ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Ensayo de tracción. Ley de Hooke.
Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga
medimos la tensión (s) y la deformación unitaria (e) producidas. Representando gráficamente se
obtiene el siguiente diagrama.
E: Módulo de elasticidad
longitudinal o módulo de Young
Cte. Para cada material
En el Acero: E = 2,1 · 106 kp/cm2
LEY DE HOOKE
s  e E
Particularizada para las direcciones x, y, z
s nx  e x  E
; s ny  e y  E
; s nz  e z  E
1
ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Deformaciones transversales. Coeficiente de Poisson
Criterio de signos:
Alargamientos
Acortamientos
+
-
Cuando a un sólido le aplicamos una carga en una dirección, se
producen deformaciones no solo en esa dirección, sino también
en dirección transversal pero de signo contrario.
Ambas deformaciones están relacionadas por una constante denominada
Coeficiente de Poisson (m)
Si por ejemplo la carga está aplicada en la dirección del eje x, la deformación principal será ex. Las
deformaciones transversales se expresan:
e y  m e x  m 
Siempre se cumple que:
s nx
E
; e z  m e x  m 
0  m  0, 5
s nx
E
2
ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Deformaciones angulares. Coeficiente de elasticidad transversal (G)
Sometemos a un estado de cortadura pura una zona rectangular de un material determinado.
Medimos las tensiones cortantes (t) y las deformaciones angulares (g) que se producen, y las
representamos gráficamente.
En la zona lineal se cumple:
t  g G
(G= cte.)
G = Coeficiente de elasticidad transversal. (Acero G=8,44·105 kp/cm2)
Los parámetros E, G y m definen las características mecánicas del material.
No son independientes están relacionados por:
G 
E
2  1  m

3
ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Principios de: SUPERPOSICIÓN y de RIGIDEZ RELATIVA
Debido a que la ley que relaciona tensiones con deformaciones es una ley lineal, se cumple el
principio de superposición cuando estamos en régimen elástico.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
El estado tensional de un sólido, debido a varias acciones exteriores que actúan sobre él, es
igual a la suma lineal de los estados tensionales que producen cada una de las acciones
actuando por separado e independientemente del orden en que actúen.
Este principio no se verifica si las deformaciones producidas por un sistema de cargas hacen que, otro
sistema, actuase de forma diferente que si lo hace solo . Por tanto es necesario complementarlo con el
de Rigidez Relativa que dice:
PRINCIPIO DE RIGIDEZ RELATIVA
Las deformaciones provocadas en los sólidos por las cargas exteriores son lo
suficientemente pequeñas para que no modifiquen la forma de actuar de las cargas, y estas
siguen produciendo los mismos efectos que antes de la deformación.
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Leyes de HOOKE GENERALIZADAS
Estado MONOAXIAL de tensiones
Deformaciones lineales en el estado
monoaxial de tensiones: Las tres
tensiones NO actúan simultáneamente
ex 
s nx
E
;
ey 
s ny
E
;
ez 
s nz
E
Teniendo en cuenta que las deformaciones producidas por las tensiones cortantes no afectan a las
deformaciones provocadas por las tensiones normales, y aplicando el principio de superposición se
demuestra que:
Estado TRIAXIAL de tensiones
Leyes de Hooke Generalizadas
1


n x   n y  n z
x
E
1

ny  ( n x  n z )
y 
E
1

nz   n x  n y
z 
E
;
;
;
xy 
xy
G
xz
xz 
G
yz
yz 
G
5
ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Ecuaciones de LAMÉ
Las leyes de Hooke dan explícitamente las deformaciones en función de las tensiones.
Al ser seis ecuaciones y seis las tensiones independientes se pueden expresar explícitamente las
tensiones en función de las deformaciones. Se obtiene:
Ecuaciones de LAMÉ
n x  
e  2G 

x
;
xy  G 
xy
n y  
e  2G 

y
;
xz  G 
xz
n z  
e  2G 

z
;
yz  G 
yz
Donde es:
Dilatación volumétrica unitaria:
e  
x  
y  
z


E
( 1  )( 1 2)
Las leyes de Hooke y las ecuaciones de Lamé, son las mismas ecuaciones pero escritas de forma
diferente.
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Deformaciones y tensiones de origen térmico I
Cuando un sólido sufre variaciones térmicas ( DT ) se producen deformaciones
que son uniformes si las variaciones de temperatura lo son. Si se considera una
longitud “L” en una dirección cualquiera, la deformación ( DL )está dada por:
DL    L  DT
 = Coeficiente de dilatación. Cte. que solo depende del material (Acero:  = 0,117·10-4 (ºC-1)
Deformación unitaria:
Matriz de deformaciones:
ex  ey  ez 
DL
  DT

