CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia referida a
un sistema de ejes cartesianos
Consideremos la circunferencia de centro C(h,k) y radio r. Sea
P(x,y) un punto cualquiera. Por definición de distancia:
CP 
x  h2  y  k 2
r
x  h2  y  k2  r 2
Ecuación cartesiana u
ordinaria
Si C (0, 0)
x2  y2  r 2
Ecuación canónica
Ecuación Cartesiana en su Forma
General
Si en la ecuación cartesiana desarrollamos los
cuadrados y ordenamos los términos:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x2 – 2.h.x + h2 + y2 – 2.k.y + k2 = r2
x2 + y2 – 2.h.x – 2.k.y + h2 + k2 – r2 = 0
x2 + y2 + d.x + e.y + f = 0
d = - 2.h
e = - 2.k
f = h2 + k2 – r2
Ecuación Cartesiana
en su forma General
Condiciones Necesarias y Suficientes
Una Ecuación de 2º grado en dos variables:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, representa una circunferencia si:
1) a=c,
2) b=0,
3) d2+e2-4f  0
Partiendo de: x2 + y2 +dx +ey + f = 0
Agrupando términos
Sumando en ambos
miembros números
(x2+dx+d2/4)+(y2+ey+e2/4) = -f+d2/4+e2/4 convenientes para
completar en cada
(x+d/2)2 + (y+e/2)2 = -f+d2/4+e2/4 paréntesis trinomios
Comparando con
cuadrados perfectos,
resulta:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(x2 + dx) +(y2 + ey) = -f
e
 d
C   , 
2
 2
1
r
d 2  e2  4 f
2
Ejemplos:
x2 + (y - 1)2 = 25
y
7
6
5
4
3
r=5
2
1
-6 -5 -4
0
-3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
C(0, 1)
1
2
3
4
5
6
x
x2 + y2 = 25
Ejemplos:
y
7
6
5
4
3
r=5
-6 -5 -4
2
1
0
-3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
C(0, 0)
1
2
3
4
5
6
x
Ejemplos:
(x + 1)2 + y2 = 9
y
7
6
5
4
3
2
C(-1,
0)
-6 -5 -4
1
0
-3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
r=3
4
5
6
x
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 16
Ejemplos:
y
7
6
5
r=4
4
3
2
C(2, 2)
1
-6 -5 -4
0
-3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
x
Ejemplo:
Determinar el radio y las coordenadas
del centro de la circunferencia
x2 + y2 + 4x -10y + 13 = 0
Ejemplo :
Encontrar la ecuación de la Circunferencia
que pasa por los puntos P1(2,1), P2(0,1) y
P3(0,-1) conociendo que la ecuación puede
expresarse según:
Ejemplo:
Hallar los puntos de intersección
(si existen) entre:
recta de ecuación
x -2y -1 = 0
y la circunferencia
x2 + y2 -8x +2y + 12 = 0
Ejemplo:
Hallar los puntos de intersección
(si existen) entre las circunferencias 1 y 2 :
x2 + y2 -4x -6y + 9 = 0
y
x2 + y2 -8x -2y + 13 = 0
Ejemplo:
Determinar la ecuación de la tangente a la
circunferencia: x2 + y2 -5x +2y + 1 = 0, por el
Punto P0(4,1)
Solución:
1) Verificar si P0 pertenece a la circunferencia.
2) Determinar h y k.
3) Hallar las componentes del vector CP0.
4) Determinar c.
5) Escribir la ecuación de la recta tangente.
Ejemplo:
Determinar la ecuación de las tangentes (si
existen) a la circunferencia: x2 + y2 +2x -19 = 0,
por el Punto P1(1,6)
Solución:
1) Determinar las coordenadas del centro y radio..
2) Verificar si la distancia de P1 a C es mayor que r.
3) Si el punto es exterior,el sistema tiene solución..
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