MÉTODOS NUMÉRICOS
Introducción
Gustavo Rocha
2005-2
DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS
ANALOGÍA
Cada curso
un platillo
DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS
EQUIVALENCIAS
INGENIERÍA
MATEMÁTICAS
  
 
 




MATEMÁTICAS CON
SABOR A INGENIERÍA
DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS
¡OTLA VEZ
ALOZ!
“La juventud prefiere ser
estimulada que instruida”
Johann Wolfgang Von Goethe
MISIÓN Y OBJETIVOS
MISIÓN: Habilitar a nuestros alumnos para que sean capaces de
hacer ingeniería, para que transformando los elementos de la
naturaleza, puedan elevar el nivel de bienestar del ser humano.
OBJETIVO TELEOLÓGICO (FIN): Que los alumnos sean capaces
de enfrentar y resolver problemas de esta índole.
OBJETIVO INSTRUMENTAL (MEDIO): Que los alumnos adquieran
un vasto dominio de las ciencias básicas, para aplicar este
conocimiento a la solución de tales problemas.
“Uno de los males que caracterizan
a nuestro tiempo es la claridad de
los medios y la vaguedad de los
objetivos. Se debiera tener firmeza
en los objetivos y flexibilidad en
los medios”
Albert Einstein
“El fin principal de la educación, no es el
conocimiento, sino la acción"
Herbert Spencer
Filósofo y sociólogo inglés
“...todo el desorden del mundo viene de los oficios
y las profesiones mal o mediocremente servidos:
político mediocre, educador mediocre, médico
mediocre, sacerdote mediocre, artesano mediocre,
esas son nuestras calamidades verdaderas"
GABRIELA MISTRAL
LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO
Analítico
Correcto
Deductivo
Exacto
Científico
Racional
Verdadero
Teórico
Artístico
Creativo
Imaginativo
Oportuno
Sistémico
Intuitivo
Útil
Práctico
LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO
Entre lo teórico y lo práctico
Entre lo verdadero y lo útil
Entre lo exacto y lo oportuno
Entre lo analítico y lo artístico
Entre lo científico y lo sistémico
Entre lo deductivo y lo imaginativo
Entre lo racional y lo intuitivo
Entre lo correcto y lo creativo
DOS HEMISFERIOS
Teórico
Verdadero
Exacto
Analítico
Práctico
Útil
Oportuno
Artístico
Científico
Sistémico
Deductivo
Imaginativo
INGENIERO
Racional
Correcto
Intuitivo
Creativo
LOCALIZACIÓN DE LAS CAPACIDADES EN LOS
HEMISFERIOS CEREBRALES
Habilidad
científica
Control de la
mano derecha
LÓGICOMATEMÁTICA
SOCIOEMOCIONAL
INTRAPERSONAL
E = m·c²
MUSICAL
CORPORAL
LINGÜÍSTICA
Howard Gardner
ESPACIAL

LÓGICOMATEMÁTICA
INTRAPERSONAL

SOCIOEMOCIONAL
MUSICAL
CORPORAL

LINGÜÍSTICA
Howard Gardner

ESPACIAL
“... no es posible separar los aspectos
cognitivos, emocionales y sociales...”
Jean Piaget
En el mejor de los casos, el
coeficiente de inteligencia contribuye
con alrededor de un 20 por ciento en
los factores que determinan el éxito
en la vida, lo cual deja el 80 por
ciento restante a otras fuerzas, que
se agrupan como inteligencia
emocional.
Temario del curso
I.
Aproximación numérica y errores
II.
Ecuaciones algebraicas y trascendentes
III.
Sistemas de ecuaciones lineales
IV.
Interpolación, derivación e integración
V.
Ecuaciones diferenciales
VI.
Ecuaciones en derivadas parciales
Mapa conceptual
MÉTODOS
NUMÉRICOS
ECUACIONES
DIFERENCIALES
PARCIALES
RAÍCES DE
ECUACIONES
APROXIMACIÓN
NUMÉRICA
Y ERRORES
SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS
INTERPOLACIÓN
DERIVACIÓN E
INTEGRACIÓN
Mapa mental
Métodos numéricos
Técnicas mediante las cuales los modelos matemáticos son resueltos
usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos cálculos
aritméticos.
Las computadoras son máquinas “tontas” que sólo hace lo que se le
ordena; los tediosos cálculos numéricos los hacen muy rápido y muy bien,
sin fastidiarse.
