Ecuaciones Cuadráticas
Una Ecuación Cuadrática es una Expresión Algebraica que tiene por lo menos un
Término Cuadrático.
La forma General de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es:
ax2 + bx + c = Ø
Término Independiente
Término Lineal
Término Cuadrático
Puras
Incompletas
Mixtas
Ecuaciones
Cuadráticas
Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorización
Completas
a=1
a≠1
Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto
a=1
a≠1
Por Fórmula General
Fin
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Ecuación Cuadrática Pura
Una Ecuación Cuadrática Pura, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos
Términos, el Término Cuadrático y el Término Independiente.
ax2 + c = Ø
Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “c” es el Término Independiente.
Si
X1,2 = ± 
X1,2 = ± 
4x2 – 1ØØ = Ø
Entonces
c
a
(  1  )
4
=±
1 
4
= ± 25 = ± 5
X1 =
5

X2 = – 5
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Ecuación Cuadrática Mixta
Una Ecuación Cuadrática Mixta, es aquella Expresión Algebraica que consta de Dos
Términos, el Término Cuadrático y el Término Lineal.
ax2 + bx = Ø
Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático y “b” es el Coeficiente del Término
Lineal.
Si
4x2 – 1ØØx = Ø
Entonces
X1 = Ø
X2 = 
b
a

X2 = 
(  1  )
4
X1 =
=
Ø
1 
= 25
4

X2 = 25
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
25 x  7  x  49  
2
Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático)
Paso No. 2 Signo del Segundo Término (Término Lineal)
Paso No. 3 Raiz Cuadrada del Tercer Término (Término Independiente)
Paso No. 4 El Binomio obtenido, se encierra entre paréntesis, se eleva al cuadrado
y finalmente se Iguala a cero
( 5x – 7 ) 2 = Ø
Paso No. 5
Se despeja la Variable x, aplicando las leyes del Despeje
5x – 7 = 
5x – 7 = Ø
5x = 7
x=
X1 =
7
5

X2 =
7
5
7
5
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a = 1”
x  5x  6  
2
Paso No. 1 Raiz Cuadrada del Primer Término (Término Cuadrático) formando dos
Factores e igualándolos a cero.
Paso No. 2 Se buscan todos los pares de números cuyo producto entre ellos, sea
igual al Tercer Término (Término Independiente) incluyendo el signo.
Paso No. 3 Seleccionar el par de números que sumados sea igual al Coeficiente del
Segundo Término (Término Lineal) incluyendo el signo.
Paso No. 4 El par de números seleccionados, se acomodarán en los dos factores
Binomiales según se muestra en el ejemplo.
( x – 2) ( x – 3 ) = Ø
(1)(6)=6
(2)(3)=6
( -2 ) ( -3 ) = 6 y ( -2 ) + ( -3 ) = -5
Paso No. 5 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada uno de ellos despejar
la incógnita “x”, aplicando las leyes del Despeje.
x–2=Ø
x=2
x–3=Ø
x=3
X1 =
2

