Tema 3. Digitalización y cuantificación
Introducción




Las imágenes reales suelen ser continuas. Para poder trabajar con ellas
en un ordenador, será necesario digitalizarlas.
Este proceso comprende dos fases principales: el muestreo y la
cuantificación.
El muestreo es la parte encargada de integrar en un punto la
información que se halla en un área determinada. Estos puntos en los
que se integra el área son los elementos más pequeños en que se
divide una imagen: los píxeles (Picture Elements).
Una vez muestreada la imagen, será necesario codificar digitalmente el
color integrado en cada píxel. Esta codificación de colores es lo que se
denomina cuantificación de la imagen.
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Muestreo y reconstrucción de una imagen

Imagen continua o señal analógica, f(t)

Valores muestrales: {f(kT), kZ), siendo TR+ el periodo de muestreo.
{..., -3T, -2T, -T, 0, T, 2T, 3T,...}

PROBLEMA: Se trata de encontrar una función de interpolación
g(t) de manera que
f r (t ) 


k  
sea igual f(t)
f ( kT )  g ( t  kT )
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Reconstrucción:
f r (t ) 


f ( kT )  g ( t  kT )
k  

f ( kT )  g ( t  kT ) 

f ( x )  g ( t  x )   ( x  kT ) dx


f r (t ) 


 

f ( x )  g ( t  x )    ( x  kT )  dx
 k  

periódica en [–T/2, T/2]


K  
 ( x  kT ) 


ak e
i 2  kx / T

1
, k
T
k  
 
  i 2  kx / T
ak 
dx
    ( x  kT )   e
T  T / 2  k  
1
T /2
Tema 3. Digitalización y cuantificación

f r (t ) 

f ( x )  g (t  x )   ( e



F (u ) 
*
F (u )  0,
para


Fourier
/ T ) dx



i 2  kx / T
 g (t  x ) 
i 2  kx / T


f
(
x
)

e

dx

 

T



 f r (t )  


k  
F r (u ) 
G (u )
T

  F (u 

.......... ..

1
 F (u  )
T
k

F (u  )  F (u )

T
 F (u  1 )

T
.......... ..
Solución:

T
G (u )  

0
si
si
si
si u  u c
si u  u c
u  uc
T  1/(2uc)
k
)
T

1
 uc  u  
1
 uc
T
T
 uc  u  uc
1
1
 uc  u 
 uc
T
T
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uc
g (t ) 

 uc
T e
i 2  ut
du 
sen(2  u c t )
g(t) = senc (2 uc t)
t
T
T = 1/(2uc)

Teorema de Whittaker-Koteinikov-Shanon:

Si la transformada de Fourier de la imagen f(t) se anula para

entonces la imagen se puede reconstruir exactamente a partir de los
valores muestrales siempre que se tomen con un espaciamiento

T 
1
2u c
u  uc
Tema 3. Digitalización y cuantificación
Muestreo con funciones ortonormales.
f ( x, y ) 


  a ij   ij ( x , y )
i0 j0
 
mn
( x , y )   pq ( x , y ) dxdy   m p   nq ,  m , n , p , q  N

 ij

si i  j
1

0
si i  j
f ( x , y )   m n ( x , y ) d xdy 



  a  
ij
i0 j0
ij
( x , y )   m n ( x , y ) d xdy  a m n

muestras de la imagen f(x,y) con respecto a ese sistema ortonormal de
funciones
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Ejemplo:
 mn ( x , y ) 
ny  

 mx
exp  2 i 

,
AB
B 
 A

1
m , n  0 ,1, 2 ,.....
B
(x,y)  [-A/2, A/2][-B/2, B/2]
-A
A
-B
a mn 

1
AB
B/2
A/2


B /2 A/2
ny  

 mx
f ( x , y )  exp  2 i 

 dxdy
B 
 A

n
m
F  
AB
 A B
1
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Ejemplo:
 mn ( x , y ) 
MN
m  0 ,1, 2 ,..., M  1
,
n  0,1,2,...,
AB
N 1
(x,y)[mA/M , (m+1)A/M][nB/N , (n+1)B/N]
a mn 
MN
AB
(n  1)B/N
(m  1)A/M


nB/N
mA/M
f ( x , y ) dxdy
B
B/M
A/M
A
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Minimizar el error cuadrático medio
e MN 
2

f (x  y) 
a mn 
  a ij   ij ( x , y )
2
dxdy
i0 j0

Solución:
M 1 N 1

f ( x , y )   mn ( x , y ) dxdy

No se consigue nada más si incrementamos M y N más allá de la capacidad
de resolución espacial del observador o usuario de la imagen recibida. Se
deben incorporar aquellos términos que contribuyan más en los detalles más
finos de la imagen y que su eliminación contribuya a una sensible pérdida de
resolución.
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Problema:
Pasar de una imagen analógica f(x,y) (toma valores continuos),
a una imagen digital que toma valores en el conjunto finito {r1 , r2 ,...., rL}
que llamaremos niveles de reconstrucción
f ( m , n )  r1 , r2 ,... rL 
ri
Ri
Un cuantificador Q (escalar) es una aplicación de  en el conjunto
discreto de puntos C={r1, r2 ,...., rL}:
Q :   C
donde el conjunto C se llama código o tabla de códigos.
R i  t  R : Q(t)  ri 
La cantidad r = log2 L se llama resolución y mide el número de bits
necesarios para representar los códigos
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Cuantificador Uniforme
Q (t ) 
100
256
Q ( t )  rk
( k  1) 
50
256
si t  [ t k , t k  1 )
si t  [
100
( k  1) ,
256
k  1 ,2 ,...,L
100
k)
k  1,2,..., 256
256
rk
tk
tk+1
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Cuantificador óptimo
L
E rror M edio 
t i 1

( u  ri )  p U ( u ) du
2
i 1 t
i
E
ti
 ( t i  ri 1 )  p U ( t i )  ( t i  ri )  p U ( t i )  0
2
2
ti 
ri 1  ri
2
t i 1
E
 ri
up
t i 1
 2

ti
( u  ri )  pU ( u ) du  0
ri 
U
(u )  u
 E U

ti
t i 1

ti
pU ( u )  u
U   ti , ti 1  

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Cuantificador óptimo uniforme
1

t
 L 1  t 1
p U (u )  

 0
si u  t 1 , t L  1 
en otro caso
( t k 1  t k )
2
rk 
q
2
2 ( t k 1  t k )
t L 1  t 1
L
,

t k  t k 1
2
t i  t i 1  q ,
ri  t i 
q
2
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Aproximación:
p U ( u )  p U ( t i  t i  1 ) / 2 
si u  t i , t i  1 
K
L
( t k 1  t k )

t k  1  t1  ( t L  1  t1 ) 
 pU ( u ) 
1 / 3
t1
t L 1

t1
 pU ( u ) 
1 / 3
du
du
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EL COMPANDOR (compresor-expansor)
COMPRESOR
g
CUANTIFICADOR
UNIFORME Q
EXPANSOR
h
Descargar

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