DEFINICIONES Y EJEMPLOS
TABLA DE CONTINGENCIA
 Una tabla de contingencia es una es una distribución (una matriz)
en filas y columnas en la que los individuos de una población se
clasifican en función de algunas variables.
 Por ejemplo: la siguiente es una tabla de contingencia en la que 300
personas se han clasificado según el sexo y por su adicción al
tabaco.
PROBABILIDAD MARGINAL
 Probabilidad Marginal: Es la probabilidad de un evento simple sin
consideración de algún otro evento. Es también llamada
Probabilidad Simple.
 Para el ejemplo anterior, si dividimos cada elemento de la tabla por
el número de individuos (300), tenemos que:
Eventos:
H=Es Hombre
M= Es Mujer
F=Es fumador
NF= No es
fumador
Hombres
Mujeres
Totales
Fumadores
0.40
0.17
0.57
No Fumadores
0.20
0.23
0.43
Totales
0.6
0.4
1
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Esta se define como la probabilidad de
que ocurra el suceso “A”, dado que ya
sucedió el evento “B”.
EJEMPLO 1
De acuerdo a la tabla de los fumadores y
no fumadores, ¿Quien tiene mayor
probabilidad de ser fumador, los hombres
o las mujeres?
SOLUCIÓN
 Calculamos la probabilidad de fumar dado que es
hombre:
P(F H ) 
P(F  H )

P(H )
0 .4
 0 . 6667  66 . 67 %
0 .6
 Calculamos la probabilidad de fumar dado que es mujer:
P(F M ) 
P(F  M )
P(M )

0 . 17
 0 . 4250  42 . 50 %
0 .4
 Respuesta: Es más probable que los hombres fumen
EJEMPLO 2
Al elegir a un fumador, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer?.
Respuesta:
P(M F ) 
P(M  F )
P(F )

0 . 17
0 . 57
 0 . 2982  29 . 82 %
IMPORTANTE!!!
De la tabla de contingencia puede
observar que por ejemplo:
P(H)=P(H∩F)+P(H ∩ NF)
Hombres
Mujeres
Totales
Fumadores
0.40
0.17
0.57
P(F)=P(F∩H)+P(F∩M)
No Fumadores
0.20
0.23
0.43
Totales
0.6
0.4
1
EVENTOS INDEPENDIENTES
 Dos eventos son independientes si y sólo sí la
probabilidad condicionada es igual a la probabilidad
marginal.
P ( A B )  P ( A)
 En ese caso la probabilidad de que ocurran ambos al
mismo tiempo será:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
EJEMPLO 3
Si la probabilidad de lluvia es del 20%, y
la probabilidad de que granice es del 35%,
¿Cuál es la probabilidad de que llueva y
caiga granizo?
Respuesta:
P ( A )  0 .2
P ( B )  0 . 35
P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  0 . 2  0 . 35  0 . 07  7 %
EJEMPLO 4
En una caja hay 7 profilácticos, se sabe
que 2 están defectuosos y los otros 5
están bien, al sacar 2 unidades de la caja.
¿Cuál es la probabilidad de que el primero
salga defectuoso y el segundo este bien?
SOLUCION
 Definamos dos eventos A=el primero es defectuoso, y
B=el segundo es No Defectuoso.
P ( A)  2 / 7
P(B)  5 / 6
2 5
5
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )   
 0 . 2381
7 6
21
EJEMPLO 5
Un estudiante recibe un examen de 5
preguntas, de selección múltiple, cada una
con 3 opciones. ¿Cuál es la probabilidad
de haber seleccionado las respuestas
incorrectas a todas las preguntas?
SOLUCION
 En este caso se tienen 2 opciones incorrectas por cada
pregunta, por lo tanto la probabilidad de contestar
incorrectamente la pregunta es 2/3, contestar una
pregunta no depende de la respuesta de la anterior, por
lo tanto se tiene que la probabilidad de responder a
todas incorrectamente (A) es:
P ( pregunta _ incorrecta )  2 / 3
5
2
P ( A )  2 / 3  2 / 3  2 / 3  2 / 3  2 / 3     0 . 1317
3
TEOREMA DE BAYES
 Es una extensión de la probabilidad condicional que ya se presento,
tomando en cuenta que los eventos no son independientes, la
probabilidad de P(A∩B)=P(B)∙P(A│B), y recordando el resultado
importante que deducimos de las tablas de contingencia, se tiene la
formula de Bayes:
P( A B) 
P( A  B)
P(B)
P(A B) 

