CINEMÁTICA
Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Acelerado
(MRUA)
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
En ciencias naturales es fundamental la:
• Observación de un fenómeno natural, el
• Registro de datos, la
• Elaboración de gráficas y, a partir de ellas, la realización de un
• Análisis para determinar la ley o
• Modelo matemático que rige el comportamiento del fenómeno.
• El tema se abordará a partir de un video (el cual se puede detener),
a partir de él, se adquirirán datos de posición y su respectivo
tiempo.
• Con ellos se hará una tabulación de posición contra tiempo (x vs. t)
• Se hará una gráfica de x vs. t
• Se realizará una análisis gráfico con los conocimientos hasta ahora
adquiridos del tema de movimiento rectilíneo uniforme (mru).
• Ver video (mrua posición)
Video de m. r. u. a.
• Llenar la siguiente tabla de x vs. t
t(s) 0
x(m)
2
4
6
8
10
12
14
• Para ello, deje avanzar el video y deténgalo. Ya detenido,
controle su avance con la esferita que corre en la parte
inferior
Tabulación de m. r. u. a.
t(s)
x(m)
0
0
2
4.6
4
18.4
6
41.4
8
73.6
10
115
12
14
165.6 225.4
• Realice la gráfica de x vs. t
• Recuerde o revise como se realiza una gráfica
– En que eje van las variables dependientes e
independientes
– Elegir una escala adecuada
– Usar papel milimétrico
– Etc.
Gráfica de posición vs. tiempo
• Toda vez que realice su propia gráfica, siga el
hipervínculo (posición vs. tiempo) donde se volverá a
correr el video pero con su respectiva gráfica.
• En la siguiente diapositiva se muestra la gráfica,
(compárela con la que Usted obtuvo)
Análisis de datos
Note que los intervalos de tiempo consecutivos son iguales:
Dt = t1 – t0 = t2 – t1 = t3 – t2 = ….. t7 – t6 = 2 s
y los respectivos desplazamientos:
Dx = x1 – x0 = 4.6 m – 0 m = 4.6 m
Dx = x2 – x1 = 18.4 m - 4.6 m = 13.8 m
Dx = x3 – x2 = 41.4 m – 18.4 m m = 23 m
Análisis de datos
Dx = x4 – x3 = 73.6 m – 41.4 m = 32.2 m
Dx = x5 – x4 = 115.0 m – 73.6 m = 41.4 m
Dx = x6 – x5 = 165.6 m – 115.0 m = 50.6 m
Dx = x7 – x6 = 225.4 m – 165.6 m = 59.8 m
se puede observar que los cambios de posición en
intervalos de tiempo de 2 s no son iguales, es
decir el movimiento es rectilíneo no uniforme
(recorre distancias diferentes en iguales intervalos de
tiempo).
Análisis de datos
En consecuencia las velocidades medias evaluadas
en intervalos de tiempo distintos no serán constantes:
.
• Entre t1 y t0
v1 
x1  x 0
t1  t 0

4 .6 m  0 m
2s  0s
 2 .3
m
s
• Entre t2 y t0
v2 
x2  x0
t2  t0

18 . 4 m  0 m
4s  0s
 4 .6
m
s
• Entre t3 y t0
.
v3 
x3  x0
t3  t0

41 . 4 m  0 m
6s  0s
 6 .9
m
s
Análisis de datos
• Entre t4 y t0
v4 
x4  x0
t4  t0

