Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Como podemos manejar el riesgo
bajo algunos suposiciones sobre el
tipo del riesgo
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CAPM: Una introducción
• ¿Para qué sirve?
• Para calcular VPN, necesitamos usar una
tasa de descuento
• Pero, en general, el flujo del efectivo tiene
incertidumbre
• ¿Cómo podemos tomar cuenta de ese
riesgo?
• ¿Cómo podemos cuantificarlo?
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Modelo de Markowitz
• Supongamos que tenemos una variable
aleatoria
• Suficiente ver los parámetros de la variable
• Si tenemos mas, debe de tomar cuenta de la
relación entre variables: covarianza y
correlación entre variables (con n variables,
¿cuantas hay?)
• Pero, cero correlación no significa
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independencia
Diversificación
• Supongamos que hay dos acciones en mi
portafolio (X y Y sus rendimientos y P es el
rendimiento del portafolio)
• P = aX + (1-a)Y donde a es la ponderación
de X en el portafolio
• Calculamos E(P) y Var(P)
• E(P) = aE(X) + (1-a)E(Y)
• Var(P) = a2Var(X) + (1-a)2Var(Y)
+ 2a(1-a)Cov(X, Y)
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Ejemplo
• Supongamos Var(X) = Var(Y)
• Entonces, Var(P) = Var(X)[a2 + (1-a)2
+ 2a(1-a)r] donde r es la correlación entre X
y Y (r=cov(X, Y)/sd(X)sd(Y))
• Podemos concluir que Var(P)Var(X)
• Entonces, la curva se ve como una parábola
• Eso depende del nivel de la correlación
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Rendimiento E(.)
a=0
Varianza mínima
a=1
Riesgo s(.)
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Frontera eficiente
• Min Var (P), nos da
• a = (s2Y - rsXsY)/(s2Y + s2X - 2rsXsY)
• (también, tenemos que verificar que la
condición de primer orden nos da una cosa
mínima)
• En caso particular donde sX = sY, tenemos
a = 0.5
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Rendimiento E(.)
a=0
a=1
Riesgo s(.)
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Rendimiento E(.)
a=0
r = -1
r=0
r = +1
a=1
Riesgo s(.)
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Fondos múltiples
• Podemos construir las mismas curvas para cada
par de fondos (acciones)
• Podemos construir con cada tres….
• Finalmente, vamos a obtener una frontera que
representa todas las combinaciones posibles
• Esa frontera, se llama la frontera eficiente
• También, podemos construir el portafolio del
riesgo mínimo
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rendimiento
frontera
efficiente
Portafolio del
riesgo minimo
Riesgo (varianza)
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Conclusión de Markowitz
• ¿Cómo voy a escoger una combinación de
varios acciones?
• Eso depende de la preferencia (las curvas de
indiferencia) de las personas
• Podemos representar las preferencias de
varios personas así….
12
rendimiento
Curvas de
indiferencia
riesgo
13
rendimiento
Curvas de
indiferencia
optimo
riesgo
14
rendimiento
Curvas de
indiferencia
Optimo
azul
Optimo
rojo
riesgo
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Problema
• Supongamos hay 5,000 acciones
• ¿Cuántas covarianzas tenemos que calcular?
• Supongamos que tenemos información
nueva cada hora
• tenemos que calcular esas cosas una y otra
vez
• ¿hay una salida?
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Método de Sharpe y Lintner
•
•
•
•
•
Hay un fondo sin riesgo (¿qué será?)
Voy a suponer que su rendimiento es rf
Entonces s(rf) = ?
¿Cómo cambiaría la frontera?
Otros suposiciones : cada persona puede
tener cualquier combinación (incluyendo
fondos cortos)
• Cada persona tiene el mismo horizonte
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rendimiento
frontera
efficiente
rf
Riesgo (varianza)
18
rendimiento
frontera
efficiente
rf
Riesgo (varianza)
19
Implicación
• Tenemos que considerar dos fondos: fondo
sin riesgo y tangente con frontera eficiente
(el portafolio del mercado)
• Todos los portafolios son combinaciones de
esos dos fondos
• (el portafolio del mercado es una
combinación de todos los fondos)
• (si consideramos mercados de bonos y
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acciones, todos están allí)
rendimiento
Alta
aversion
al riesgo
(verde)
Baja
aversion
al riesgo
(azul)
Fondo 2
Fondo 1
Portafolio
del mercado
rf
riesgo
21
La línea del mercado capital
(Capital Market Line)
•
•
•
•
El pendiente de la línea roja es
[E(rm) - rf]/s(rm)
Entonces, la ecuación de CML es
E(rP) = rf + ([E(rm) - rf]/s(rm))s(rP)
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Derivación del CAPM
• En equilibrio, el mercado tiene todos los
fondos hasta que no hay demanda exceso
• Vamos a poner wi = (valor de fondo i en el
mercado)/(valor del mercado)
• Consideramos un portafolio donde voy a
invertir a% en i y (1-a)% en el mercado
• rP = a(ri) + (1-a)(rM)
• Calculamos E(rP) y s(rP)
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derivación
E(rP )  aE(ri )  (1  a) E(rM )
s (rP )  [a s  (1  a) s  2a(1  a)s im ]
2
2
i
2
2
M
1/ 2
Tomando la derivada con respeto a la proporción a
E (rP )
 E (ri )  E (rM )
a
24
derivación
s (rP ) 1 2 2
 2 [a s i  (1  a) 2 s m2  2a(1  a)s im ]1/ 2
a
 [2as i2  2s m2  2as m2  2s im  4as im ]
25
E (rP )
a
s (rP )
a
a 0
a 0
 E (ri )  E (rM )
s im  s

