• La plática del día de hoy forma parte de un
esfuerzo conjunto que busca, principalmente,
el motivar y promover el estudio de las
matemáticas.
• El tema a tratar está relacionado con los
temas de ecuaciones diferenciales y el de la
tranformada de Laplace.
• Tu presencia el día de hoy nos motiva a
seguir participando en este esfuerzo
conjunto.
• Comité organizador
“Modelación y Estudio de las
ecuaciones diferenciales l.c.c.c. en
el dominio de Laplace (frecuencia)
utilizando MATLAB-SIMULINK”
Maestro: Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrónica y Automatización,
ITESM, Campus Monterrey
[email protected]
Motivación
• Análisis y estudio intuitivo (no formal) de las
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a través
de la transformada de Laplace.
• Ilustrar el comportamiento de la respuesta de
sistemas físicos con la ayuda del programa
computacional MATLAB-SIMULINK.
El que haya personas interesadas en promover, motivar
y escuchar sobre el tema de ecuaciones
diferenciales y la Transformada de Laplace.
Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
Sistema
-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
Físico
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)
Sistema (Físico)
u(t)
y(t)
a modelar
Función forzante
Respuesta del sistema
Relación causal
Para obtener una ecuación diferencial,
podemos utilizar:
• Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,
rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria
del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan
un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para
procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
…
Sistemas físico: Temperatura en un horno
Flujo de
Combustible:
Temperatura:
Horno
qi(t)
T(t)horno
Relación causal
Temperatura
Flujo de gas
Sistema Físico:Llenado de un tanque
Nivel: h(t);
Caudal de
entrada
p(t): s eñal q ue regula
el c aud al hac ia el tanq ue.
Tanque
Salida, qo(t)
qi(t)
Relación causal
q i (t): C a uda l de e ntra da
h(t): altura d el tanq ue
q o (t): C a uda l de s a lida
R h : res is tenc ia Hid ráulic a
A:
área d el tanq ue
Caudal de
Análisis de una ecuación diferencial
lineal c. c. c.
Sistema (Físico)
u(t)
a modelar
Función forzante
y(t)
Respuesta del sistema
La respuesta y(t) de un sistema
mecánico ante una función forzante
u(t) está definida por la ecuación
diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0
2
d y ( t )  0 . 4 dy ( t )  0 . 13 y ( t )  u ( t )
2
dt
dt
2
d y(t)
dt
2
+ 0.4
dy(t)
dt
+ 0.03 y(t)
=
1.5 +
-3t
e
S en 10t
u(t): Comportamiento deseado
Función forzante: u(t)
F u n ción e s calón de m a gn itu d 1.5;
F u n ción S en oid al m u ltiplicada por u n a expo n en cial
u (t) = 1 .5 +
-3 t
e
S en 1 0 t
Analogía de Sistemas de Primer Orden
R
p(t): señal q ue regula
el c aud al hac ia el tanq ue.
i(t):
v i (t): fuente
d e vo ltaje
C
v o (t)
q i (t): C a uda l de e ntra da
v i (t): fuente d e vo ltaje
v o (t): vo ltaje d e s alid a
h(t): altura d el tanq ue
q o (t): C a uda l de s a lida
C : C ap ac ito r
R h : res istenc ia Hid ráulic a
A:
área d el tanq ue
R : R es is tenc ia
R .C
dvo ( t )
 vo ( t )  vi( t )
dt

dvo ( t )
 vo ( t )  vi( t )
dt
τ
dc(t)
dt
+ c(t) = K . u (t)
dq0(t)  q (t)  q (t)
i
0
dt
dq0(t) + q (t) = qi(t)

0
dt
R.A
K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
La transformada de Laplace en la
modelación, estudio y solución de
las ecuaciones diferenciales.
Relación entre f(t) y su equivalente F(s).