D

   0

0

   DT
;
L
0
  DT
0
g xy  g xz  g
yz
 0


0

  D T 
0
Las variaciones de temperatura no originan tensiones a no ser que se impidan las deformaciones
producidas por ellas. Si se impide totalmente la deformación en una dirección, cuando la variación de
temperatura es positiva (calentamiento), se tiene:
s  e  E   E   D T
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Deformaciones y tensiones de origen térmico II
Las leyes de Hooke y las ecuaciones de Lamé,utilizando el principio de superposición, se escribirán
ahora:
Leyes de Hooke
1

n x   n y  n z
 T
x 
E
1

n y  ( n x  n z )  T
y 
E
1

n z   n x  n y
 T
z 
E
xy 
;
;
;
xy
G
xz
xz 
G
yz
yz 
G
Ecuaciones de Lamé

E 
T
1  2

E 
T
 
e  2G 


y
1  2

E 
T
 
e  2G 

z 
1  2
n x  
e  2G 

x 
;
xy  G 
xy
n y
;
xz  G 
xz
;
yz  G 
yz
n z
Si las deformaciones no están impedidas, total o parcialmente, las tensiones son nulas.
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Definición
En la práctica es frecuente el caso en el que todos los planos paralelos a uno dado (Plano
Director), tienen el mismo estado tensional. Basta con estudiar lo que ocurre en un plano. Se
denominan ESTADOS PLANOS.
Estado de deformación plana
Nada en deformaciones depende de la
coordenada “z”

z  0 ;
xz  0 ;
yz  0
De donde se obtiene:
u  u (x , y )
v  v (x , y )
Estado tensional plano
Nada en tensiones depende de la
coordenada “z”
nz  0
w 0
 
z 0
xz  yz  0
w  0
De estas condiciones se tiene:
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Matrices de tensiones y deformaciones.
Estado de deformación plana
[T ] 
Siendo:
n x
xy
0
xy
n y
0
0
0
n z
Estado tensional plano
n x xy 0
[T ] 
s nz  m  s nx  s ny 

x
[D ] 
1
 0
2 xy
1
 
y
2
0
0
0
[D ] 
xy ny 0
0
0

x
1
 0
2 xy
1
xy
2
0
0

y
0
0

z
0
10
ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Tensiones y direcciones principales.
Utilizando la matriz de tensiones, tenemos:
( n x  )
xy
0
xy
n y  
0
0
0
( n z  )
s nz
 0
 ( n z  ) 
s3  0




s  0  

s

m

s

s
 nx ny  

 3
( n x  )
xy
xy
n y  
1,2 
2
x y
xy
n y  

 0 
0
Estado tensional plano
Estado de deform ación plano
2   n x  n y
 0
nx  ny
( n x  )
nx  ny
2
2
 n x n y  2x y  0
 2xy
La dirección “z” es una dirección principal (III), las otras dos están contenidas en el plano “xy” y
se determinan por el procedimiento general.
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Tensiones y direcciones principales mediante los círculos de Mohr.
Nuevo criterio de signos para tensiones cortantes: Positivas cuando el vector momento asociado
tiene la dirección contraria al eje “z” negativas en caso contrario.
Una de las direcciones principales es el eje “z” (sea la III) las otras dos están en el plano “xy” y sus
planos asociados pertenecen al haz III, estarán representados en el circulo C3.
Al ser xz  0  nx y xy son las com ponentes intríns ecas del vector tensión asociado a l
pla no cuya nor ma l tie ne la direcc ió n de l eje O X.
Al ser yz  0  ny y xy son las componentes intr ínsecas del vector tens ión as ociado a l
pla no cuya nor ma l tie ne la direcc ió n de l eje O Y
1  OC  C A  OB  BC  C A
2  OC  R  OB  BC  R
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Tensiones y direcciones principales mediante los círculos de Mohr.
Teniendo en cuenta que:
OB  ny ; BC 
R
Se obtiene:
1 ,2 
BC
2
 2xy 
nx  n y
2

nx  ny
2
nx  ny
2
nx  ny
2
CA  R
;
2
 2xy
2
 2xy
Los círculos de Mohr permiten además calcular la orientación de las tensiones principales
respecto a los ejes utilizando la regla del ángulo doble . En la figura se comprueba que la
tensión principal s1 forma con el eje x un ángulo mitad del dado por:
tg 21 
xy
BC
2xy
 nx  ny
Al ser s1 y s2 perpendiculares, s2 formará con el eje x un ángulo de: 90 –q1
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ELASTICIDAD. Tensiones – Deformaciones
Estados planos. Componentes intrínsecas para un plano perpendicular al director.
En estados planos el plano “xy” es el director. Se puede demostrar que para un plano “p”
perpendicular al director, las componentes intrínsecas de su vector tensión asociado están dadas por:
n 
nx  ny
2


nx  ny
2
n x  n y
2

cos 2 xy 
sen 2

sen 2  xy 
co s 2 
En la referencia principal, en la que:
t xy  0

s nx  s 1 ; s ny  s 2
Las expresiones anteriores se transforman en:
1  2
1  2
n 


cos 2
2
2
1  2


sen 2
2
Siendo ahora 2q el ángulo de la normal del plano con la dirección principal I.
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ELASTICIDAD. Tensiones