sm
2
m
entoncesel pendientees
dE(rP ) E (rP ) / a

ds (rP ) s (rP ) / a
a 0
E (ri )  E (rm )

2
s im  s m
sm
26
P erosabemosque el pendient ede CML es
E (rm )  rf
sm
entonces,
E (rm )  rf
sm
E (ri )  E (rm )

2
s im  s m
sm
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Forma final
•
•
•
•
•
•
•
Eso, nos da
E(ri) = rf + (sim/sm2)[E(rm) - rf]
(sim/sm2) tiene un nombre
se llama “la beta” bi= sim/sm2 de acción i
Supongamos que i es el mercado
Entonces, bm = ?
Beta es una medida de covariabilidad con el
mercado beta>1 ó beta<1
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Lección uno de CAPM
• Security Market Line (SML)
• E(ri) = rf + bi[E(rm) - rf]
• Eso nos da una relación lineal entre E(ri) y
bi
• Entonces, tenemos la recta SML
• Supongamos ri es arriba de la recta
• rendimiento actual es más que está esperado
• gente va a comprar, precio y rendimiento29
E(ri)
ri
SML
ri
bi
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Interpretación de la fórmula
• Beta es una medida de co-variabilidad con el
mercado
• El mercado demanda rf como una compensación
de un activo sin riesgo
• Entonces, el mercado demanda una cantidad
“extra” bi[E(rm) - rf] para compensar el riesgo que
toma una inversionista en una acción con riesgo
• CAPM cuantifica el riesgo de la acción
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Beta es aditiva
• Hay dos activos
• Supongamos que sabemos las betas de cada
uno
• ¿Cómo podemos calcular la beta de un
portafolio con ambos activos?
• Esto es la suma ponderada
• Ejemplo: beta1=0.5 valor $1000, beta2=1.5
valor $2000. Entonces, beta del portafolio:
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Una aplicación
• Compañía A está considerando comprar otra
compañía B
• B va a producir “cash flow” (flujo de efectivo) de
$200 cada año
• B tiene beta de 1.2
• el portafolio del mercado tiene rendimiento 15% y
de T-bills tiene 6%
• ¿Cuál es el máximo que A va a pagar para comprar
B?
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Solución
•
•
•
•
•
•
•
Tenemos que valuar la compañía B
Sabemos que el flujo es 200 cada año
Necesitamos la tasa de descuento
Utilizamos la fórmula de CAPM
rB=0.06+1.2(0.15-0.06)=0.168
VPNB = 200/.168= 1190.48
Si VPNA=2000, bA=1, ¿qué es la beta de la
compañía fusionada?
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Beta en la vida real
• Hay países donde algunas acciones no se
venden todos los días
• “comercio ligero” (thin trading)
• La beta tal cual no se estima la beta propia
• Tenemos que ajustar la beta
• Errores en la medida
• Si la beta verdadera es 1, la medida puede
decir 0.8
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Beta de Scholes-Williams
• Primero corremos una regresión de
rendimiento de tiempo t con el rendimiento
de tiempo t-1 (beta(-1))
• Luego corremos una regresión de
rendimiento de tiempo t con el rendimiento
de tiempo t+1 (beta(+1))
• Beta (SW)=(beta(-1)+beta(0)+beta(+1))/k
donde k=1+2 correlación en serie
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