0
L { f(t)}
f(t)
e
-st
dt
F(s)
f(t)
Plano Complejo: s =  + j
j: Eje Imaginario
tiempo
Ejemplos
L
{e
-6t
}
L {2 S e n 4 t}= 2
 : Eje real
1
s6
4
2

s  16
L {5 e
-3t
S en 2t } = 5
8
2
s  16
2
2
(s+ 3)  2
2

10
2
s  6s  9  4

10
2
s  6s  13
Principales funciones a obtener de una
ecuación diferencial: G(s) y Y(s)
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos
expresiones son de gran interés:
La función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la
función forzante)
1) Y(S):
2 )Gs)
(
c.i.=0

Y (s)
; Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y
no se sustituye la función forzante.
U (s)
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:
K ( s  a )...
(s  b )(s  c )...

K n (s)
d (s)
n (s)  0; cero s : (o )
d (s)  0; p o lo s : (X )
K : g an an cia
jw
x
;
o o x
x

G(s) y Y(s)
10
Para la ecuación diferencial
dy ( t )
 y ( t )  1 . 2 u ( t );
dt
y ( 0 )  0 . 8 u . de i . ;
Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)
u ( t )  2 u . de i ., para t  0
Solución:
L {10
dy ( t )
 y ( t )}  L {u ( t )}
dt
jw
10 sY ( s )  10 y ( 0 )  Y ( s )  U ( s );
Y ( s )[ 10 s  1]  10 y ( 0 )  U ( s );
Y (s)
U (s)
L {10
|c .i . 0  G ( s ) 
dy ( t )
1 .2
10 s  1

0 . 12
s  0 .1

X
: Función
de Transferen cia
-0.1
 y ( t )}  L {1 . 2 u ( t )}
dt
jw
10 sY ( s )  10 y ( 0 )  Y ( s )  1 . 2U ( s );
2
Y ( s )[ 10 s  1]  10 ( 0 . 8 )  1 . 2   ;
s
o
8 s  2 .4
2
Y ( s )[ 10 s  1]  1 . 2    8 
s
s
Y (s) 
8 s  2 .4
s (10 s  1)

0 .8 ( s  0 .3)
s ( s  0 . 1)
: Función
X
-0.3 -0.1
Respuesta
X
0

Obtención del valor inicial y final de y(t)
Y (s) 
8 s  2 .4
s (10 s  1)

0 .8 ( s  0 .3)
s ( s  0 . 1)
jw
: Función
Respuesta
o
X
X
-0.3 -0.1
Y (s) 
a
s

b
s  0 .1

2 .4
s


0
1 .6
Polo dominante
s  0 .1
Teorema del valor inicial :
y ( 0 )  lim s .Y ( s )  lim s .
s 
s 
0 .8 ( s  0 .3)
s ( s  0 . 1)
 lim
s 
0 .8 ( s  0 .3)
( s  0 . 1)
 lim
s 
0 .8
 0.8
1
2.4
0.8
Teorema
del valor
final :
y (  )  lim s .Y ( s )  lim s .
s 0
s 0
0 .8 ( s  0 .3)
s ( s  0 . 1)
 lim
s 0
0 .8 ( s  0 .3)
( s  0 . 1)
t

( 0 . 8 )( 0 . 3 )
0 .1
 2 .4
Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)
Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento.
Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada
por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()
200
dy ( t )
 y ( t )  0 ; y ( 0 )  80  C
dt
80 ºC
200 sY ( s )  200 y ( 0 )  Y ( s )  0 ;
Y ( s )[ 200 s  1]  1600
Y (s) 
1600
0 ºC
200 s  1
Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final:
y ( 0 )  lim sY ( s )  lim s
s 
s 
1600
200 s  1
y (  )  lim sY ( s )  lim s
s 0
s 0
t