P ( A)  P ( B A)
P ( B  A1 )  P ( B  A2 )
P ( A)  P ( B A)
P ( A1 )  P ( B A1 )  P ( A 2 )  P ( B A 2 )
P….pero que fórmula, ¿Se Puede hacer más fácil?
Claro que sí, solo hay que formar la tabla
de contingencia y aplicar la probabilidad
condicional
EJEMPLO 6
 En la UES, los estudiantes se distribuyen entre las tres
carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el
20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45%
economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus
estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%.
Elegido un alumno al azar determinar
 A) la probabilidad de que haya acabado los estudios.
 B) la probabilidad de que haya acabado los estudios, si
es de la carrera de economía.
SOLUCION
PRIMERO CONSTRUIMOS LA TABLA DE
CONTINGENCIA.
FINALIZO NO FINALIZO
TOTAL
ARQUITECTURA
1.00%
19.00%
20.00%
5%
MEDICINA
4.20%
30.80%
35.00%
12%
ECONOMIA
8.10%
36.90%
45.00%
18%
TOTAL
13.30%
86.70%
100.00%
Para contestar al literal A), lo hacemos
inmediatamente,
FINALIZO NO FINALIZO
TOTAL
ARQUITECTURA
1.00%
19.00%
20.00%
5%
MEDICINA
4.20%
30.80%
35.00%
12%
ECONOMIA
8.10%
36.90%
45.00%
18%
TOTAL
13.30%
86.70%
100.00%
Para el literal B), definamos evento F=finalizo
los estudios, y evento E=estudio economía.
P(F E ) 
P(F  E )
P(E )

8 .1 %
45 %
 0 . 18
EJEMPLO 7: Test diagnósticos: aplicación Regla de Bayes.
Sensibilidad,
verdaderos +
P. a priori de enfermedad:
incid., preval., intuición,…
T+
Enfermo
Falsos -
T-
Individuo
Falsos +
T+
Sano
Especificidad,
Verdaderos -
T-
Ejemplo: Test diagnóstico y Regla de
Bayes
 La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una
consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de
diabetes. Su sensibilidad es de 0,3 y la especificidad de 0,99.
Calcular los índices predictivos.
0,3
0,2
Enfermo
0,01
Sano
0,99
Estadística Inferencial
P ( Enf

0,7
Individuo
0,8
T+
TT+
T-
P ( Enf
P ( Enf | T  ) 
0 , 2  0 ,3
0 , 2  0 , 3  0 ,8  0 , 01
 T  )  P ( Sano  T  )
 0 ,88
P ( Sano
P ( Sano | T  ) 
P ( Sano

0 ,8  0 , 99
0 ,8  0 , 99  0 , 2  0 , 7
 T )
 T )
 T  )  P ( Enf  T  )
 0 ,85
Tema 1: Probabilidades
 En el ejemplo anterior, al llegar un individuo
a la consulta tenemos una idea a priori sobre
la probabilidad de que tenga una
enfermedad.
-¿Qué probabilidad tengo de
Observaciones
estar enfermo?
- En principio 0.2. Le
haremos unas pruebas.
 A continuación se le pasa un test diagnóstico
que nos aportará nueva información:
Presenta glucosuria o no.
 En función del resultado tenemos una nueva
idea (a posteriori) sobre la probabilidad de
que esté enfermo.
 Nuestra opinión a priori ha sido modificada
por el resultado de un experimento.
 Relaciónalo con el método científico.
- Presenta glucosuria. La
probabilidad ahora es de 0.88
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PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TEOREMA DE BAYES