Capitulo 6:
Heteroscedasticidad
Definición y causas de heteroscedasticidad
Contrastes de heteroscedasticidad: White,
Goldfeld-Quandt y Breusch-Pagan
Estimación por MCG
Información
• Estos transparencias no son completas.
• La idea con las transparencias es dar una
estructura general y asegurar que gráficos
y ecuaciones están reproducidos
correctamente.
• Cada estudiante debe tomar notas
adecuadas para completar las
transparencias.
Definición
• Definición: la varianza de la perturbación
no es constante.
• Ejemplo: ingresos – gastos.
Causas
• La naturaleza de la relación entre las
variables
• La transformación de variables
• La omisión de variables relevantes
Contrastes de heteroscedasticidad
Estructura general;
1. la hipótesis nula es homoscedasticidad.
2. la construcción está basada en los
residuos de la estimación por MCO (sin
considerar la posible heteroscedasticidad).
Contrastes de heteroscedasticidad
Contrastes de heteroscedasticidad
• Goldfeld-Quandt
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
única variable.
Contrastes de heteroscedasticidad
Goldfeld-Quandt
1)
2)
3)
4)
GQ ( F [ n 2  k , n 1  k ]) 
VE2
V E1
 H 0 :  i2   u2

2
2
H
:



xi
i
u
 A
Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
función de variables.
Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan
1)
2)
g i   1   2 z 2 i  ...   p z pi  v i
2
gi 
ei
n
1
e
2
i
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
VE  g ' g  ( Z  )' ( Z  )   ' Z ' g  g ' Z ( Z ' Z ) Z ' g
3)
A
BP (   [ p  1]) 
2
VE
2
 H 0 :  i2   u2   1

2
H
:

 f (Z )
A
i

Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan (Koenker y Bassett, 1982)
e   1   2 z 2 i  ...   p z pi  v i
2
i
A
BP ( m )(   [ p  1]) 
2
VE m
m
m 
1
N
N
 (e
i 1
2
i
n
1
e
2
i
)
2
 H 0 :  i2   u2   1

2
H
:

 f (Z )
A
i

1
VE m  ( u  u i )' Z ( Z ' Z ) Z ' ( u  u i )
u  ( e1 , e 2 ,..., e n )
2
2
2
i  11 ,... 1n
u  e'e / n
Contrastes de heteroscedasticidad
White
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
función de variables.
Contrastes de heteroscedasticidad
White
1)
2)
k
ei   1 
2

j2
3)
k
j
x ji 

j2
( x ji ) 
2
j

s ,t
( x si x ti )  v i
s ,t
2
2

H
:



 1
2
2
0
i
u
W (  [ p  1])  NR * 
2
H
:

 f (Z )
A
i

Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
ˆ MCG  ( X ' 
1
X)
1
X '
1
y
2
1
1
var( ˆ MCG )   ( X '  X )
1
donde : 
2
 s MCG 
2
• Necesitamos saber
e´  e
nk

Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
y  X  u,
y*  X *   u * ,
E ( uu ´)   
2
E ( u * u * ´)   I
2
donde : y *  Ty, X *  TX, u *  Tu
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Perturbación conocida: (Ejemplos)
(i )
( ii )
( iii )
 i   x 2i
2
2
 i   x 2i
2
2
2
 i   ( x 2 i  x 3i )
2
2
k
( iv )
i 
2
2
x
j2
ji
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
(1) la estructura de la varianza para (ii) es la matriz,
 x 22,1

0
2
2
E ( uu ' )      u
 

 0
0

x2,2
2



0

0 

0 
 

2
x 2 , N 
(2) el caso de transformación de variables, agregadas,
(…)
(3) el caso de transformación de variables, promedios,
(…)
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Con esta información se defina la matriz T
para transformar el modelo.

1
1 / x 22,1

0


 

 0

0
1 / x2,2

0



0

1 / x2,N
0
2
• Recuerda que
2






1 / x 2 ,1

0

T 
 

 0
T ´T  
1
.
0

0
1 / x2,2

0



0

1 / x2,N






Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Estimador de mínimos cuadrados ponderados
1

  n

β̂    w i x i x i '   w i x i y i 
 i 1
  i 1

n
donde
wi 
1
2
x 2 ,i
• Observaciones con varianza más pequeña tiene
un peso mas elevada en la sumatoria y así
también en su influencia en el estimador.
Estimación por MCG
• Perturbación desconocida: 1a etapa:
Estimar los parámetros de la función de la
varianza.
• Estimar por MCO la regresión auxiliar ,
ei
e   x v
donde
representa
los residuos de la estimación MCO del
modelo original, sin tener en cuenta la
posible heteroscedasticidad.
2
i
1
2
2i
i
Estimación por MCG
ˆ 1  ˆ 2 x 2 ,1

0
ˆ  




0

ˆ 1

1 /( ˆ 1

 



1 /


Tˆ  



0

0
ˆ 1  ˆ 2 x 2 , 2

0



0

ˆ 1  ˆ 2 x 2 , N
 ˆ 2 x 2 ,1 )
0

0
1 /( ˆ 1  ˆ 2 x 2 , 2 )




0
0

(ˆ 1  ˆ 2 x 2 ,1 )
0
0
1/
(ˆ 1  ˆ 2 x 2 , 2 )








0




1 /( ˆ 1  ˆ 2 x 2 , N ) 
0





0
0



0




(ˆ 1  ˆ 2 x 2 , N ) 

0
1/
Estimación por MCG
• 2a etapa: Aplica las formulas del
estimador MCG, es decir estimar la
relación T̂ y  T̂ X   T̂ u por MCO.
yi
ˆ 1  ˆ 2 x 2 i
 1
1
ˆ 1  ˆ 2 x 2 i
 2
x2i
ˆ 1  ˆ 2 x 2 ,1
 ...   k
x ki
ˆ 1  ˆ 2 x 2 i

ui
ˆ 1  ˆ 2 x 2 i
Estimación por MCO: White
• Se puede estimar el modelo por MCO y
corregir la varianza.
2
1
1
var( ˆ MCO )   ( X ' X ) X '  X ( X ' X ) 
 1 2

1
N ( X ' X )   X '  X ( X ' X )
N

1
 1 2

  X 'X 
N

 e 12

0
1

X'
 
N

 0
0

e2
2



0

0 

0 
X



2
e N 
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Estimación por MCG