Por eso, para el ingeniero moderno, los métodos numéricos implican:
– El uso de calculadoras graficadoras;
– El manejo de hojas de cálculo en PC;
– La programación en lenguaje “C”, “Basic” o “Fortran”
– La utilización de software matemático especializado:
“Maple”,
“MatLab”,
“MathCad”,
“Mathematica”.
DIFERENCIAS ESENCIALES ENTRE
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
CIENCIA
TECNOLOGÍA
verdad
utilidad
práctica
Vocación
desarrolla
leyes
generales
inventa y
desarrolla
artefactos
Sentido práctico
muy bajo
absoluto
Valor esencial
CALENDARIO TECNOLÓGICO
Momento histórico
Fecha equivalente en
el año tecnológico
Año 250,000 a.C.
1 de enero; 0:00 h
Año 2004 d.C.
31 de diciembre
24:00 h
CALENDARIO TECNOLÓGICO
250,000 a.C.
ENERO
EDAD DE PIEDRA
FEBRERO
MARZO
ABRIL
homo sapiens
EDAD DE PIEDRA
MAYO
JUNIO
JULIO
100,000 a.C.
AGOSTO
homo sapiens sapiens
EDAD DE PIEDRA
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
NOVIEMBRE
DICIEMBRE
EL MES DE DICIEMBRE EN EL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
10,000 a.C.
8,000 a.C.
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Domesticación
de animales
17 7,500
18 a.C. 19
Agricultura
4,500
15 a.C.16
Jericó
20
21
EDAD DEL
27
28
HIERRO
Sumeria
22
23
24 DEL
25BRONCE
26
EDAD
29
30 ERA
31
NUESTRA
DEL 24 AL 28 DE DICIEMBRE
EN EL CALENDARIO TECNOLÓGICO
2,600 a.C.
3,000 a.C.
24
25
3,500 a.C.
1,750 a.C.
27
1,150 a.C.
26
28
440 a.C.
EL 29 DE DICIEMBRE DEL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
 5:15 a.m.
600 d.C.
11:53
80 d.C.
Coliseo romano
425 d.C:
a.m.
 5:15 p.m.
Brújula china
Teotihuacán
271 d.C.
 7:51 p.m.
Chichen Itzá
EL 30 DE DICIEMBRE DEL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
1,200 d.C.
1,300 d.C.
 8:38 a.m.
Primer libro impreso
 1:14 p.m.
Mezquita de Córdoba
 4:42 p.m.
Cerámica china
990 d.C.
 8:11 p.m.
d.C.
Catedral868
gótica
11:40 p.m.
Mitla
1,100 d.C.
LOS GRANDES INVENTOS,
EL 31 DE DICIEMBRE DEL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
Invento
Imprenta
Telescopio
Termómetro de mercurio
Máquina de vapor
Automóvil de vapor
Vacuna contra la viruela
Batería eléctrica
Locomotora de vapor
Locomotora ferroviaria
Motor eléctrico
Dínamo
Telégrafo eléctrico
Fotografía
Acero (proceso Bessemer)
Dinamita
Teléfono
Fonógrafo
Lámpara incandescente
año
1450
1608
1714
1765
1769
1796
1800
1803
1814
1821
1831
1837
1839
1856
1867
1876
1877
1879
Inventor
País
Johannes Gutenberg
Alemania
Hans Lippershey
Países Bajos
Daniel Gabriel Fahrenheit Alemania
James Watt
Reino Unido
Nicolas J. Cugnot
Francia
Edward Jenner
Reino Unido
Alessandro Volta
Italia
Richard Trevithick
Reino Unido
George Stephenson
Reino Unido
Michael Faraday
Reino Unido
Michael Faraday
Reino Unido
Samuel F.B. Morse
Estados Unidos
Louis Daguerre
Francia
Henri Bessemer
Reino Unido
Alfred Bernhard Nobel
Suecia
Alexander Graham Bell
Estados Unidos
Thomas Alva Edison
Estados Unidos
Thomas Alva Edison
Estados Unidos
LOS GRANDES INVENTOS,
EL 31 DE DICIEMBRE DEL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
Invento
año
Motor de combustión interna
1885
Computadora
1890
Proyector cinematográfico
1894
Rayos X
1895
Radio
1896
Telegrafía inalámbrica
1896
Aeroplano
1903
Insulina
1921
Televisión
1924
Penicilina
1928
Televisión en colores
1940
Reactor nuclear
1942
Computadora electrónica digital 1946
Cloromicetina
1947
Transistor
1947
Reactor nuclear
1952
Vacuna contra la poliomielitis 1954
Circuitos integrados
1959
Inventor
País
Gottlieb Daimler
Alemania
Hermann Hollerith
Estados Unidos
Frank Jenkins
Estados Unidos
Wilhelm Conrad Roentgen
Alemania
Guglielmo Marconi
Italia
Guglielmo Marconi
