Cálculo de Volumen
Integral
Habilidades
1. Identifica los dos tipos de regiones regulares
con respecto a los ejes coordenados.
2. Calcula área entre curvas.
3. Calcula volúmenes por el método de las
secciones transversales.
4. Calcula volúmenes por el método del disco.
5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.
2
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido
enfrentamos el mismo problema que al tratar de
calcular un área.
Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una
definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos
sencillos como cilindros y prismas.
3
h
A
c
h
r
Cilindro Recto
V = Ah
Cilindro circular
V = r2h
a
b
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores
4
Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región del plano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.
5
MÉTODO DEL DISCO
Diferencial de
volumen
y=f(x)
∆xi
xi
f(xi)
f(xi)
a
xi
b
 V i   f  x i   x i
2
6
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
n
V  lim
n 
b

 [ f ( x i )]  x i
2
i 1
   [ f ( x )] dx
2
a
7
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
8
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y
9
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región R, alrededor del eje y.

2
R    x , y    / 1  y  4;

0  x 
2

y
10
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por
la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,
y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
d
V  
 g y 
2
dy
c
11
Método de la arandela
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas
x=a y x=b.
Diferencial de
volumen
y= f(x)
x
(*)
a
x
g(xi)
y= g(x)
f(xi)
b
xi
 Vi  
f  x 
2
 g  x 
2
x
12
i
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
n
V  lim
n
b

 ( [ f ( x i )]  [ g ( x i )] )  x i
2
2
i 1
   ( [ f ( x )]  [ g ( x )] ) dx
2
2
a
13
Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
14
Ejemplo 5:
15
Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
3y
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
7
-1
-2
-3
16
Método de los cascarones cilíndricos
Ejemplo 7:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.
17
Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen de
una región limitada por una función y = f(x) al
girar alrededor del eje y, para lo cual se deben
hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en
términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es
muy complicado por lo que se usará otro método:
los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el
elemento diferencial
de volumen?
18
xi
Diferencial de
volumen
xi
f(xi)
xi
xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el
volumen será igual a:
 V i  2  x i f  x i  x i
19
20
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b].
Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la
región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las
rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el
volumen obtenido será:
n
V  lim
x
 2
x i f x i   x i 
i 1
b
 2
 x f  x dx
a
21
Ejemplo 8:
Determine el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la
recta y = 2.
22
Ejemplo 9:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas
y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.
Calcule el volumen generado.
y = -3
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Cálculo de volúmenes de sólidos que
no son de revolución
El diferencial
xi
A(a)
de volumen
A(xi)
xi
A(b)
a
xi
b
x
A(xi)
Vi = A(xi) xi
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El volumen del sólido será aproximadamente:
n
 ΔV
n
i


i 1
A( x i ) Δ x i
i 1
Se define el volumen V como el límite de la suma
de Riemann
n
V
 lim
n 


b
a

A( x i ) Δ x i
i 1
A( x ) d x
25
Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de
radio R.
y
R
x
y
x
26
Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para
calcular el volumen de una pirámide de altura h y
base cuadrada de lado b.
yi
h
b
27
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