciones B, C,
D, etc., entonces cualquier argumento que
tenga la misma forma que el argumento
con premisas B, C, D, etc. y conclusión A
será también un argumento en que la
conclusión es una consecuencia lógica de
las premisas.

es una relación modal.

Es modal en cuanto que es una relación
de implicación necesaria, donde la
conclusión se sigue necesariamente de
las premisas.

"El silogismo es un discurso en el que, una
vez enunciadas ciertas cosas, se sigue
necesariamente algo distinto de lo ya
enunciado del hecho de que aquellas
cosas se den" (Aristóteles Primeros
Analíticos, 24b18-20).
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
(F) Nociones metalingüísticas de Consecuencia:




I.- Estrategia formal
Caracterizar una noción de consecuencia a partir de la enumeración de un conjunto de reglas de
inferencia (y de un conjunto de axiomas).
o
Axiomatización
o
Deducción natural


II.- Estrategia semántica
Caracterizar una noción de consecuencia a partir de la preservación de verdad.






III.- Estrategia abstracta
Caracterizar una noción de consecuencia a partir de sus propiedades abstractas
o
Reflexividad (o Inclusión): X  Cn (X),
o
Monotonía: X  Y implica Cn(X)  Cn(Y),
o
Corte (Idempotencia) : Cn(Cn(X))  Cn (X).
o
Compacidad: Cn (X)  U Cn (Y) / Y es finito y Y  X.
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
(G) Nociones caracterizadas dentro del lenguaje

-
Implicación estricta



-
o
Sistemas de lógica modal
Secuentes
(H) Dos nociones de Consecuencia Lógica




S es una consecuencia lógica de K
K├ S
S es derivable de K
S se deduce aplicando reglas de inferencia a partir de K
K S
S es una consecuencia semántica de K

(I) Equivalencia entre ├ y


El conjunto de derivaciones (K ├ S) e inferencias válidas (K S) es equivalente.
El conjunto de teoremas (├ S) y verdades lógicas ( S) es equivalente.
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
(J) Tesis de la primacía de la
semántica sobre la forma:

“ K ├ S” y “K S” no son oraciones del lenguaje
objeto.

“K ├ S” es una afirmación metalingüística
existencial comprometida con la existencia de
una secuencia finita de oraciones del lenguaje en
cuyo punto de partida están las oraciones de K y
cuyo último eslabón es S. Esa afirmación
describe el proceso inferencial.
Ejemplo : {p  s,  s}







1.
2.
3.
4.
5.
6.
ps
s
p
s

p
├
p




Sup
“K S” es una afirmación metalingüística universal
(no es existencial) comprometida con un vínculo
entre K y S sin hablar de ninguna secuencia
alguna que pueda reproducir un proceso de
prueba. Son el control de calidad de esos
procesos.
Ejemplo {p  s,  s}  p
  Modelo tal que, V ({p  s,  s}) sea 1 y la V
( p) sea 0
No hay un modo de interpretar las variables tal
que V ({p  s,  s}) sea 1 y la V ( p) sea 0
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
(K) Aproximaciones definicionales

S es una consecuencia lógica de K sss

1.- Modalidad:



-
No es posible que K sea verdadera y S falsa
Es imposible que K sea verdadera y S falsa
En todo mundo posible donde K es verdadera, S también es verdadera

Sea <W, V> un modelo, en el cual W es un conjunto de mundos w y V un conjunto de valores
veritativos, nominalmente {T, F}.

S es una consecuencia lógica de K sii Es imposible que K sea verdadera y S falsa.

Para todo w tal que V(K) en w = T, V(S) en w = T
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3.- Reglas:
-
Hay una prueba que va de K a S, compuesta por eslabones legítimos producto de la
aplicación de reglas de inferencia.
-
K garantiza S sólo en virtud de las reglas de inferencia que regulan el uso de las
constantes lógicas que figuran en K y en S.
-
{ K y ¬ S } es un conjunto inconsistente.
Carnap (Logical Syntax of Language, 1934):
(a) “It is impossible by the aid of simple methods to frame a definition for the term
‘consequence’ in its full comprehension. Such a definition has never yet been
achieved in modern logic (nor, of course, in the older logic).” (p. 27)
(b) “[X] is called a consequence of [K] in language II [i.e. classical mathematics] if [K {¬X}] is
contradictory.” (p. 117)
o
o
Un conjunto es consistente sss {} ├ 
Un conjunto inconsistente no tiene modelo.
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
4.- Interpretación

Para todo modo de interpretar K y O de forma que todas las oraciones que componen K
sean verdaderas, también hace verdadera a O.
Preservación de la verdad para todo modo de interpretar.