X2 = 3
Paso No. 6 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como Raíz1 y a la otra Raíz2
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Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1”
3 x  1 x  8  
2
Paso No. 1 Se multiplica el coeficiente del Término Cuadrático
por el Término Independiente, incluyendo los
signos.
Paso No. 2 Se buscan todos los pares de números cuyo
producto entre ellos, sea igual al resultado del
Paso No. 1, incluyendo los signos.
Paso No. 3 Se selecciona el par de números que sumados sea
igual al coeficiente del Término Lineal.
Paso No. 4 El par de números seleccionados, se sustituirán
por el Término Lineal en la Ecuación Cuadrática
Original.
Paso No. 5 De la nueva Ecuación Cuadrática, se formarán Dos
Factores, donde cada uno de ellos será un
Binomio. Observar que estos factores se
encontrarán Sumándoce y se igualará a cero.
Posteriormente se llevará a cabo una serie de
factorizaciones para obtener al final Dos Factores
que se encuentren Multiplicándoce e igualados a
cero.
a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24
( 1 ) ( 24 ) = 24
( 2 ) ( 12 ) = 24
( 3 ) ( 8 ) = 24
( 4 ) ( 6 ) = 24
( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø
3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø
(
)+(
)=Ø
Para evitar doble trabajo o innecesario, si gusta
puede llevar a cabo los Siguientes Consejos.
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Factorización de un Trinomio Cuadrado de la Forma “a ≠ 1”
3 x  1 x  8  
2
Consejo 1 El Término Cuadrático y el Término Independiente,
bajan directamente y forman el Primer Término del
Primer Factor y el Segundo Término del Segundo
Factor respectivamente.
Consejo 2 Los Términos Centrales o Lineales, se
acomodorán en los dos factores cuidando de que
queden uno con respecto al otro sean: Iguales,
Múltiplos, Submúltiplos o exista un Número Común
entre ellos.
Consejo 3 Factorizar por Término Común ambos factores.
Tomando en cuenta que sale en el Primer Factor la
Variable de menor grado y el coeficiente menor. Y
en el Segundo Factor, sale nada más el coeficiente
menor.
Paso No. 6 Factorizar por Factor Común ambos Factores. De
tal forma que ahora los dos Factores Binomiales se
encuentren Multiplicándoce.
Paso No. 7 Igualar a cero cada uno de los factores y en cada
uno de ellos despejar la incógnita “x”, aplicando las
leyes del Despeje.
Paso No. 8 Finalmente a una de las incógnitas se asigna como
Raíz1 y a la otra Raíz2.
a · c = ( 3 ) ( 8 ) = 24
( 1 ) ( 24 ) = 24
( 2 ) ( 12 ) = 24
( 3 ) ( 8 ) = 24
( 4 ) ( 6 ) = 24
( 4 ) ( 6 ) = 24 y ( 4 ) + ( 6 ) = 1Ø
3x2 + 4x + 6x + 8 = Ø
( 3x2 + 6x) + ( 4x + 8 ) = Ø
3x ( x + 2) + 4 ( x + 2 ) = Ø
( x + 2 ) ( 3x + 4 ) = Ø
3x + 4 = Ø
x+2=Ø
3x = – 4
x=–2
x = – 4/3
X1 = – 2 
X2 = – 4/3
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
Completando un Trinomio Cuadrado Perfecto
de las formas a = 1 y a ≠ 1
3 x  13 x  1  
2
3x2 + 13x – 1Ø = Ø
3
El procedimiento para resolver dichas formas, es
práctcamente el mismo. A excepción por el paso “Ø”
que sólo se aplica a la forma “a ≠ 1”, los pasos del 1
al 6 se aplican para ambas formas.
13
x2 +
x 
1
3
13
x2 +
x 
Paso No. 1 Se envía el Término Independiente al Segundo
Miembro. Aplicando las Leyes del Despeje
Paso No. 2 El Coeficiente del Término Lineal se Divide entre 2
o se Multiplica por 1/2 y se Eleva al Cuadrado.
Paso No. 3 El resultado del Paso No. 2 se suma en ambos
miembros de la Ecuación Obtenida del Paso No. 1.
Paso No. 4 El Primer Miembro se Factoriza con el
procedimento del Trinomio Cuadrádo Perfecto. Y
en el Segundo Miembro se realiza la Operación
correspondiente.
Paso No. 5 Se despeja la variable “x”. Asignándole a la Raíz 1 a
la parte positiva del Radical y a la Raíz2 se le
asigna la parte negativa del Radical.
1
3
3
2
Paso No. Ø Se divide toda la Ecuación Cuadrática entre el
Coeficiente del Término Cuadrático.
La ecuación de Forma “a ≠ 1” es convertida a la Forma “a = 1”
=Ø
3
  1   13  
 13 


 


 6 
 2  3 
x2 +
x
13
13

289
36
13
6
169


169
36
1

36
3
3
2
13  289

x


 
36
6


6
x1  
x 
2

17
6
 x

36
13

6
x2  
X1 = 2/3 
169
13
6

17
6
17
6
X2 = – 5
Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo
X 1,2 
b 
Por Fórmula General
2
2
3 x  13 x  1  
b  4 ac
2a
– (13) ±
(13)2 – 4(3)(–1Ø)
Donde “a” es el Coeficiente del Término Cuadrático, X1,2 =
“b” es el Coeficiente del Término Lineal y “c” es el
Término Independiente.
– 13 ±
Tomando en cuenta el Trinomio que se encuentra
sobre el recuadro, entonces:
b = 13
169 + 12Ø
X1,2 =
X1,2 =
a=3
2(3)
c = -1Ø
X1,2 =
6
– 13 ±
289
6
– 13 ± 17
6
Se lleva a cabo una simple sustitución de los valores
4
– 13 + 17
en la Fórmula General y se resuelve en base a
=
X1 =
6
6
Operaciones Aritméticas.
X2 =
Nota: Es muy importante tomar el cuenta los signos
de los coeficientes.
– 13 – 17
6
=
=
– 30
X1 = 2/3 
6
2
3
= –5
X2 = – 5
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Trinomio Cuadrado Perfecto