GPS y otros medios de
localización
CAMPUS CIENTÍFICO
VERANO 2011
Proyecto de Matemáticas
Sesión 1. INTRODUCCIÓN
Mario Fioravanti, Ma. José Fuente, Isabel Gómez Velarde,
Claudia Lázaro, Francisco Santos, Luis Felipe Tabera,
1
INTRODUCCIÓN
Este apartado puede ser considerado una breve presentación
del proyecto. Se explicarán aspectos relacionados con




Instrumentos tradicionales de navegación (compás marino,
astrolabio, sextante)
Faros y radiofrecuencia
GPS y Galileo
La importancia de los mapas
Objetivos:
 Mostrar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana
 El estudio particular de las matemáticas que hay detrás de
determinados sistemas de localización
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2
INTRODUCCIÓN

Desde siempre el hombre ha estado interesado en determinar
su posición en la Tierra.
La Agencia Espacial Europea (ESA) ha inaugurado en la ciudad de
Valencia un laboratorio en el que se probarán componentes de
radiofrecuencia de los futuros satélites de la agencia.
http://www.elmundo.es/elmundo/2010/06/28/valencia/1277706997.html


Los sistemas de radiofrecuencia desempeñan un papel fundamental
en las aplicaciones espaciales y constituyen la base de los sistemas
globales de telecomunicaciones y de navegación.

El arte de navegar de Pedro José Jáuregui
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INTRODUCCIÓN

El problema de conocer la posición se puede reducir a
conocer la latitud y la longitud, aunque como se verá a lo
largo de este curso no es la única manera de resolver esta
situación.
¿Todos podéis decir el significado de estos términos?
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INTRODUCCIÓN

El problema de conocer la posición se puede reducir a
conocer la latitud y la longitud, aunque como se verá a lo
largo de este curso no es la única manera de resolver esta
situación.
¿Todos podéis decir el significado de estos términos?
Un punto sobre la “casi esfera”
terrestre queda determinado
por la intersección de dos círculos.
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INTRODUCCIÓN

La cuestión es cómo determinar esos valores cuando
aparentemente en el mar no se tienen referencias.
¿O sí se tienen?
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INTRODUCCIÓN

La cuestión es cómo determinar esos valores cuando
aparentemente en el mar no se tienen referencias.
¿O sí se tienen?
SI SE OBSERVA LA ESTRELLA POLAR
Si se mide el ángulo que forma esa
estrella con el horizonte (b en la figura)
se tendrá la latitud (r en la figura) en
la que se encuentra, por ejemplo, un barco.
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INTRODUCCIÓN

La cuestión es cómo determinar esos valores cuando
aparentemente en el mar no se tienen referencias.
¿O sí se tienen?
SI SE OBSERVA LA ESTRELLA POLAR
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INTRODUCCIÓN

La cuestión es cómo determinar esos valores cuando
aparentemente en el mar no se tienen referencias.
¿O sí se tienen?
SI SE TOMA EL SOL
Dificultad añadida
Para determinar la latitud de un punto,
se necesita conocer la declinación del
Sol en cada momento del año y su
altura sobre el horizonte a mediodía.
Latitud = 90 – Declinación – Altura
Aspectos necesarios
.
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INTRODUCCIÓN
La variación de la declinación
La declinación viene recogida en tablas, pero está referida al meridiano de
Greenwich (meridiano e referencia desde 1884 –1911 en Francia –).
http://www.rodamedia.com/navastro/online/javascripts/datosol/datosol.htm
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Para calcular la latitud necesitamos saber:
• La declinación del sol en ese día.
Tabla 1
Tabla 2
• La hora en el meridiano de referencia (el meridiano de Greenwich):
hay que llevar un cronómetro sincronizado con el meridiano de
Greenwich.
• Las mediciones de la altura del Sol se hacen a mediodía, es decir,
cuando el sol está más alto.
Un ejemplo:
Desde un punto en el hemisferio norte, se mide con el sextante, el 28 de
febrero de 2006, cuando es mediodía en la posición del barco, la altura del Sol
sobre el horizonte y se obtiene 23º 15,5’. En ese momento, el cronómetro del
barco sincronizado con Greenwich marca las 10 h 30 m.
Según el almanaque náutico, el 28 de febrero del 2006 a las 10h 30m la
declinación del Sol es 8º 20’.
Entonces la latitud del barco es:
90º – 8º 20’ – 23º 15,5’ = 58º 24,5’ N
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Determinar la longitud
La longitud en la que se encuentra el barco puede determinarse
comparando la hora en el barco con la hora en Greenwich.
Volvamos al ejemplo:
Hemos hallado la latitud
58º 24,5’ N
La medición se ha realizao al mediodía (en la posición del barco)
cuando en Greenwich son las 10 h 30 m.
Una vuelta a la tierra son 360º que corresponde a 24 h. Por lo tanto,
cada hora corresponde a 15º. Como la hora del barco está 1 h 30 m
más temprano que la de Greenwich, la longitud es
22º 30’ E
El cronómetro se inventó en 1774. Hasta entonces, los navegantes no
tenían métodos fiables para determinar la longitud.
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INTRODUCCIÓN

Términos recurrentes que emplearemos a continuación son
los de bóveda celeste y horizonte.
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación
 El compás marino,
 el astrolabio,
 y el sextante.
¿QUIÉN ES QUIÉN?
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación
 El compás marino,
 el astrolabio,
 y el sextante.
¿QUIÉN ES QUIÉN?
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación

El compás marino
Es un instrumento náutico que permite determinar direcciones
a bordo y calcular las coordenadas que hacen posible a los
geógrafos, cartógrafos y navegantes definir la posición de cualquier
punto sobre la superficie terrestre.
Es en esencia un imán con libertad de movimiento para rotar
en un plano horizontal.
Dada la acción del campo magnético terrestre se orientará
según el meridiano magnético del lugar, indicando la dirección del
norte magnético. Esta dirección difiere de la del norte verdadero en
un valor llamado declinación magnética, que es controlada por la
rosa de los vientos, a la que está sujeto el imán.
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación

El compás marino
Es un instrumento náutico que permite determinar direcciones
a bordo y calcular las coordenadas que hacen posible a los
geógrafos, cartógrafos y navegantes definir la posición de cualquier
punto sobre la superficie terrestre.
Es en esencia un imán con libertad de movimiento para rotar
en un plano horizontal.
Dada la acción del campo magnético terrestre se orientará
según el meridiano magnético del lugar, indicando la dirección del
norte magnético. Esta dirección difiere de la del norte verdadero en
un valor llamado declinación magnética, que es controlada por la
rosa de los vientos, a la que está sujeto el imán.
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación

Astrolabio
El nombre del Astrolabio proviene de la palabra griega "Astro",
que significa estrella, y de la palabra “Labio”, que viene a significar
"el que busca”.
Básicamente, permite
- determinar la posición de las estrellas sobre la bóveda
celeste y observar su movimiento,
- resolver otros problemas como la determinación de la hora
del día o de la noche mediante la observación del Sol sobre el
horizonte o la determinación de la hora de salida de las estrellas.
Dependiendo de la función: ASTRONÓMICO
NAÚTICO
sólo navegantes
El diámetro vertical representa la línea zénit-nádir y el
horizontal la línea del horizonte. En esta línea está situado
el grado cero, correspondiendo el grado 90 al zénit.
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación
Astrolabio ASTRONÓMICO
Una de las piezas, colocada en medio de un disco representa un
planisferio celeste (transparente), para cuya construcción se emplea la
proyección estereográfica
Un segundo disco, denominado red, superpuesto al primero, sirve
como mapa de las estrellas más brillantes.
http://gaussianos.com/la-proyeccion-estereografica
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales – El sextante
Thomas Godfrey, John Hadley, 1730.
[ Cuadrante (Davis, 1590), Octante (Hadley, 1731) ]
Figuras tomadas de:
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/EspejoPlano/sextante/Sextante.htm
Usando el sextante
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INTRODUCCIÓN
El sextante
El ángulo de rotación del espejo grande (index glass)
es la mitad del ángulo medido, pero la escala está
calibrada para que se pueda leer directamente, sin
necesidad de hacer conversiones.
11 minutos
y 6 décimas
http://es.wikipedia.org/wiki/Nonio
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INTRODUCCIÓN
Instrumentos tradicionales de navegación

Goniómetro
A veces llamado sextante
Instrumento de medición con forma de semicírculo o círculo
graduado en 180º o 360º, utilizado para medir ángulos inaccesibles.
Fácil construcción
b
EJERCICIO
¿Cómo calcularías la distancia a la que se
encuentra un barco de la costa conociendo la
altura a la que se encuentra el observador?
T ransportador
b
P eso
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Correcciones
• la altura del ojo,
• el semidiámetro del astro,
• el error instrumental,
• la refracción,
• la paralaje
Altura del ojo: Un observador situado en un lugar alto observará un astro con
una altura mayor que otro que se encuentre a nivel del mar. En pequeños
veleros esta altura no pasa de dos metros y el error en la lectura del sextante
es pequeño. Sin embargo, en el puente de comando de un gran buque, el
error puede ser considerable.
Semidiámetro: Al medir la altura de un astro, se ha de medir la altura del
centro del astro. Si las dimensiones del astro, visto desde la Tierra no son
despreciables, se mide la altura de uno de sus limbos y se corrige esta altura
por semidiámetro.
El semidiámetro es el ángulo que subtiende desde la Tierra, el radio angular
del astro.
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Clases de semidiámetro: Si el ángulo se mide desde el centro de la
Tierra, tenemos el semidiámetro geocéntrico y si lo medimos desde la
superficie de la Tierra tenemos el semidiámetro topocéntrico
El semidiámetro geocéntrico se deduce del triángulo TbA.
Donde r es el radio angular del astro y D la distancia del astro a la Tierra
Como el ángulo es pequeño: sin SDg y SDg = r/D
Éste ángulo varía en razón inversa a la distancia a la Tierra,
¡los objetos más lejanos, se ven más pequeños!
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El error instrumental (EI) es debido a una pequeña diferencia entre los
dos espejos del sextante cuando queda ajustado para un ángulo de 0º 00’.
Refracción: La luz viaja a velocidad constante y en línea recta si el medio
en qué se propaga es homogéneo e isótropo (y la atmósfera no lo es!).
Si la luz pasa de un medio a otro de diferentes propiedades (dadas éstas por su
índice de refracción n) sigue la ley de Snell de la refracción.
Debido a la diferencia de densidad de las sucesivas capas atmosféricas, la luz que
proviene de un astro no se propaga en línea recta, sino que sufre refracciones
sucesivas. El resultado es que aparentemente, los astros parecen estar más altos
de lo que realmente están.
Paralaje: Es el ángulo que subtiende el radio
de la Tierra visto desde el astro. El efecto de la
paralaje es que hace disminuir las alturas.
En el cenit es nula y en el horizonte es máxima.
Para un observador en la superficie de la Tierra
O, y un astro en A’ la paralaje es el ángulo OA’T.
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INTRODUCCIÓN
Faros y radiofrecuencia

Faros
Un faro es una torre costera que gracias a una señal luminosa y
acústica advierte a las embarcaciones de la proximidad de la
misma.
El faro de Alejandría, el Coloso de Rodas y la Torre de Hércules,
son algunos ejemplos.
El sistema de iluminación más corriente era el fuego de leña o
lámparas de aceite de oliva. Las señales de orientación se basaban
en el reconocimiento diurno de accidentes naturales del paisaje.
En 1782 el ingeniero Teulère reemplazó los fuegos abiertos por
lámparas de reflectores parabólicos.
En1823 la iluminación de los faros dio un paso inmenso con la
invención por parte de Fresnel de las lentes de escalones.
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INTRODUCCIÓN
Faros y radiofrecuencia

Faros
Un faro es una torre costera que gracias a una señal luminosa y
acústica advierte a las embarcaciones de la proximidad de la
misma.
El faro de Alejandría, el Coloso de Rodas y la Torre de Hércules,
son algunos ejemplos.
El sistema de iluminación más corriente era el fuego de leña o
lámparas de aceite de oliva. Las señales de orientación se basaban
en el reconocimiento diurno de accidentes naturales del paisaje.
En 1782 el ingeniero Teulère reemplazó los fuegos abiertos por
lámparas de reflectores parabólicos.
En1823 la iluminación de los faros dio un paso inmenso con la
invención por parte de Fresnel de las lentes de escalones.
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INTRODUCCIÓN
Faros y radiofrecuencia

Radiofrecuencia

El transmisor de ondas inventado por Marconi permitió la
transmisión telegráfica sin cables

La aparición de la válvula de vacío creada por Fleming y el
desarrollo de la válvula triodo inventada por Lee de Forest
Con todo se abrió la posibilidad de generar ondas de
radiofrecuencia por medios electrónicos.
Estos avances tecnológicos mejoraron en gran medida la transmisión de mensajes
en código Morse por vía inalámbrica. Esa nueva forma de transmisión, de principios
del siglo XX, fue adaptada rápidamente para la comunicación entre barcos y de estos
con tierra.
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29
INTRODUCCIÓN
GPS y Galileo

Últimos años, espectacular desarrollo en materia de ayudas para la
navegación. Tal es el caso del Sistema Global de Posición. es un
sistema de radionavegación basado en una constelación de 24 satélites
denominada Navstar, que están situados en órbita a unos 20.000 Km.
de la tierra.

Esta red de satélites es propiedad de los Estados Unidos por lo que
gozan de monopolio en esta materia

en marzo de 2002 la Unión Europea y la Agencia Espacial Europea
acordaron consolidar el desarrollo y la organización de Galileo, un
sistema de posición alternativo al GPS

Galileo realizará una importante contribución a la reducción de
problemas aparecidos, al proveer en forma independiente la transmisión
de señales suplementarias de radionavegación en diferentes bandas de
frecuencia, utilizará 10 radiofrecuencias en total.
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INTRODUCCIÓN
La importancia de los mapas
Las técnicas de navegación pueden ser usadas sólo en el caso de
que poseamos mapas precisos.
Circunstancia que muestra la relevancia de la construcción de
mapas. Una de las secciones de este curso se dedicará a la
cartografía, donde se mostrarán algunas de las técnicas empleadas
en la representación de la superficie terrestre.
Como la Tierra puede ser considerada una esfera, es imposible
lograr una representación plana que conserve ángulos, distancias
relativas y áreas relativas. Será la aplicación que queramos dar a un
mapa la que determine el tipo de representación a adoptar.
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Presentación del proyecto - Historia de la navegación