Deformación y desplazamiento
Deformaciones pequeñas
En este curso estudiaremos cuerpos deformables
Los estados de tensiones aplicadas producen
desplazamientos de material a lo largo del cuerpo
tensionado, los que a su vez producen deformaciones.
Las deformaciones pueden ser reversibles, si al quitar la
tensión ésta desaparece y en este caso se trata de
deformaciones elásticas. Éstas no son el interés
primario del curso.
Otras deformaciones son permanentes, produciendo un
cambio permanente de forma, son deformaciones
plásticas y éstas son el interés primario del curso.
En este capítulo veremos deformaciones pequeñas, las
que forman un tensor (deij); más adelante pasaremos a
deformaciones grandes (eij), que interesan en este
curso, mediante integración.
Deformación uniforme y desplazamiento lineal
Deformación no uniforme y desplazamiento de
cuerpo rígido
Figura explicativa de las
deformaciones pequeñas
Explicación del concepto de deformación
El Concepto de deformación se explicará con la figura anterior.
Por simplicidad del dibujo se tratará de deformaciones pequeñas
bidimensionales. La extensión tridimensional es trivial.
Consideremos un sistema de referencias fijo OX1X2X3
y se dibuja en el sólido un rectángulo elemental ABCD de lados dx1 y dx2.
Si el sólido se deforma, ABCD se transformará en A’B’C’D’ y sus aristas se
conservarán rectas.
Las coordenadas de A, A’, B, B’, C y C’ son:
A [x1,x2]
A’ [x1+u1, x2+u2]
B [x1,x2+dx2]
B’ [x1 + u1 + (∂u1/ ∂x2)·dx2, x2+u2+dx2+ (∂u2/∂x2)·dx2]
C [x1+dx1, x2]
C’ [x1+dx1+u1+(∂u1/∂x1)·dx1, x2+u2+(∂u2/∂x1)·dx1]
Explicación del concepto de deformación: deformaciones de extensión
Las deformaciones normales de extensión ( alargamiento o
acortamiento) se definan como:
de11 = (A’C’ – AC)/AC =
= [(x1 + dx1 + u1 + (∂u1/∂x1)·dx1 - x1–u1)– dx1]/dx1
= de11 = ∂u1/∂x1
Igualmente : de22 =∂u2/∂x2 y
de33= ∂u3/∂x3
Se está utilizando la suposición de deformaciones pequeñas; por
tanto A’C’≈ A’P y A’B’ ≈ A’R
Explicación del concepto de deformación: deformaciones de corte
• Las deformaciones de corte se definen como: tan(C’A’P) y
tan(B’A’R).
• Por tratarse de ángulos pequeños, estas tangentes son muy
similares a los correspondientes ángulos en radianes.
• tan (C’A’P) (≈  C’A’P) = [(u2/x1)·dx1]/[dx1 + (u1/x1)·dx1]
• Como (u1/x1)·dx1 << 1; luego tan(C’A’P) ≈ u2/x1
• De manera similar, tan (B’A’R)≈ u1/x2
• Las deformaciones totales de corte son:
• d12 = u2/x1 + u1/x2
• d13 = u3/x1 + u1/x3
• d23 = u3/x2 + u2/x3
• Usando índices:
dij = ui/xj + uj/xi
Expresión tensorial de la deformación de corte
La forma deformada final se relaciona con la forma inicial mediante la
suma de: “deformación” + “rotación”, como se muestra en la Figura:
x2
½21
tan(α2)
45º
tan(α1)
Forma inicial
x1
Forma deformada y
rotada
½12
Forma sólo deformada
La deformación total de corte ´(d12 ) es la suma de las tan(α1) + tan(α2).
Expresión tensorial de la deformación de corte
La deformación total de corte ´(12 ) es la suma de las tan(α1) + tan(α2).
Ambas tangentes pueden descomponerse en una parte simétrica, que
corresponde a un cambio de forma o deformación, y en una parte antisimétrica
que corresponde a una rotación:
tan(α1) = u2/x1 = ½· (u2/x1 + u1/x2) + ½· (u2/x1 - u1/x2)
de12 = ½· d12
Deformación
+
Rotación
tan(α2) = u1/x2 = ½· (u1/x2 + u2/x1) + ½· (u1/x2 - u2/x1)
de21 = ½· d21
Se debe destacar que: de12= ½·d12 ; de21= ½·d21; luego: de12= de21
Tensor de Deformaciones
Las diversas componentes del tensor de
deformaciones forman un tensor simétrico:
deij =
de11
de21
de12
de22
de13
de23
de31
de32
de33
deij = ½(ui/xj + uj/uxi)
Se debe recalcar que las componentes tensoriales de
corte son ½ de la deformación de corte de ingeniería.
Las transformaciones de las componentes cuando se
giran los ejes son idénticas a las de otros tensores:
deij = aim·ajn·demn
Nuevas
Antiguas
Ejemplo del uso del círculo de Mohr de deformaciones
Ejemplo del uso del círculo de Mohr de deformaciones
Ejemplo del uso del círculo de Mohr de deformaciones
Ejemplo del uso del círculo de Mohr de deformaciones
Velocidades de deformaciones
En muchos cálculos de mecánica de la plasticidad se utilizarán
frecuentemente las velocidades de deformación, éstas forman un
tensor. Si se divide deij por dt se obtiene el tensor velocidades de
deformaciones:
deij/dt = ½·[d(ui/xj)/dt + d(uj/xi)/dt]
Las diagonales del tensor (i=j) son velocidades de deformación de tracción o de
compresión;
las otras componentes i≠j corresponden a d(ij/2)/dt, velocidad de deformaciones
angulares;
Igualmente se puede derivar respecto de t el tensor rotación:
dwij/dt = ½·[d(uj/xi)/dt - d(ui/xj)/dt]
Las componentes de estos tensores se transforman siguiendo las reglas comunes
a los tensores cuando se giran los ejes coordenados.
Deformaciones grandes
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Las deformaciones grandes o totales (eij) no son tensores, y pueden ser
obtenidas del tensor de deformaciones pequeñas por integración:
B
eij = ∫deij =
A
t=t
∫ (deij/dt)·dt
t=0
Deformación volumétrica y condición de incompresibilidad
Si se considera un elemento de volumen formado por un paralelepípedo de
lados a, b, c y volumen V= a·b·c.
Diferenciando: dV = (b·c)da + (a·c)db + (a·b)dc
Dividiendo por V = a·b·c
dV/V = da/a + db/b + dc/c = de11 + de22 + de33 = deii = 0
Esta es la condición de incompresibilidad o de conservación de volumen.
Cuando se produce deformación elástica, se produce un pequeño cambio
de volumen; pero la deformación plástica (permanente) ocurre por
desplazamiento de dislocaciones y por tanto ocurre a volumen constante.
Como las deformaciones plásticas usualmente son mucho mayores que las
elásticas, éstas pueden despreciarse y en plasticidad se usa la condición
de conservación de volumen.
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