Introducción

Muchos fenómenos se pueden modelar como una
función periódica. Algunos ejemplos de ellos son:
Introducción

Electrocardiogramas:
Introducción

Movimientos pendulares
Introducción

Temperaturas diarias:
Como medir un ángulo
Los angulos pueden ser medidos en
radianes, grados sexagesimales, grados
centesimales, etc.
 Para nuestros cálculos mediremos los
ángulos en radianes, grados
sexagesimales (De aquí en adelante lo
llamaremos simplemente grados).

Como medir un ángulo

En grados:
Como medir un ángulo

En radianes:
Como medir un ángulo

Equivalencia de ángulos:
Como medir un ángulo

Relación entre los sistemas de medición:
Como medir un ángulo

Relación entre los sistemas de medición:
Como medir un ángulo

Ejemplo:
Como medir un ángulo

Ejemplo:
Como medir un ángulo

Ejemplo
Ejercicios
Encuentre el valor del ángulo 60º en
radianes.
 Encuentre el valor del ángulo 120º en
radianes.
 Encuentre el valor del ángulo 4p/3 en
grados.
 Encuentre el valor del ángulo p/6 en
grados.

Sistema coordenado rectangular

Un sistema coordenado bidimensional
es un sistema en el cual un punto puede
moverse en todas direcciones,
manteniéndose siempre en un plano.
Sistema coordenado rectangular
Este sistema, también llamado
cartesiano, está formado por dos rectas
perpendiculares entre sí.
 Las rectas son llamadas ejes de
coordenadas.
 La intersección entre las rectas es un
conjunto cuyo único elemento es un
punto llamado origen del sistema
cartesiano.

Sistema coordenado rectangular
RECTA 2
ORIGEN
R
E
C
T
A
1
Sistema coordenado rectangular
La RECTA 1 recibe el nombre de EJE X
 La RECTA 2 recibe el nombre de EJE Y.

Eje y
Eje x
Sistema coordenado rectangular
ABSCISAS: ubicadas a la derecha y a
la izquierda del eje Y, respecto del
origen, y son positivas y negativas,
respectivamente.
 ORDENADAS: ubicadas arriba y abajo
del eje X, respecto del origen, y son
positivas y negativas, respectivamente.

Sistema coordenado rectangular

Los ejes dividen al plano en cuatro
partes llamadas cuadrantes.
Eje y
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Angulo en posición normal

Diremos que un ángulo esta en POSICION
NORMAL si su vértice coincide con el origen
de un sistema coordenado rectangular
(Vértice del ángulo) y uno de sus lados esta
sobre el lado positivo del eje x (Lado inicial del
ángulo).
 El otro lado del ángulo lo denominaremos
Lado terminal del ángulo.
Angulo en posición normal
Eje y
LADO TERMINAL
VERTICE
Eje x
LADO INICIAL
Angulo en posición normal
Eje y
VERTICE
Eje x
LADO INICIAL
LADO TERMINAL
Angulo en posición normal

El lado terminal nos indicara el
cuadrante al cual pertenece el ángulo.
Eje y
LADO TERMINAL
Eje x
En este
ejemplo el
ángulo
pertenece al
primer
cuadrante.
Angulo en posición normal

El lado terminal nos indicara el
cuadrante al cual pertenece el ángulo.
Eje y
Eje x
LADO TERMINAL
En este
ejemplo el
ángulo
pertenece al
tercer
cuadrante.
Generación de angulos

Dado un punto P en el plano, podemos
generar un ángulo en posición normal.
Eje y
Eje x
En este
ejemplo el
ángulo
pertenece al
segundo
cuadrante.
Generación de ángulos

Dado un punto P en el plano, podemos
definir un ángulo en posición normal.
Eje y
Eje x
En este
ejemplo el
ángulo
pertenece al
cuarto
cuadrante.
Generación de triángulos

Dado un punto P en el plano, podemos
generar un triángulo rectángulo.
Eje y
Eje x
En este
ejemplo el
triángulo
pertenece al
primer
cuadrante.
Generación de triángulos

Dado un punto P en el plano, podemos
generar un triángulo rectángulo.
Eje y
Eje x
En este
ejemplo el
triángulo
pertenece al
segundo
cuadrante.
Circunferencia unitaria

¿Se acuerdan de la ecuación de la
circunferencia?
Circunferencia unitaria

Si la circunferencia tiene centro ( h , k ), y
radio r , la ecuación es
Circunferencia unitaria

Si la circunferencia tiene centro (0,0), y
radio 1, la ecuación es
Circunferencia unitaria
Eje y
Eje x
Ejercicios

Convierta a radianes los siguientes ángulos:
30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º
Triángulo Rectángulo

Partes del DABC
A
HIPOTENUSA
CATETO
C
CATETO
B
Triángulo Rectángulo

Notar que el ángulo a esta formado por un
cateto y la hipotenusa
A
HIPOTENUSA
CATETO
C
B
Triángulo Rectángulo

Nota que el ángulo b esta formado por un
cateto y la hipotenusa
A
HIPOTENUSA
C
CATETO
B
Triángulo Rectángulo

Notar que el ángulo recto esta formado
“SOLO” por catetos.
A
CATETO
C
CATETO
B
Triángulo Rectángulo

Cateto adyacente y cateto opuesto
A
ANALICEMOS
a
HIPOTENUSA
CATETO
CATETO
ADYACENTE
C
B
CATETO OPUESTO
Triángulo Rectángulo

Cateto adyacente y cateto opuesto
A
ANALICEMOS
b
HIPOTENUSA
CATETO
OPUESTO
B
C
CATETO
ADYACENTE
CATETO
Definiciones Trigonométricas

En el DABC rectángulo, definimos:
Definiciones Trigonométricas

En el DABC rectángulo, definimos:
Ejemplo

Encuentre el seno y coseno de a, según
el DABC rectángulo:
A
5
3
C
4
B
Ejemplo

Por definición tenemos:

El largo del cateto opuesto a a es 4 y el
largo de la hipotenusa es 5.
Ejemplo

Finalmente:
Ejemplo

Análogamente, por definición tenemos:

El largo del cateto adyacente a a es 3 y
el largo de la hipotenusa es 5.
Ejemplo

Finalmente:
Definiciones Trigonométricas

En el DABC rectángulo, definimos:
Definiciones Trigonométricas

En el DABC rectángulo, definimos:
Ejercicio

Encuentre las seis definiciones
trigonométricas para a y b en el DABC
definido de la siguiente manera:
A
5
3
C
4
B
Relación de Thales
A
D ABC
5
D
6
5
3
B
4
E
4
C
Relación de Thales
A
D ABC
10
6
B
8
C
Relación de Thales

Analicemos el
A
D ABC
10
6
B
8
C
Relación de Thales
A
D
5
3
B
4
E
C
Relación de Thales

Analicemos el
D
5
3
B
4
E
Ejercicio

Realizar el análisis del
para los
triángulos definidos anteriormente.
A
D
B
E
C
Ejercicio

Encuentre las seis
definiciones
trigonométricas para
a y b en el DABC
definido de la
siguiente manera:
C
6
A
5
61
B
Trigonometría en el plano

La trigonometría, definida en el plano, sufre
algunas variaciones en las definiciones,
particularmente en los signos.

Todos las definiciones estarán basadas en
las relaciones trigonométricas expuestas en
clases anteriores.

Solo trabajaremos con triángulos rectángulos
definidos de la siguiente manera:
Trigonometría en el plano
PRIMER CUADRANTE
Trigonometría en el plano
SEGUNDO CUADRANTE
Trigonometría en el plano
TERCER CUADRANTE
Trigonometría en el plano
CUARTO CUADRANTE
Trigonometría en el plano

La trigonometría, definida en el plano, sufre
algunas variaciones en las definiciones,
particularmente en los signos.
Trigonometría en el plano

Cambios en el seno
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
Eje y
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano

Cambios en el coseno
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
Eje y
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Ejercicio

Defina los cambios de signos para las
definiciones trigonométricas restantes, en
cada cuadrante. Complete la tabla.
sen
cos
I
+
+
II
+
-
III
-
-
IV
-
+
tg
ctg
sec
csc
Trigonometría en el plano

Cambios en la tangente
Eje y
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano

Cambios en la cotangente
Eje y
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano

Cambios en la secante
Eje y
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano

Cambios en la cosecante
Eje y
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
Eje x
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano

Finalmente, la tabla queda de la siguiente
manera.
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-
Trigonometría en el plano
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-
Trigonometría en el plano

TODAS SIN TACOS
SEGUNDO
CUADRANTE
(II)
PRIMER
CUADRANTE
(I)
TERCER
CUADRANTE
(III)
CUARTO
CUADRANTE
(IV)
Ejercicio

Encuentre todas las definiciones
trigonométricas para el ángulo a.
2
-3
(0,0)
Trigonometría en el plano

Dado el punto en el plano, P=(a,b), podemos
generar un ángulo en estado normal (a) y un
triangulo rectángulo. Luego, podemos encontrar todas las definiciones trigonométricas
para a.
b
a
Trigonometría en el plano

Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo a, si P=(6,3).
3
6
Trigonometría en el plano
Trigonometría en el plano
(0,0)
Trigonometría en el plano

Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo a, si P=(-3,2).
2
-3
(0,0)
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