Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y
hechos modales
Prof. Eduardo Alejandro Barrio
1er cuatrimestre de 2005
Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
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hechos modales
Todo análisis de un concepto intuitivo preserva (al menos) la
coextensionalidad
K╞t S
↔
K╞int S
M. Gómez Torrente Cap. 5
La definición será correcta en el caso de que todo argumento
(de cualquier lenguaje formal) que sea un ejemplo de
consecuencia lógica en el sentido intuitivo lo sea también de
(consecuencia lógica)t, y viceversa.
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Problema:
K╞t S
↔
K╞int S
¿Ocurre que cuando una conclusión S es consecuencia lógica
de un conjunto de premisas K también ocurre que todo modelo
del conjunto K es un modelo de la oración S?
Estrategia: prueba por absurdo: Intentar probar que no ocurre y llegar
a una contradicción
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Argumento 1
Tesis a probar K╞int S → K╞t S
1.- Supongamos que K╞int S & que hay una interpretación I que es modelo de K
pero que no es modelo de S.
2.- ╞int un concepto formal y modal
3.- Si ╞int
un concepto formal, todo argumento con la misma forma que K╞int S
es también un ejemplo de ╞int
4. Toda ampliación de expresiones no lógicas persistente
5.- Si ╞int es modal y K´╞int S´, S´es implicada por necesidad lógica por las K‘
6. S´es implicada por necesidad lógica por las K‘ entonces no es posible que
todas las oraciones de K' sean verdaderas y X' falsa.
7.- Sin embargo, 1.- dice que hay una I que es modelo de K y no de X y 6.- que
esa I no es posible que exista.
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Argumento 2
Tesis a probar K╞t S → K╞int S
Una respuesta positiva habría de basarse al menos en dos argumentos:
K╞t S
es una relación formal, es decir, para mostrar que (para cualesquiera K, K', X y X')
si todo modelo de K es un modelo de X y el argumento de K a X tiene la
misma forma que el de K' a X', entonces todo modelo de K' es un modelo
de X';
Esa relación es una relación modal, es decir, para mostrar que (para cualesquiera
K y X) si todo modelo de K es un modelo de X entonces K implica X por
necesidad lógica. (En este punto, Tarski cometería la falacia modal)
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(1) La relación de (consecuencia lógica)t es formal (véase Tarski (1936), p. 417)
Supongamos que todo modelo de K es modelo de X, y (en busca de un absurdo)
que hay un argumento de, digamos, K' a X' con la misma forma pero tal
que todas las oraciones de K' son verdaderas y X' es falsa; pero entonces
tomemos la interpretación de las constantes no lógicas de K' y X' en la
cual las oraciones de K' son verdaderas y X' es falsa, y usémosla para
interpretar de la forma natural las constantes no lógicas de K y X; en esta
interpretación, las oraciones de K son verdaderas y X es falsa, contra la
suposición de que todo modelo de K es un modelo de X.
Argumento paralelo al de Etchemendy (la presunta falacia modal)
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El argumento tarskiano sólo funciona bajo la suposición de
que la interpretación, en el sentido intuitivo de
‘interpretación’, de las constantes no lógicas de K' y X' que
hace verdaderas a las oraciones de K' y falsa a X' es (o
puede transformarse de alguna manera apropiada en) una
interpretación en el sentido técnico usado en la definición de
Tarski y que igualmente haga verdaderas a las oraciones de
K' y falsa a X' .
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Lo que Etchemendy cita de Tarski
It seems to me that everyone who understands the content
of [my] definition must admit that it agrees quite well with
ordinary usage. This becomes still clearer from its various
consequences. In particular, it can be proved, on the basis of
this definition, that every consequence of true sentences
must be true, and also that the consequence relation . . . is
completely independent of the sense of the extralogical
constants which occur in these sentences. (Etchemendy p.
86.)
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Relaciones entre la noción de necesidad y la noción de generalidad.
Tesis generalista extrema:
Todas las atribuciones de la propiedad de necesidad que hacemos
normalmente son en realidad ocultas atribuciones de generalidad acerca
del mundo real.
Explicar por medio de la noción de generalidad la implicación por necesidad
lógica
K implica por necesidad lógica X cuando hay un conjunto de expresiones
de K y X tal que para todo modo de interpretar esas expresiones de forma
que todas las oraciones de K sean verdaderas, también X será verdadera.
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Diferentes maneras de entender ‘modo de interpretar’
Las definiciones tarskianas proponen
K╞int S
es coextensivo con el concepto de preservación de la verdad por toda estructura
Entender estructura como entidad conjuntista con un dominio fijo a partir del cual
se construyen las secuencias
¿Hay alguna tesis sustancial respecto a las relaciones entre la noción intuitiva de
implicación por necesidad lógica y la noción de generalidad?
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El defensor de la tesis generalista se propone:
(i) Explicar la noción de implicación por necesidad lógica en términos de
una cuantificación universal sobre “modos de interpretar” oraciones.
(ii) Explicar la noción de consecuencia lógica en términos de una
cuantificación universal sobre “modos de interpretar” las constantes no
lógicas.
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Posición de Etchemendy:
(1) Tarski dio un argumento a favor de la tesis se gún la cual su análisis del
concepto intuitivo de consecuencia captura el componente modal.
(2) Tarski cometió una falacia al dar el argumento.
Posición de Manuel García Carpintero (1993), de Gila Sher (1991) y de McGee
(1992)
(1)
Tarski dio un argumento
(2)
No cometió ninguna falacia
Posición de Mario Gómez Torrente, William Hart (reseña) y de Greg Ray
(1) Tarski no dio un argumento.
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John Etchemendy The Concept of Logical Consequence (1999)
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Etchemendy: Lo que Tarski tiene que hacer para justificar que su
definición de consecuencia es modal es:
(A)
K╞t S, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son
verdaderas, S es verdadera)
Ray: Tarski no tiene por qué probar (A).
Si K╞t S, entonces, toda vez que K sea verdadera, X también lo
es.
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
Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano: (Aplicado a Fórmulas
Universalmente Válidas)