73 . 6 m  0 m
8s  0s
 9 .2
m
s
• Entre t5 y t0
v5 
x5  x0
t5  t0

115 . 0 m  0 m
10 s  0 s
 11 . 5
s
• Entre t6 y t0
v6 
x6  x0
t6  t0

165 . 6 m  0 m
12 s  0 s
m
 13 . 8
m
s
Velocidad instantánea
Las velocidades medias representan la pendiente de la recta
secante a la curva en los intervalos de tiempo considerados
y sus respectivas posiciones.
La información que proporciona la velocidad media solo es útil
cuando el movimiento es rectilíneo uniforme.
Como no es nuestro caso, se requiere generar un nuevo
concepto:
Velocidad instantánea
El proceso para generarla es el siguiente.
1. En su gráfica elija un punto donde desee conocer la
velocidad instantánea (por ejemplo a los 6 s)
2. Calcule la pendiente de la recta secante que une a ese
punto que seleccionó y el último punto registrado en su
gráfica (llámele vm6)
Velocidad instantánea
3. Tome un instante de tiempo anterior al último registrado,
trace la recta secante entre ese punto y el seleccionado
y calcule la pendiente de esa nueva recta secante (llámele
vm5) .
4. Siga con el mismo procedimiento de tomar intervalos de
tiempo cada vez menores y de calcular las pendientes de
las rectas secantes.
5. Compare como son los intervalos de tiempo y las
pendientes de las rectas secantes.
6. Siga con el mismo desarrollo de tomar intervalos de
tiempo cada vez mas pequeños hasta que estos tiendan a
cero (sin hacerse cero) y saque sus propias conclusiones.
El procedimiento anterior se muestra en las siguientes
gráficas
Velocidad instantánea
Comparando podemos observar que satisfacen
vm 3  vm 4  vm 5  vm 6
a mediada que el intervalo de tiempo tiende a cero.
D t 6  7  D t 6  8  D t 6  9  D t 6  10  D t 6  11
Pero los valores de la velocidad media no disminuyen
arbitrariamente, se van acercado a un valor limite.
Este valor limite es la velocidad instantánea evaluada en
el punto que tomamos como referencia.
Velocidad instantánea
Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente
x (m)
*
vm6
180
*
Recta secante
140
*
100
vm = pendientes de
las rectas secantes
*
60
*
20
punto elegido como referencia
*
*
0
*
l
2
l
4
t (s)
l
l
l
l
6
8
10
12
14
Velocidad instantánea
Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente
x (m)
*
vm6
180
*
vm5
Rectas secantes
140
*
100
vm = pendientes de
las rectas secantes
*
60
*
20
punto elegido como referencia
*
*
0
*
l
2
l
4
t (s)
l
l
l
l
6
8
10
12
14
Velocidad instantánea
Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente
x (m)
*
vm6
180
*
vm5
Rectas secantes
140
*
vm4
100
vm = pendientes de
las rectas secantes
*
60
*
20
punto elegido como referencia
*
*
0
*
l
2
l
4
t (s)
l
l
l
l
6
8
10
12
14
Velocidad instantánea
Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente
x (m)
*
vm6
180
*
vm5
Rectas secantes
140
*
vm4
100
vm3
60
*
20
vm = pendientes de
las rectas secantes
*
punto elegido como referencia
*
*
0
*
l
2
l
4
t (s)
l
l
l
l
6
8
10
12
14
Velocidad instantánea
Gráficamente las rectas secantes tienden a una recta tangente
x (m)
*
vm6
180
*
vm5
Rectas secantes
140
vm2 vm4
vm3
100
60
*
20
*
vm = pendientes de
las rectas secantes
*
punto elegido como referencia
*
*
0
*
l
2
l
4
t (s)
l
l
l
l
6
8
10
12
14
Interpretación gráfica de la velocidad instantánea
x (m)
.
*
180
*
140
*
100
Recta tangente
*
60
20
*
Punto elegido como referencia
l
*
*
0
*l
l
l
2
4
6
8
l
10
l
12
14
t (s)
Velocidad instantánea
• En resumen se tiene un proceso para calcular las
velocidades instantáneas a partir de una gráfica de
x vs. t
• Su valor, es el de la tangente (mejor conocida como
pendiente) a la curva en el instante de tiempo en que
deseamos conocerla.
• En el contexto matemático, se define la velocidad
instantánea como:
velocidad
ins tan tánea  v  lim v  lim
D t 0
D t0
Dx
Dt
 lim
D t 0
x  x0
t  t0