1600
 80
200
1600
200 s  1
0
Programa MATLAB-SIMULINK (basado en
la representación a bloques)
• Para modelar y analizar los elementos de una
ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un
sistema físico.
• Obtener la respuesta en el tiempo para una función
Y(s).
• Obtener las gráficas de las diferentes variables
dentro de mismo sistema físico, sin requerir obtener
su representación en el tiempo.
• …
Modelación de una ecuación diferencial
mediante Diagrama a bloques.
p(t): s eñal q ue regula
el c aud al hac ia el tanq ue.
q i (t): C a uda l de e ntra da
Caudal de
entrada
h(t): altura d el tanq ue
q o (t): C a uda l de s a lida
Caudal de
salida
q 0 (t) 
h(t)
Acumulado
Qi(s) – Qo(s)
1
As
dh(t)
dt
..... (2)
Rh
Q i ( s )  Q o (s)  A s H (s) , (c. i.  0) ;
Qo(s)
=
q i (t)  q 0 (t)  q acum (t)  Av(t)  A
R h : res is tenc ia Hid ráulic a
A:
área d el tanq ue
Qi(s) +
Caudal
Q 0 ( s) 
H(s)
1
Rh
H (s)
Rh
Qo(s)
...... (1)
Simulación del sistema hidráulico utilizando
la herramienta computacional Matlab-Simulink
Dos Tanques
q i ( t )  q 01 ( t )  q 02 ( t )  q acum ( t )  A
q 01 ( t ) 
q 02 ( t ) 
h (t )
dh ( t )
Q i ( s )  Q 01 ( s )  Q 02 ( s )  Q acum ( s )  A s H ( s )
dt
p (t)
;
R h1
q i (t)
h (t )
R h2
R h2
h(t)
R h1
q 02 (t)
H (s)
Q 02 ( s ) 
H (s)
q 01 (t)
V1
Q01(s)
Q 01 ( s ) 
A
V2
1
R h1
-
Qi(s)
Qi(s) – Q01(s) – Q02(s)
+
1
As
-
Q02(s)
1
R h2
H(s)
R h1
R h2
;
Modelaciòn y simulación del sistema de
dos tanques mediante SIMULINK.
Gráficas de Simulación
(tanque_1entrada_2salidas)
Qi(t): Flujo de entrada
h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque
Flujo de salida q02(t)
Flujo de salida q02(t)
Sistema: Masa-Resorte-Amortiguador
en la suspensión de un auto
f(t)entrada: fuerza de entrada
z(t): desplazamiento
o respuesta del sistema
Masa: m
Resorte
Amortiguador

i 1
fuerzas  ma
md
2
d
z (t )
t
2
Aplicación del sistema básico:
masa-resorte-amortiguador
Simulación mediante SIMULINK
2
z (t )
d
 Fuerzas  ma  m
2
dt
 fuerzas  f i ( t ) 
Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s)
f ( t ) resorte  f ( t ) amortiguad or
F ( s ) resorte  k Z ( s )
f ( t ) resorte  k z ( t )
f ( t ) amortiguad or  B
F ( s ) amortiguad or  B sZ ( s )
dz(t)
dt
F(s)resorte
k
fi(t)
-
Fi(s)
Z(s)
1
+
-
ms
z(t)
Bs
F(s)amortiguador
2
Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
Paso por un bache sencillo
Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos
con superficie rugosa.
Agradecimiento
• Agradezco la invitación a este evento y me
uno al esfuerzo y al interés mostrado no
sólo de los profesores del Departamento de
Matemáticas, sino también el de los
alumnos de los cursos de ecuaciones
diferenciales, y a los voluntarios proactivos
para la organización de este evento.
En lo personal: gracias a los organizadores, y a la
audiencia que nos acompaña, por su tiempo para
permitirme compartir un poco sobre el tema de la
Transformada de Laplace.
Quedo a sus órdenes
• Maestro Francisco Palomera Palacios
• [email protected]
• Departamento de Mecatrónica y
Automatización, Campus Monterrey
Parte 1: Actividad en equipo
(modificar el archivo correspondiente)
• Para el caso del tanque con dos válvulas de
descarga:
• 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida
en ambas válvulas, si las dos válvulas están
igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2
• 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta
la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuye
el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por
el de A = 2 m2?
Parte 2: actividad
10 s  2 s  40
• Para la función Y ( s ) 
s ( s  2 )( s  5 )
2
Obtenga:
1) Su expansión en fracciones parciales sin
calcular el valor de los coeficientes.
2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada
uno de los término de la expansión realizada
en el inciso anterior?
3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de la
función Y(s).
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Uso e importancia de la Transformada de Laplace en la