╞ S → ╞ S tiene características modales
Hay que probar
t
t
Supongamos (i) ╞t S
Y
(ii) ╞t S no tiene carácterísticas modales
(iii) Si ╞t S, (Para Toda I), I(S)=1
(iv) Nec (Si ╞t S, (Para Toda I), I(S)=1)
(v) Si ╞t S, Nec (Para Toda I), I(S)=1) (Paso dónde se comete la falacia modal)
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








Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano:
Hay que probar
K╞t S → S es implicada necesariamente por K
Supongamos (i) K╞t S
Y
(ii) S no es implicada necesariamente por K
(iii) Si S no es implicada necesariamente por K, hay un argumento que va de K´ a
S´ en el cual K´es verdadera, y S es falsa (de (ii) )
(iv) I , tal que I(K) es actualmente verdadera y I(S) es actualmente falsa.
Sin embargo,
(v) Estas afirmaciones son contradictorias: (i) dice que S es verdadera en toda
interpretación en el cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero
(iv) dice que hay una I, nominalmente, una que está representando el mundo
actual en la cual K es verdadera y S es falsa.
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
Sin embargo, Etchemendy señala que lo que se prueba es

(B) Necesariamente (Si K╞t S, entonces (Si todas las oraciones de K son
verdaderas, X es verdadera)

Pero, (B) no implica (A)

(A) (Si K╞t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son
verdaderas, X es verdadera)
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
In palabras de Etchemendy: “To show that all Tarskian consequences are
consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with
embedded modality. . . . Obviously, the proof in question does not show that every
Tarskian consequence is a consequence ‘in the ordinary sense.’ It is only through
an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves
demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e., follows with
necessity from] the corresponding set of sentences.”
Un error de alcance:
 De “Nec (p implica q)” no se sigue que “p implica Nec q”
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K╞t S, entonces necesariamente , si toda K es verdadera, S es verdadera
Y
Si es necesario que (si toda K es verdadera, S es verdadera), esto es si K implica
estrictamente S, entonces K ╞ S
Se sigue que
K╞t S, entonces K ╞ S
¿Es la implicación estricta una relación formal?
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Cuatro formas de entender modo de interpretar
(1) entender modo de interpretar como estructura para ese lenguaje.
Si la noción que tenemos en mente de modo de interpretar las constantes
no lógicas de un lenguaje es simplemente la noción precisa de estructura
tarskiana entonces trivialmente siempre que K╞t S, se daria que K╞int S y
entonces K implicaría por necesidad lógica a X.
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Otras formas de entender la noción de modo de interpretar
(2) Estructura cuyo dominio es una clase (aparición explícita en la
estructura de una colección de objetos, que puede variar de estructura en
estructura, y que puede ser un conjunto o una clase)
Un (modo de interpretar)Cl el lenguaje L es una secuencia <U, a, A,
R> donde U es una clase no vacía, a es un ...
En este sentido, una estructura es un modo de interpretar un lenguaje
donde el universo es una colección de objetos del mundo real.
La pregunta aquí es si siempre que
K╞t S, entonces K╞cl S,
La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de
interpretar)CoP que estructuras tarskianas
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(3) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es un
conjunto de objetos posibles
Un (modo de interpretar)CoP el lenguaje es una secuencia <U, a, A, R>
donde U es un conjunto no vacío de objetos posibles (todos los cuales
existen juntos en un mundo posible m), a es ...
La pregunta aquí es si siempre que K╞t S, entonces K╞conjunto posible S,
La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de
interpretar)CoP que estructuras tarskianas
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(4) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es una
clase de objetos posibles
Un (modo de interpretar)ClP el lenguaje LAr es una secuencia <U, a, A,
R> donde U es una clase no vacía de conjuntos e individuos posibles
(todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es ...
La pregunta correspondiente es si siempre que La pregunta aquí es si
siempre que K╞t S, entonces K╞clase posible S
La respuesta no es inmediata, ya que naturalmente hay incluso más
(modos de interpretar)ClP que (modos de interpretar)CoP y que (modos
de interpretar)Cl.
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Resultados
Toda estructura es o un (modo de interpretar)Cl, o un (modo de
interpretar)CoP y un (modo de interpretar)ClP.
Para todo lenguaje formal, no hay un argumento que garantice que para
todo modo de interpretar exista una estructura tarskiana equivalente.
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