dx
dt
Velocidad instantánea
Como ejemplo adicional calcule las velocidades instantáneas en los
instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6, 8,10, 12 y 14 s (para ello, trace
rectas tangentes a cada uno de esos instantes de tiempo)
Sugerencia: Para calcular la pendiente de la recta tangente requiere
de dos puntos (t, x). El primer punto es el punto elegido (donde la
recta toca a la curva y lo puede leer en la tabulación de x vs. t).
El segundo punto, haga que la recta tangente corte el eje
horizontal, ahí, los datos para posición son (x = 0 m) y el tiempo
léalo en ese mismo lugar.
Aplique la fórmula para cálculo de pendientes
Cálculo gráfico de la velocidad instantánea
x (m)
.
*
180
Recta tangente
Punto donde queremos la velocidad instantánea *
140
**
100
Primer punto
*
60
20
*
*
0
*l
l
l
2
4
6
l
8
l
10
Segundo punto
l
12
14
t (s)
Velocidad instantánea
En función de sus cálculos, complete la siguiente tabla de
v vs. t
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
v (m/s)
Ir a hipervínculo rectas tangentes , subir pantalla dejando la proyección en el
pizarrón.
Los alumnos pasan al pizarrón trazan las tangentes auxiliándose de una regla,
toman datos y realizar los cálculos para llenar la tabla.
Nota al profesor: en la siguiente diapositiva se presenta la tabla
Velocidad instantánea
• Usted debió aproximarse a los siguientes valores
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
v (m/s)
0
4.6
9.2
13.8
18.4
23
27.6
32.2
• Como podrá observar la velocidad cambia de instante a instante.
La pregunta que surge es
¿Cómo cambia la velocidad?
Aceleración Media
Para describir como cambia la velocidad v (t) se define el concepto
de aceleración media:
aceleració n media  a 
Dv

v  v0
Dt
t  t0
El cual nos indica cuan rápido es el cambio
de velocidad
Dv  v  v0
en el intervalo de tiempo
Dt  t  t0
Sus unidades son
m
s
2
Aceleración Media
De la misma forma que con el desplazamiento y la velocidad,
se tiene que la aceleración también puede ser positiva o
negativa, depende de:
v0
vf  0
si
vf > v0
a > 0 acelerando
si
vf < v0
a < 0 frenando
si
vf < v0
a < 0 acelerando
si
vf > v0
a > 0 frenando
vf
v0  0
Aceleración Media
En algunas situaciones el valor de la aceleración media puede ser
diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es útil
definir la aceleración instantánea:
aceleració n ins tan tánea  a  lim a  lim
D t 0
Dv
D t 0
Dt
 lim
D t0
v  v0
t  t0

dv
dt
la aceleración también puede escribirse como
a 
dv
dt

d
2
dt
x
2
Es decir, en un movimiento en línea recta, la aceleración es igual a la
segunda derivada de la posición de la partícula con respecto al
tiempo.
Aceleración Media
Regresemos al ejemplo anterior:
t(s)
0
2
4
6
8
10
12
14
x(m)
0
4.6
18.4
41.4
73.6
115
165.6
225.4
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
v (m/s)
0
4.6
9.2
13.8
18.4
23
27.6
32.2
Analizar como cambia la velocidad calculando Δv
(los cálculos se presentan en la siguiente diapositiva)
Aceleración Media
Consideremos los cambios de velocidad
Dv = vf – v0
• Entre t2 y t1
D v  v 2  v1  9 .2
m
D v  v 3  v 2  13 . 8
m
 4 .6
s
m
 4 .6
s
m
s
• Entre t3 y t2
 9 .2
m
 4 .6
m
s
s
s
m
m
m
• Entre t4 y t3
D v  v 4  v 3  18 . 4
s
 13 . 8
s
 4 .6
s
Aceleración Media
• Entre t5 y t4
D v  v 5  v 4  23 . 0
m
 18 . 4
m
 4 .6
m
s
s
s
m
m
m
• Entre t6 y t5
D v  v 6  v 5  27 . 6
 23 . 0
s
 4 .6
s
s
• Entre t7 y t6
D v  v 7  v 6  32 . 2
m
s
 27 . 6
m
s
 4 .6
m
s
Aceleración Media
Y las correspondientes aceleraciones medias
• Entre t2 y t1
a 
• Entre t3 y t2
a
Dv
Dt
Dv
Dt