Italia
Orville y Wilbur Wright
Estados Unidos
Frederick Grant Banting
Canadá
J. L. Baird
Reino Unido
Alexander Fleming
Reino Unido
Guillermo González Camarena México
Enrico Fermi
Estados Unidos
John Presper Eckert
Estados Unidos
Mildred Rebstock
Estados Unidos
Bardeen, Brattain, Shockley Estados Unidos
E. Fermi, E. Wigner
Estados Unidos
Jonás Salk
Estados Unidos
Jack Kilby y Robert Noyce
Estados Unidos
LOS GRANDES INVENTOS,
EL 31 DE DICIEMBRE DEL
CALENDARIO TECNOLÓGICO
Invento
año
Láser
Píldora anticonceptiva
Arpanet
Primera síntesis de un gen
Microprocesador
Calculadora de bolsillo
ADN recombinante
Fibra óptica
Supercomputadora
Disco compacto
Lanzadera espacial
Enciclopedia del sentido común
Superconductores hipertérmicos
Internet
World Wide Web
Telescopio Keck
Síntesis del genoma humano
?
1960
1960
1962
1970
1971
1972
1974
1975
1976
1979
1981
1984
1986
1988
1991
1993
2001
?
Inventor
Charles Hard Townes
Gregory Pincus y John Rock
Universidades americanas
Har Gobind Khorana
Ted Hoff
J.S. Kilby y J.D. Merryman
País
Estados Unidos
Estados Unidos
Estados Unidos
Estados Unidos
Estados Unidos
Estados Unidos
Estados Unidos
Laboratorios Bell
Estados Unidos
J.H. Van Tassel y Seymour Cray Estados Unidos
Joop Sinjou Toshi Tada Doi
Holanda-Japón
NASA
Estados Unidos
Douglas Lenat
Estados Unidos
J. Georg Bednorz y Karl A. Müller Alemania-Suiza
Estados Unidos
Estados Unidos
Universidad de California
Estados Unidos
Celera Genomics
Estados Unidos
?
?
Tarea 1
Sistemas de numeración
– Números sumerios
– Números egipcios
– Números griegos
DCCCXCIX
– Números romanos
– Números chinos
– Números mayas
Problema de examen: Expresar el número 978 en los sistemas
sumerio, egipcio, griego, romano, chino y maya
Tarea 2
Los métodos numéricos antes
de la computadora:
– El ábaco
– Los nudos incas
– Los nomogramas
– La regla de cálculo
Objetivo del curso
Proporcionar al estudiante los elementos
necesarios y la madurez suficiente para
resolver numéricamente modelos
matemáticos cuya solución analítica sea
compleja o imposible.
ESTE CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
El propósito del curso será estrictamente de carácter formativo:
disciplina mental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades
del pensamiento. Encontraremos, juntos, los elementos para
evaluar objetivamente si tal propósito se logra y en qué medida.
Los contenidos informativos, serán aprendidos, no para aprobar
cada examen, sino para apropiarse de lo esencial, del conocimiento
fundamental que permita al estudiante y al futuro ingeniero disponer
de herramientas prácticas que le permitan resolver problemas
modelados matemáticamente.
Habrá que garantizar el dominio de los conceptos matemáticos
fundamentales, para que la asimilación promedio, a mediano y largo
plazos, sea significativa, para que esos conceptos se les quedan
almacenadas en la memoria e impregnadas en las células de por
vida, para ser usadas siempre, cuando lo requieran.
ESTE CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
Se dará mucho énfasis a las aplicaciones, haciendo referencia a problemas
reales; la destreza en la manipulación del método numérico fuera de
contexto, en abstracto, no tendrá ninguna relevancia.
El estudiante sabrá, con el temario, cuál será la cobertura del curso; y con
el libro de texto, sabrá cuáles los capítulos y secciones que deberá estudiar
y dominar, los alcances teóricos, tecnológicos y de aplicación, y el tipo de
ejercicios que deberá aprender a resolver. Los temas fundamentales y la
distinción de lo esencial de cada tema, serán puntualizados por el profesor,
en clase.
