Poliedros y Cuerpos
redondos
La palabra poliedro (Πoλυεδρos)
deriva de los términos griegos
Πoλυs (mucho) y εδρα (plano).
CUERPOS SÓLIDOS
• Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa
lugar en el espacio.
• Los cuerpos geométricos pueden ser
de dos clases: o formados por caras
planas (poliedros), o teniendo alguna o
todas sus caras curvas (cuerpos
redondos).
Actividad
a. ¿Qué características comunes ves a todos
ellos?
b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas
características.
c. Señala 3 objetos reales que sean
poliedros.
POLIEDROS
Se llaman poliedros a los cuerpos
geométricos cuyas caras son polígonos.
Los poliedros se clasifican en prismas y
en pirámides.
Ángulos diedros
Dos planos que se cortan,
dividen el espacio en
cuatro regiones.
Cada una de ellas se llama
ángulo diedro o
simplemente diedro.
Las caras del diedro son
los semiplanos que lo
determinan y la recta
común a las dos caras
se llama arista.
• Si son tres planos los que se cortan, se le llama
triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco,
pentaedro, etc.
• Al punto común se le llama vértice.
Actividad
• Observa los siguientes poliedros.
• Si los sitúas en un plano, observa
que hay dos que no se pueden apoyar
sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?
• A los poliedros que tienen alguna cara
sobre la que no se pueden apoyar, se les
llama cóncavos y a los demás convexos.
Actividad
• En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él
se te indican algunos elementos característicos.
a. ¿Cómo definirías cada uno de
estos elementos?
b. ¿Cuántas caras, vértices y
aristas tiene este poliedro?
c. ¿Cuántas caras se habrán de
juntar en un vértice como
mínimo?
Al número de caras que concurren en un mismo vértice se
le llama orden del vértice.
FÓRMULA DE EULER (1750)
• En los poliedros
de la figura,
cuenta el
número de
caras, vértices
y aristas y
escríbelos en la
tabla.
¿Encuentras alguna relación entre C, V y A?
CONCLUSIÓN
• En todos los poliedros convexos se
verifica siempre que el número de
caras más el número de vértices es
igual al número de aristas más dos:
C + V = A + 2
Carlos V es Austría II
• Hay otros elementos en los poliedros
que debes conocer:
¿Cómo definirías la
diagonal de un
poliedro?
• Une dos vértices
que no están en la
misma cara.
¿Y el plano diagonal?
• Contiene dos diagonales
¿Cuál es el número de diagonales y de planos
diagonales del poliedro anterior?
Explica razonadamente cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas
1. El número de aristas de un poliedro que
concurren en un vértice es, como mínimo, 4.
2. Las caras de un poliedro son todas iguales.
3. Hay poliedros con tres caras.
4. En cada vértice de un poliedro concurren siempre
el mismo número de aristas.
5. Las caras de un poliedro han de ser forzosamente
polígonos.
6. Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas
y 5 vértices.
7. El número mínimo de caras que concurren
en un vértice es 3.
8. El cilindro es un poliedro.
POLIEDROS REGULARES
Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón
(siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época
llegaron a conocerse
Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos
regulares iguales.
Si quieres comprobarlo, fíjate en el número de caras, de vértices y de
aristas de cada uno de los siguientes poliedros regulares:
Sólo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o
cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
TETRAEDRO REGULAR
• Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que
tiene menor volumen de los cinco en comparación
con su superficie. Representa el fuego. Está
formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.
FUEGO
OCTAEDRO REGULAR
• Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira
libremente cuando se sujeta por vértices opuestos.
Por ello, representa al aire en movimiento. Está
formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.
AIRE
ICOSAEDRO REGULAR
• Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el
tiene mayor volumen en relación con su superficie y
representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12
vértices.
AGUA
HEXAEDRO REGULAR O
CUBO
• Formado por seis cuadrados. Permanece estable
sobre su base. Por eso representa la tierra. Está
formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
TIERRA
DODECAEDRO REGULAR
• Formado por doce pentágonos regulares.
Corresponde al Universo, pues sus doce caras
pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene
12 caras, 30 aristas y 20 vértices.
EL UNIVERSO
Un desarrollo de cada sólido
platónico
Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.
