R
¿Qué figuras tienen
la forma de círculo y
circunferencia?
Actividad
CIRCUNFERENCIA
S
P
R
O: Centro
R
R
OP=OQ=OT=OS=…:Radio
T
Q
Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan
de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia
ACTIVIDAD
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
sagita
Q

Cuerda PQ
Recta
secante
P

Radio
interactúa
A
B

Centro
Arco BQ
Diámetro
( AB )
T

Punto de tangencia
Recta
tangente
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
ACTIVIDAD
Radio
Recta Tangente
1.-Recta Tangente
Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la
recta tangente que determina dicho punto de tangencia
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la
biseca (divide en dos segmentos congruentes).
ON : radio
DN : Diámetro
EF : Cuerda
ACTIVIDAD
Actividad
P
Q
R  PQ  PM  MQ
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A

C
B

D
Si : AB // CD  mAC  mBD
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
C
Cuerdas
congruentes
B
Arcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
D
Si : AB  CD  mAB  mCD
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
ET=TF
T punto de tangencia
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
d>R+r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
Punto de tangencia
R
r
Distancia entre
los centros (d)
d = R + r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de
tangencia
r
R
d
d=R-r
d: Distancia entre los centros
05.-CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
Tienen dos puntos comunes
5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
Distancia entre
los centros (d)
(R–r)<d<(R+r)
5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios
son perpendiculares en el punto de intersección.
Distancia entre
los centros (d)
d2 = R2 + r2
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d<R-r
d: Distancia entre los centros
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
A
R


R
ACTIVIDAD
B
AP = PB
P
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
A
B
R
r
r
R
D
C
AB = CD
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
D
R
r
r
R
B
C
AB = CD
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
Inradio
b
a
Circunradio
r
R
a + b = c + 2r
c
R
a + b = 2(R+r)
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
b
Cuadrilátero circunscrito
c
a
d
a + c = b + d
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
r
C

r
ACTIVIDAD
B
 = mAB
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
D
A

C
B
mAB  mCD

2
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
A
B

ACTIVIDAD
C
mAB

2
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
C

B
mAB

2
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
A

C
B
mABC

2
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
A
mACB - mAB

2

C
B
O
 + mAB = 180°
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
B

C
A
mAB - mBC

2
O
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
C

D
A
mAB - mCD

2
O
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