Aún cuando el curso tiene alta carga temática, cada uno de los temas será
tratado a profundidad y con la pausa que resulte necesaria para el grueso
del grupo.
“El secreto de ser aburrido
es decirlo todo"
Voltaire
ESTE CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
El alumno tendrá grandes posibilidades de aprendizaje por descubrimiento,
pues el profesor actuará como facilitador en el proceso de aprendizaje,
reforzando, respondiendo y orientando, y no asumirá el papel tradicional de
transmisor único de toda la información hacia el alumno.
Para garantizar su éxito en este curso, el alumno será el responsable de su
propio aprendizaje, aplicado, autosuficiente y esforzado, como actor
principal del proceso educativo.
Únicamente haremos algunas definiciones formales y solo los teoremas
más importantes serán demostrados con rigor.
Exploraremos varias técnicas y métodos para resolver un mismo tipo de
problema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e
inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras
posibilidades.
ESTE CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
Impulsaremos el uso intensivo de material didáctico en Internet.
Buscaremos aprender a manejar una calculadora graficadora y a
usar algún paquete matemático, pues ambos realizan las
operaciones aritméticas necesarias, con toda precisión, exactitud y
a la mayor velocidad.
Aprenderemos a formular problemas sencillos de ingeniería, a
modelarlos matemáticamente, a interpretar correctamente los
resultados de la solución y a ser capaces de darnos cuenta si tales
resultados pueden corresponder o no a la realidad vivida.
Buscaremos estimular a los alumnos para que se enamoren del
modelado matemático y así, continúen estudiando ingeniería,
induciéndolos a que, como futuros ingenieros, se habitúen a recurrir
a las matemáticas, en cada estudio que emprendan.
La utilidad de los métodos numéricos
Es importante distinguir la diferencia entre
estudiar matemáticas abstractas, lo que
seguramente debe tener su encanto, para
los científicos puros, y estudiar
matemáticas para resolver problemas
reales, que es el cometido de los
ingenieros.
Repaso histórico
1.
Antigüedad: contaban con piedrecillas; en latín, “calculus” significa
piedrecilla.
2.
Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prácticos de cálculo,
relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía.
3.
Griegos. Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su
sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás.
4.
Siglo XVI: Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena
expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los
logaritmos.
5.
Siglo XVII: Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo
numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por
Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno.
6.
Siglo XX: El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han
recibido un gran impulso, soportados ahora por poderosos equipos y
programas de cómputo.
Antecedentes
Los métodos numéricos tienen, al menos, unos
2,500 años de historia
– Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitágoras de
Samos se percataron de la importancia del estudio de
los números, para poder entender al mundo.
– Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos,
considerándolos formados por un numero infinito de
secciones de grosor infinitesimal.
– Eudoxo y Arquímedes utilizaron el método del
agotamiento para encontrar el área del círculo.
CANTIDAD
Profundidad
CALIDAD
Necesaria
y
Amplitud
Suficientey Suficiente
Necesaria
Extensión superficial
Extensión profunda
“Es más fácil desintegrar un átomo
que un pre-concepto”
Albert Einstein
“El problema no es nunca el como
obtener pensamientos nuevos e
innovadores en tu cabeza,
sino como librarte de los viejos”
Dee Hock
Fundador de VISA
“Los exámenes escolares están basados en el
principio de que toda pregunta tiene una
respuesta correcta. … El enfoque de la
respuesta correcta queda enraizada
profundamente en nuestro pensamiento. … La
vida es ambigua; existen muchas respuestas
correctas, todo depende de lo que se esté
buscando. Pero si piensa que solo existe una
respuesta correcta, entonces dejará de buscar
en cuanto encuentre una”
La Revolución del Aprendizaje
Gordon Dryden & Jeannete Vos
“¿De dónde vienen las buenas nuevas ideas?
!Eso es sencillo! De las diferencias.
La creatividad viene de
yuxtaposiciones improbables.
La mejor manera de aprovechar las diferencias es
mezclar edades, culturas y disciplinas.”
Nicholas Negroponte
Media lab MIT
“La función de un verdadero maestro es
hacer que entre en acción la inteligencia
del alumno”
Jiddu Krishnamurti
El cultivo de la inteligencia
Sin cultivar la inteligencia, aprender un método o una técnica e impartir esa
técnica o ese método es absolutamente vano.