Poliedros en la vida cotidiana
PRISMAS
Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las
caras laterales son paralelogramos.
Los elementos de un prisma son los siguientes:
• Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.
• Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las
bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.
• Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.
• Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular,
cuadrangular, pentagonal, hexagonal…
• Un prisma se llama recto cuando sus aristas
laterales son perpendiculares a las bases y
oblicuo en caso contrario.
• La altura de un prisma será el segmento de
perpendicular a las bases comprendido entre
estas.
• Si la base del prisma es un triángulo, el prisma
se llamará triangular; si es un cuadrado, se
llamará cuadrangular, etc.
Hay unos prismas especialmente
interesantes dentro de los
prismas cuadrangulares. Estos
son los paralelepípedos
llamados así porque los
cuadriláteros de las bases son
paralelogramos.
•Si el paralelepípedo es
recto y los paralelogramos
de las bases son
rectángulos, éste recibe el
nombre de ortoedro.
PIRÁMIDES
Cuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo
geométrico llamado pirámide.
Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono
cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice
común que se llama cúspide o vértice de la pirámide.
Los elementos de una pirámide son los
siguientes:
La base: es la cara en la que se apoya la
pirámide.
Las caras laterales: son las caras que
comparten uno de sus lados con la base.
La suma de sus áreas es la superficie
lateral de la pirámide.
Las aristas: son los lados de las bases y
de las caras laterales.
Los vértices: son los puntos en donde se
encuentran cada par de aristas.
Las apotemas: son las alturas de las caras
laterales de la pirámide.
Se nombran según sea el
polígono de su base:
pirámide triangular,
cuadrangular, pentagonal,
hexagonal...
• Las pirámides se puede clasificar de forma
análoga a los prismas. Así, hay pirámides
rectas y oblicuas, según que el centro del
polígono de la base coincida o no con el pie de
la altura de la pirámide, y regulares e
irregulares, según que el polígono de la base
sea o no regular.
• Así mismo, según el número de lados del
polígono de la base, la pirámide será
triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
TRONCO DE PIRÁMIDE
• Si cortamos una pirámide por un plano,
obtenemos un tronco de pirámide, que
será recto u oblicuo, según que el plano
sea o no paralelo a la base. Fíjate en que
las caras laterales de un tronco de
pirámide son trapecios y cuando éste es
regular, entonces los trapecios son
isósceles iguales y su altura coincide con
la apotema del tronco de pirámide. Por
otra parte, las bases son polígonos
semejantes.
Cuerpos redondos
Una lata de refresco, la punta de un lapicero y un
balón son cuerpos geométricos que tienen parte de
su superficie, o toda ella, curva. La lata es un
cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una
esfera.
A estos tres cuerpos: cilindro, cono y esfera, se les
llama cuerpos redondos.
Cilindro
•Las columnas de un templo clásico,
un rodillo de amasar o el rulo de una
apisonadora son también ejemplos
de cilindros.
•El cilindro se forma al girar un
rectángulo alrededor de uno de sus
lados, que se mantiene fijo, como
en una puerta giratoria.
•Si cortamos el cono por su
superficie lateral y lo extendemos
sobre una superficie plana,
obtenemos su desarrollo:
Cono
•El cucurucho de un helado y el
tejado de una choza son ejemplos
de conos.
•El cono se forma al girar un
triángulo rectángulo alrededor de
uno de sus catetos.
•Si cortamos el cono por su
superficie lateral y lo extendemos
sobre una superficie plana,
obtenemos su desarrollo:
Una pelota de playa, una naranja o una
canica son ejemplos de esferas. La esfera
se forma por el giro de un semicírculo
alrededor de su diámetro. Los principales
elementos de una esfera son su centro y
su radio.
LA ESFERA TERRESTRE
Como la Tierra tiene forma casi esférica
(está un poco achatada por los polos), la
llamamos la esfera terrestre.
En ella podemos trazar unas líneas
imaginarias, que nos permitirán precisar la
posición de cualquier punto sobre ella, por
ejemplo, la situación de tu pueblo o ciudad.
•Esas líneas son: el eje terrestre, el
ecuador, los paralelos y los meridianos.
Esfera
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