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




5.- Sustitución:
No hay una sustitución uniforme de
todos las expresiones no lógicas que
figuren en K y en S de manera tal que K
sea verdadera y S falsa.
o
Brentano
§
“Suppose there is just a single idea
in [a proposition] which can be arbitrarily
varied without disturbing its truth or falsity,
i.e., … all the propositions produced by
substituting for this idea any other idea …
are either true altogether or false
altogether, presupposing only that they
have [meaning]. […] I permit myself, then,
to call propositions of this kind, borrowing
an expression from Kant, analytic.” (§ 148)

“Among the definitions of [the concept of
deducibility] … one of the best is that of Aristotle: ‘a
syllogism is a discourse in which, certain things being
stated, something other than what is stated follows of
necessity from their being so.’ Since there can be no
doubt that Aristotle assumed that the relation of
deducibility can hold between false propositions, the
‘follows of necessity’ can hardly be interpreted in any
other way than this: that the conclusion becomes true
whenever the premises are true. Now it is obvious that
we cannot say of one and the same class of
propositions that one of them becomes true whenever
the others are true, unless we envisage some of their
parts as variable. For propositions none of whose parts
change are not sometimes true and sometimes false;
they are always one or the other. Hence when it was
said of certain propositions that one of them becomes
true as soon as the others do, the actual reference was
not to these propositions themselves, but to a relation
which holds between the infinitely many propositions
which can be generated from them, if certain of their
ideas are replaced by arbitrarily chosen other ideas.”
(Wissenschaftslehre § 155 note 1)
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
6. Modelo

-

Tarski “The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and
only if every model of the class K is also a model of the sentence X.”

“It is not difficult to reconcile the proposed definition with that of Carnap. For we
can agree to call a class of sentences contradictory if it possesses no model.”
Para todo modelo en el que K es verdadera, O también es verdadera.
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
Cuatro objeciones de Etchemendy

1.- Objeciones relacionadas con las diferencias entre el enfoque tarskiano y el
modelo teórico acerca de la noción de consecuencia lógica.

(a)

(b) No se puede asimilar el enfoque tarskiano al enfoque modelo teórico, ya que
son incompatibles.
Hay ventajas en el enfoque modelo teórico respecto del tarskiano.
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
Cuatro objeciones de Etchemendy

2.- El enfoque tarskiano tiene contraejemplos

Cuando uno compara la extensión del concepto intuitivo de consecuencia lógica
con la del concepto de consecuencia tarskiano, encuentra que esas extensiones
difieren: hay casos que resultan ser casos de consecuencia intuitiva que en el
enfoque tarskiano no resultan serlo y casos que resultan ser casos de
consecuencia tarskiana que no lo son desde el punto de vista intuitivo.
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


3.- Tarski comete una falacia modal
cuando argumenta que su
explicación captura el concepto
intuitivo de consecuencia lógica, y
por eso oscureció una debilidad
esencial de la explicación
Lo que Tarski tiene que hacer para
justificar su definición es probar:
(A) Si X es una consecuencia
tarskiana de K, ent necesariamente
(Si todas las oraciones de K son
verdaderas, X es verdadera)

Etchemendy reconstruye la prueba con la
que Tarski probaría que su concepto
captura el componente modal como sigue:

Supongamos (i) X es una consecuencia
lógica tarskiana de K
(ii) No es cierto que (Si toda todas las
oraciones de K son verdaderas, X es
verdadera) O lo que es equivalente: todas
las oraciones de K son actualmente
verdaderas y X es actualmente falsa
Estas suposiciones son contradictorias: (i)
dice que X es verdadera en todo modelo
en el cual todas las oraciones que integran
K son verdaderas, pero (ii) dice que hay
un modelo, nominalmente, uno que está
representando el mundo actual todas las
oraciones de K son verdaderas y X es
falsa


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
Sin embargo, Etchemendy señala que lo que una prueba con esta estructura es

(B) Necesariamente (Si X es una consecuencia tarskiana de K, entonces (Si todas
las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)


Pero, (B) no implica (A)
(A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las
oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)
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

In palabras de Etchemendy: “To show that all Tarskian consequences are
consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with
embedded modality. . . . Obviously, the proof in question does not show that every
Tarskian consequence is a consequence ‘in the ordinary sense.’ It is only through
an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves
demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e.,
follows with necessity from] the corresponding set of sentences.”

De “Nec (p implica q)” no se sigue que “p implica Nec q)”

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
Cuatro objeciones de Etchemendy

4.- El enfoque de Tarski depende de que haya una distinción esencial entre
términos lógicos y no lógicos, pero hay lenguajes muy sencillos en los cuales
ninguna distinción de este tipo puede ser realizada.
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