No es aprendiendo técnicas y métodos que hemos de ser ingenieros,
ingeniosos y creativos.
Los métodos y las técnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por
alto la capacidad de descubrir por nosotros mismos.
Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, ¿por qué nada
encontramos directamente?
La técnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no
debamos tener una técnica).
La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para
todo aquel que consagre su mente y su corazón en la plena investigación
del problema.
El cultivo de la inteligencia le ayudará al alumno a habérselas con los
problemas de la vida.
Educando al educador
El alumno requiere de guía, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es
incapaz y estrecho, es lógico que su producto sea lo que él es.
El maestro necesita mucho más que el alumno que se le eduque.
La educación sólo puede ser transformada educando al educador. Y educar
al maestro es mucho más difícil que educar al joven, porque el maestro ya
está formado, estático y condicionado.
Si el maestro no hace sino impartir la instrucción y transmitir información, ni
siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del
pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero
educador.
La función del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse
a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino
condicionarlo sin despertar su inteligencia.
El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su
afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmósfera conveniente para el
cultivo de la inteligencia.
Reeducando al educador
Requerimos reeducar al educador para que aprenda a estar abierto a
aprender y a reaprender, dando con ello el ejemplo requerido a los
discípulos.
Requerimos adaptarnos a la modernidad a través de la incorporación
intensiva de nuevas tecnologías de aprendizaje.
Requerimos de un cambio de enfoque del personal docente, para adoptar el
papel de facilitador del proceso de aprendizaje, en vez del erudito poseedor
y transmisor de toda la información hacia el alumno, como pretende ser
ahora, todavía.
Comprendiendo al educando
La verdadera educación es la comprensión del educando tal como es y no
tal como debiera ser.
Si lo coloca en el armazón de un ideal, lo fuerza a seguir determinado
modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o está siempre
en contradicción con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de
ser él y actúa como simple autómata sin inteligencia.
Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad
para ser lo que es él, entonces lo guía, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a
lo que es él. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado
y cariño.
Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha
de someterse a él.
Un ideal resulta un real estorbo para la comprensión del alumno.
La formación integral
La función educativa consiste en producir individuos integrados, que sean
capaces de habérselas con la vida inteligentemente, totalmente, no
parcialmente.
El individuo no puede ser integrado si sólo se guía por una norma idealista
de acción.
Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno,
porque entonces el futuro, el ideal, resulta más importante que el alumno,
que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se
justifica.
Educar a partir de un ideal es como producir automóviles; se tiene el diseño
y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que
creamos seres humanos que son meros técnicos, que no tienen relación
humana con los demás y sólo campean por si mismos, por su propio
beneficio.
Un cambio de enfoque
Basta ya de la pura exposición en el pizarrón, buscando con ello
enseñar, cuando existen ya medios mucho más efectivos para
aprender.
Basta ya de evaluaciones arbitrarias, diseñadas para reprobar al
alumno, con exámenes muy duros, generalmente departamentales,
cuyos pobres resultados corroboran, una vez más, “lo difícil que es la
ingeniería, y, por supuesto, lo tontos o irresponsables que son los
alumnos”
“Usted debe ser el cambio
que desea ver en el mundo.”
Gandhi
“Hacer pensar a los demás en vez de
pensar por ellos es función
trascendental de un buen formador".
Horst Wein
Profesor alemán
“ ... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río.
Él fue mi maestro, y será el tuyo.
Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.”
Siddhartha, Hermann Hesse
“... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente
y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en
el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al
mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de
pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino
solamente el presente”
Siddhartha, Hermann Hesse
¿Cuál es la diferencia entre los trabajadores japoneses y los
mexicanos?
“Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hábil, pero las
relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece
que esto se deriva de la religión. En esencia, los dos pueblos son
iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los
cuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperar,
mientras que los japoneses vamos a ofrecer.
Los sindicatos mexicanos presentan pliego de peticiones y los
sindicatos japoneses presentamos pliego de ofrecimientos, !Pequeña
gran diferencia!”
CARLOS KASUGA OSAKA
Director General de Yakult, S. A. de C. V.
“ No es que no nos atrevamos porque
las cosas son difíciles; es que las cosas
son difíciles porque no nos atrevemos.”
Séneca
“De la brevedad de la vida”
“ El peligro más grande en
la vida es no arriesgar nada;
la persona que no arriesga,
no hace nada, no tiene nada,
es nada.”
Séneca
“De la brevedad de la vida”
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I. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA