Pitágoras,
Fermat
y Wiles
Una historia de 2500 años
Pitágoras
Siglo VI AC
Y su famoso teorema…
c
a
b
a2 + b2 = c2
Demostrando el teorema de Pitágoras
c
a
b
Demostrando el teorema de Pitágoras
c
b
c
a
b
a
Demostrando el teorema de Pitágoras
b
a
a
c
b
c
c
b
c
a
b
a
Demostrando el teorema de Pitágoras
b
a
Calculando el área:
a
c
b
(a+b)2 = c2+2ab
c
Es decir:
a2+b2+2ab = c2+2ab
c
b
c
a
b
O sea:
a2+b2 = c2
a
Los números para Pitágoras
1/2
5/6
Pero
2/3
2 ??
1
5
3
1
4
Las ternas Pitagóricas
(3,4,5)
(2.3,2.4,2.5)
(3.3,3.4,3.5)
…
(k.3,k.4,k.5)
32 + 42 = 52
(2.3)2 + (2.4)2 = (2.5)2
(3.3)2 + (3.4)2 = (3.5)2
(k.3)2 + (k.4)2 = (k.5)2
Hay otras de las que son “en serio”?
Sí: por ejemplo (5,12,13)
52 + 122 = 132
Hay muchas ternas de las que son “en serio”?
Escribo todos los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
Hay muchas ternas de las que son “en serio”?
Escribí todos los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
Los elevo al cuadrado:
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192
Lo que da:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361
Hay muchas ternas de las que son “en serio”?
Escribí todos los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
Los elevé al cuadrado:
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192
Lo que dió:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361
Le resto a cada cuadrado el cuadrado anterior:
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
29
31
33 35
37
Hay muchas ternas de las que son “en serio”?
Escribí todos los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
Los elevé al cuadrado:
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192
Lo que dió:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361
Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y dió:
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
33 35
37 …
Hay muchas ternas de las que son “en serio”?
Escribí todos los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
Los elevé al cuadrado:
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361
Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y dió:
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
3 5 7 32 11 13 15 17 19
21
23
52
27
29
31
33 35
37
33 35
37
Hay infinitas ternas de las que son “en serio”…
1 2 3 4 5
6 7
8
9 10
11
12
13 14
15
16
17
18
19
20
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361 400
3 5 7
9 11 13 15 17 19
21
32
Es decir:
52 – 42 = 32
Así:
23 25
27
29
31
33 35
37
39
52
52 = 32 + 42
y
132 – 122 = 52
132 = 52 + 122
(3,4,5) , (5,12,13) , (7,24,25) , (9,40,41) , (11,60,61) , …
Estos no son los únicos, aún más: por ejemplo (8,15,17) (Euclides)
Pierre de
Fermat
1601-1665
Cubum autem in duos cubos, aut
quadrato-quadratum in duos
quadrato-quadratos, et generaliter
nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas
est dividere cuius rei demonstrationem
mirabilem sane detexi. Hanc marginis `
exigitas non capere.
Es imposible para un cubo escribirse como
suma de dos cubos, o para una potencia
cuarta escribirse como suma de dos potencias
cuartas, o en general, para cualquier número
igual a una potencia superior a dos escribirse
como la suma de dos potencias iguales. Tengo
una prueba maravillosa de este hecho pero no
cabe en este margen estrecho.
Pierre de Fermat, ~1937
El último teorema de Fermat
No existen a , b , c tales que
a3 + b3 = c3,
o tales que
a4 + b4 = c4.
O más generalmente, para cualquier n>2,
no existen a , b , c tales que
an + bn = cn
Extendiendo los números
Para resolver a2 + b2 = c2, se hace a2 = c2 – b2,
O sea a2 = (c - b) (c + b) = (c – 1 . b) (c – ( -1 . b))
Para resolver a3 + b3 = c3, se hace a3 = c3 – b3 y ??
w = -1/2 + √ 3 /2 i y w2 = -1/2 - √ 3 /2 i
w
Vale w3 = 1.
1
-1
Entonces a3 = c3 – b3
es lo mismo que
w2
a3 = (c - b) (c - w b) (c – w2 b)
Y se trabaja en el conjunto
{ x + y w + z w2 } con x , y , z números enteros
Pero esos conjuntos pueden ser tramposos …
Por ejemplo si trabajamos en el conjunto
{ x + y √3 i } con x , y números enteros,
Se tiene
4 = 2 . 2 = ( 1 + √3 i ) ( 1- √3 i ) …
Andrew Wiles
1953 –
1993/1994
Para terminar recomiendo mucho…
Muchas Gracias!!!
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