v 2  v1
t 2  t1
v3  v 2
t3  t2
 2 .3 m s
2
 2 .3 m s
• Entre t4 y t3
a
Dv
Dt

v 4  v3
t 4  t3
 2 .3 m s
2
2
Aceleración Media
Si evaluamos la aceleración media en los demás intervalos de
tiempo la encontraremos igual a
a  2 .3 m s
2
Este tipo de movimiento se conoce como:
Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) o con
Aceleración Constante
Gráficas del MRUA
t(s)
0
2
4
6
8
10
12
14
x(m)
0
4.6
18.4
41.4
73.6
115
165.6
225.4
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
v (m/s)
0
4.6
9.2
13.8
18.4
23
27.6
32.2
Los alumnos realizan gráfica v vs. t y se retroalimentan con la
diapositiva siguiente
Gráfica de v vs t
Gráfica de v vs t
En una gráfica de velocidad contra tiempo el valor
de la pendiente de la recta es la aceleración.
Ecuaciones de M R U A
La ecuación de la posición x = x(t) que describe el movimiento con
aceleración constante, puede ser obtenida al considerar que para este
movimiento en particular la velocidad media (promedio) en cualquier
intervalo de tiempo coincide con la media aritmética de la velocidad
inicial, v0 y de la velocidad final v, es decir :
v  vm
Velocidad media v m 
igualando
Despejando
v  v0
2
x  x0
Dx
Dt


x  x0
t  t0
velocidad media aritmética v 
x  x0
t  t0
 v  v0 
 
 t  t 0 
2


v  v0
2
Ecuaciones de M R U A
Teniendo en cuenta que v = v0 + at , se puede sustituir en
 v  v0 
x  x0  
 t  t 0 
 2 
Desarrollando queda:
 v 0  a t  t 0   v 0 
x  x0  
 t  t 0 
2


Lo que nos indica la grafica x vs t es una sección de parábola
(En cursos de matemáticas sería de la forma y = a + bx + cx2)
x  x 0  v 0 t  t 0  
1
2
a t  t 0 
2
Ecuaciones de M R U A
Las ecuaciones
1
2
x  x 0  v 0 t  t 0   a t  t 0 
2
v  v 0  at
Describen completamente al movimiento uniformemente acelerado o
movimiento con aceleración constante.
Ecuaciones de M R U A
Sin embargo es posible obtener a partir de éstas un par
de ecuaciones mas:
• Una de ellas relaciona el cambio de la posición con el
cambio de velocidad y la aceleración. En ausencia del
tiempo:
v
2
 v0  2ax  x0 
2
• En la otra nos relaciona el cambio de la posición con
velocidad y el tiempo, pero en ausencia de la
aceleración:
x  x0 
1
2
v
 v0

t
Resumen de Ecuaciones de M R U A
Modelo matemático
Información adicional
x = x0 + v0t + ½ at2
No contiene la velocidad final
x = x0 + ½(v + v0)t
No contiene la aceleración
x = x0 + vt - ½ at2
No contiene la velocidad inicial
v = v0 + at
No contiene la posición
v2 – v02 = 2a(x-x0)
No contiene el tiempo
x = x0 + vt - ½ at2
No contiene la velocidad inicial
Simulación de problemas de libro de texto
•
•
•
•
•
Resnick sec. 2-6 problema 35
Resnick sec. 2-6 problema 36
Resnick sec. 2-6 problema 38
Resnick sec. 2-6 problema 45
Resnick sec. 2-6 problema 47
Tarea de M R U A
Tarea de Movimiento Rectilíneo Uniformemente
Acelerado
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Ligas de interés:
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