TRASLACIONES, “ESTIRAMIENTOS”, REFLEXIONES
SIMÉTRICAS
TRASLACIÓN VERTICAL g(x)=f(x)+c
y=f(x)
f(a)+c
f(a)
f(a)
b
a
b
a
f(b)+c
f(b)
f(b)
y=f(x)+c
Si c >0
Si c <0
la gráfica se traslada verticalmente hacia arriba.
la gráfica se traslada verticalmente hacia abajo.
Ejemplo TV1:
f:
g:
 ; g  x   f(x)  2
 ; f x  x
g x   x  2
5
4
-3
-2
-1
3
3
2
2
1
1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
g: 0,   ; g  x   f(x)  2
Ejemplo TV2:
g x   x  2
f : 0,    ; f  x   x
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
1
6
-1
-2
2
3
4
5
6
g:
Ejemplo TV3:
f:
 ; g  x   f(x)  1
g x   x2  1
 ; f  x   x2
5
-2
-1
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
TRASLACIÓN HORIZONTAL
g(x)=f(x+c) [1]
Analicemos primero un caso particular:
Considere la función f :  ; f  x   x3 y sea
c=1
x
f(x)
g(x)=f(x+1)
x
x3
(x+1)3
-2
-8
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
8
2
8
27
¿Qué sucede con la imagen de “a” en el dominio?
TRASLACIÓN HORIZONTAL
g(x)=f(x+c) [2]
y=f(x+c)
y=f(x)
f(a+c)
f(a)
b-c
b
a
f(b)
b
b+c
a
f(b+c)
f(b)
Si c >0
la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA IZQUIERDA.
Si c <0
la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA DERECHA.
 ; f x  x
f:
Ejemplo TH1:
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
3
g:
2
g x   x  2
1
-5
-4
-3
-2
-1
 ; g  x   f(x  2)
1
2
3
f : 0,    ; f  x   x
Ejemplo TH2:
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
6
2.5
g: 2,   ;
2
1.5
g  x   f(x  2)
g x   x  2
1
0.5
1
2
3
4
5
6
Ejemplo TH3:
40
f:
20
-4
-3
-2
-1
1
*

*
; f x 
1
x
2
-20
-40
g:
20
g x  
10
-4
-3
-2
-1
1
-10
-20
 2  ; g x   f(x  2)
2
1
x2
AMBAS TRASLACIONES
g:
 ; g  x    x  1  2
3
¿Qué
gráfica
básica
origina esta
función?
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
 ; f  x   x3
f:
4
3
¿Cuáles son
las
transforma_
ciones?
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
g:
 ; g x   f  x  1  2
g:
AMBAS TRASLACIONES (2)
 ; g x   x2  2x  3
Completando
cuadrados
g  x    x  1  4
2
¿Qué
gráfica
básica
origina esta
función?
10
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
10
f:
8
 ; f  x   x2
6
4
¿Cuáles son
las
transforma_
ciones?
2
-4
-2
2
-2
-4
4
g:
 ; g x   f  x  1  4
TRANSFORMACIONES DE LA
FORMA g(x)=kf(x); k>0
6
Si k >1, resulta un ESTIRAMIENTO VERTICAL.
Veamos el caso:
 ; f  x   x2 ; k  2
f:
4
4
g:  ; g x   2f  x   2x2
3
2
2
1
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
TRANSFORMACIONES DE LA
FORMA g(x)=kf(x); k>0
Si 0< k <1, resulta un ESTIRAMIENTO HORIZONTAL.
Veamos el caso:
f:
 ; f  x   x2
k
1
2
4
g:
3
1
x2
 ; gx  f x  
2
2
2
2
1.5
1
1
0.5
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
Con respecto al “eje x” g(x)= –f(x)
f(b)
f(a)
b
b
a
a
–f(a)
–f(b)
y=f(x)
y= g(x)= – f(x)
Ejemplo:
f:
-4
g:
 ; f  x   x2
 ;
g  x   f  x   x 2
15
15
10
10
5
5
-2
2
4
-4
-2
2
-5
-5
-10
-10
-15
-15
4
Con respecto al “eje y” g(x)= f(– x)
f(b)
f(b)
f(a)
f(a)
b
y=f(x)
a
–a
–b
y=g(x)= f(– x)
Ejemplo:
f : 0,    ; f  x   x
2.5
2
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
g:  ,0  ; g  x   f  x   x
2.5
2
1.5
1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
¿Cómo definiríamos g(x)=|f(x)|?

f  x  , si f(x)  0
g x   f  x   

f  x  , si f(x)  0
¿Cómo afectaría esto la gráfica de f?
Veamos:
 ; f  x   x3
f:
¿Cuál es el conjunto
solución de f(x)<0?
4

R/ x
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
-2
-3
-4
g:
4
 ;
3
2

x ; si x 
g x   x   3

x ; si x 
3
3
1

-4

-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
Otro ejemplo:
 ; f  x   x2  4
f:
¿Cuál es el conjunto
solución de f(x)<0?
20
15
R / x   2,2
10
5
-4
-2
2
4
8
g:

;
6
3

x
 ; si x    2,2 
3
gx  x   3

  x ; si x   2,2 
4
2
-4
-2
2
4
Resumen
g(x) =
Transformación
f(x)+c
Traslación vertical de c unidades
hacia arriba.
f(x) – c
Traslación vertical de c unidades
hacia abajo.
f(x+c)
Traslación horizontal de c unidades
a la izquierda.
f(x – c)
Traslación horizontal de c unidades
a la derecha.
kf(x), k>1
“Estiramiento” vertical
kf(x), 0< k < 1
“Estiramiento” horizontal
– f(x)
Reflexión simétrica con respecto al
eje x
f(–x)
Reflexión simétrica con respecto al
eje x
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TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES