Teorema de Pitágoras
1
Triángulos rectángulos
Un triángulo es triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto.
A
Ángulo recto
A
c
a
c
C
b
C
B
Catetos
Los catetos
son perpendiculares
Hipotenusa
a
b
B
Teorema de Pitágoras
2
Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
Primera
Segunda
En un triángulo
rectángulo la suma de los
ángulos agudos vale 90º
A
ˆ B
ˆ  90º
A
b
c
La altura sobre el lado desigual
de un triángulo isósceles lo
divide en dos triángulos
rectángulos iguales.
ˆ
ˆ C
B
B
C
a
B
ˆ y B
ˆ son complementarios
A
A
Los triángulos
ABM y AMC
son iguales
M
BM = MC
C
Teorema de Pitágoras
3
Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
En un triángulo rectángulo:
Área = a2
el área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa
a
es igual
c
Área =
a la suma de las áreas de los
cuadrados
construidos sobre los catetos
c2
b
Área = b2
a2 = b2 + c2
Teorema de Pitágoras
4
Teorema de Pitágoras: comprobación
Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
Hallemos el área del
cuadrado construido
sobre la hipotenusa.
El área del cuadrado
construido sobre el
primer cateto vale 9
Observa:
Hay 3·3 = 9
1. El área del triángulo es 6
cuadraditos
3
El área del cuadrado
construido sobre el
segundo cateto vale 16
4
Hay 4·4 = 16
2. El cuadrado sobre la
hipotenusa contiene 4
triángulos de área 6.
Además contiene un
cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25.
Luego es un cuadrado de lado 5
cuadraditos
Por tanto: 32 + 42 = 52
Teorema de Pitágoras
5
Teorema de Pitágoras: segunda comprobación
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Observa que en ese
cuadrado caben:
Cuatro triángulos
rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.
Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
Se tiene pues:
c2
4
25 cm2
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
3
6 cm2
7
Además cabe un
cuadrado de lado c,
cuya superficie es c2.
c
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
Teorema de Pitágoras
6
Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la
hipotenusa.
a?
5
4
Haciendo la
raíz cuadrada
12
Como a2 = b2 + c2 se tiene:
a2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
a  169
a = 13 cm
Teorema de Pitágoras
7
Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.
Calcula el valor del otro cateto.
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = c2 - b2
10
6
Luego:
b2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
b?
Haciendo la raíz cuadrada:
b = 8 cm
Teorema de Pitágoras
8
Los triángulos “sagrados”
Fueron muy
utilizados por
los arquitectos
y agrimensores
egipcios.
32 + 42 = 52
5
4
62 + 82 = 102
3
10
Las medidas de
sus lados son:
3, 4 y 5
o
5, 12 y 13
(También las
proporcionales
a estas)
6
13
92 + 122 = 152
8
15
9
5
12
Todos ellos son
rectángulos,
pues cumplen
la relación:
a2 + b2 = c2
52 +122 = 132
12
Teorema de Pitágoras
9
Reconociendo triángulos rectángulos
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son
60 cm de ancho y 80 de largo.
80 cm
¿Estará bien construido si la
diagonal mide 102 cm?
a
60 cm
Como los lados de la ventana
y la diagonal deben formar
un triángulo rectángulo, tiene
que cumplirse que:
b
c
a2 = b2 + c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000
Mientras que 1022 = 10404
Son distintos
La ventana está
mal construida
Teorema de Pitágoras
10 Cálculo de la diagonal de un cuadrado
Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
7
¿Cuánto mide su diagonal?
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 7 cm
cada uno.
7
d
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
d  98  9,9
Teorema de Pitágoras
11 Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
¿Cuánto mide su diagonal?
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 6 y 8
cm, respectivamente.
8
6
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
d = 10
Teorema de Pitágoras
12 Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
¿Cuánto mide su altura?
Como se sabe, la altura
es perpendicular a la base y
la divide en dos partes
iguales
8
8
h
3
6
La altura es un
cateto de un
triángulo rectángulo
cuya hipotenusa
mide 8 cm y el otro
cateto 3 cm.
Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Luego, 64 = 9 + h2
3
h  55  7,4
h2 = 64 – 9 =55
Teorema de Pitágoras
12 Cálculo de la altura de un triángulo equilátero
Tenemos un triángulo equilátero cuyos lados iguales miden 10 cm cada uno.
¿Cuánto mide su altura?
La altura es un
cateto de un
triángulo rectángulo
cuyo hipotenusa
miden 10 cm y el
otro cateto 5 cm.
Como se sabe, la altura
es perpendicular a la base y
la divide en dos partes
iguales
Cumplirá que: 102 = 52 + h2
10
10
h
5
10
Luego, 100 = 25 + h2
h2 = 100 - 25
5
h  75  8,6
h2 = 75
Teorema de Pitágoras
12
Cálculo del lado de un rombo
Tenemos un rombo cuyas diagonales miden 16 cm y 12 cm, respectivamente.
¿Cuánto mide su lado?
Las diagonales del rombo
son perpendiculares y lo dividen
en cuatro triángulos
rectángulos iguales
a
8
Las dos medias
diagonales, de 8 cm
y 6 cm, son los
catetos de un
triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es
lado del rombo.
16
6
Cumplirá que: a2 = 82 + 62
a2 = 64 + 36
a  100  10
12
a2 = 100
Teorema de Pitágoras
12
Cálculo de una diagonal de un rombo
Tenemos un rombo cuya diagonal mayor mide 24 cm y su lado mide 15 cm, .
¿Cuánto mide la otra diagonal?
15
12
24
Las diagonales del rombo
son perpendiculares y lo dividen
en cuatro triángulos
rectángulos iguales
La medias diagonal
de 12 cm y el lado
de 15 cm, son el
catetos y la
hipotenusa de un
triángulo rectángulo.
Cumplirá que: 152 = 122 + c2
c
225 = 144 + c2
c2 = 225 - 144
c2 = 81
c  81  9
d
La diagonal menor será 9 · 2 = 18 cm
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13 Cálculo de la apotema de un hexágono regular
Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema?
Recuerda:
1. La apotema es la medida
desde el centro del hexágono a
la mitad de un lado.
2. En un hexágono regular la
distancia del centro a cualquiera
de los vértices es igual al lado.
Luego, la apotema es un cateto
de un triángulo rectángulo de
hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.
Cumplirá que: 62 = a2 + 32
6
3
a2 = 36 - 9 = 27
3
a  27
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