POLIEDROS
Y FUTBOL
Profr. Enrique Espinoza Ordóñez
¿QUÉ NOS TRAEMOS
ENTRE ENTRE LOS
PIES?
Si preguntásemos a cien jugadores, entrenadores o simples
aficionados al fútbol qué
es lo fundamental para practicar este deporte obtendríamos
una buena colección de
respuestas distintas: mucho entrenamiento, labor de equipo,
compenetración con los
compañeros, unas buenas instalaciones, un buen
entrenador...
Pocos de los encuestados acertarían con la respuesta
correcta: un balón.
Como casi siempre lo obvio nos pasa desapercibido, pero sin
esa pequeña esfera, foco de nuestras miradas y desvelos,
este deporte, como tantos otros, no existiría.
Pero, a pesar de ser el objeto sobre el que gravita
toda nuestra actividad en la cancha, no
le prestamos la atención que se merece


Vamos a mirarlo hoy detenidamente,
pero desde
una óptica un tanto extraña: vamos
a mirar el balón con...¡ojos
matemáticos!. Si, no te
sorprendas, en ese balón que ha
pasado tantas veces por tus manos,
que tantas alegrías,
y alguna que otra tristeza, te ha
proporcionado, hay más sorpresas
matemáticas de las que te puedes
imaginar.
Cuando está bien inflado, parece una
esfera perfecta, el cuerpo ideal de
los filósofos griegos, la creación de
los dioses. Pero, ¿realmente es una
esfera perfecta?.

Míralo con atención. Observa sus piezas. Son
unos polígonos regulares, ya sabes...tienen todos
sus lados iguales, muy conocidos. Efectivamente,
son pentágonos y hexágonos unidos entre sí. Si
está un poco desinflado se puede mantener
apoyado perfectamente en equilibrio sobre una
de sus caras... Ha dejado de ser una esfera,
ahora es... un poliedro. Un poliedro que tiene
nombre propio, aunque un tanto raro: icosaedro
truncado. Pero volvamos a sus caras. Te has
parado alguna vez a contar cuantos pentágonos y
cuántos hexágonos tiene. Seguro que no. Y no es
una tarea tan simple.
Antes de seguir leyendo, coge uno en tus manos y ánimo:
cuéntalos... ¡Tiempo!. ¿Ya lo
tienes?. ¿No te habrás equivocado?... Bueno, los pentágonos no
ofrecen demasiada
dificultad, efectivamente son los que habías dicho...12


Vamos por los hexágonos..., esto se empieza a complicar.
Si te faltan dedos para contar,
recurre a la mirada matemática y piensa... Cada pentágono
está rodeado por cincos
hexágonos, luego debería haber doce por cinco... sesenta
hexágonos. Pero cada uno de ellos está unido a tres
pentágonos diferentes... ¡Ya está! Sesenta dividido entre
tres, en total veinte hexágonos. En total 32 caras. ¡No ha
sido tan complicado!
Ya puestos a contar, ¿cuántas costuras, o aristas como
prefieras, tendrá? Te aconsejo que no intentes contarlas a
lo salvaje. Ponte otra vez las gafas matemáticas...

Si hay 20 hexágonos y cada uno tiene 6 aristas...120
aristas, más 12 pentágonos por cinco aristas cada uno...60.
En total 180 aristas. Pero cuidado, cada arista está
compartida por dos polígonos, así que la hemos contado
dos veces. Luego hay... .¡.90 costuras!. ¿Quién lo diría?
Ya nos ha picado la curiosidad. ¿Cuántos
vértices, ya sabes... dónde se juntan las
aristas, tendrá?
 Siempre puedes tomar un rotulador
empezar a poner un número en cada
vértice, pero
seguro que la mente cuenta mejor.
Veamos..., cada arista tiene dos vértices,
así que hay 90 x 2, 180 vértices.
Demasiados. ¡Ah, claro! Cada uno lo he
contado varias veces. ¡Calma!...

Si en cada vértice confluyen tres aristas, cada uno lo he contado tres
veces, asi que hay, ... eso es, 180 dividido entre 3, 60 vértices
 Por
cierto, hablando de caras, aristas
y vértices. Seguro que ahora te
acuerdas de que había una fórmula
que relacionaba su número. Si, eso
de que:
 caras + vértices = aristas + 2.
¿Será verdad, con nuestro balón?.
Pues claro, acaso lo dudabas:
 32 + 60 = 90 + 2.
Esta relación la demostró un
matemático suizo, Leonard Euler,



uno de los matemáticos más prolíficos de todos los
tiempos. Prolífico en todos los sentidos, no sólo publico más
de 500 libros y artículos, a pesar de quedarse tuerto a los
28 años y ciego 17 años antes de morir, además le dió
tiempo a tener trece hijos, lo que con toda seguridad
constituye un record en el mundo de las matemáticas.
Pero volvamos a nuestro balón, bueno, a nuestro icosaedro
truncado.
Aunque a primera vista no lo parezca, este poliedro se
obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro - uno de
los cinco poliedros regulares descubiertos ya por Platón
hace más de 2.500 años, formado por 20 triángulos iguales
-, de ahí su nombre. Los 12 pentágonos corresponden a los
12 cortes en los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos
son los restos de las caras del icosaedro.
¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones?, ¿es el
que más se aproxima a una esfera?



Su volumen es sólo el 86,74 % de la
esfera correspondiente, que no es una
mala aproximación. Al curvar sus caras
cuando se infla este porcentaje aumenta
ligeramente y sobrepasa el 95 %.
Pero hay otro poliedro de nombre casi
impronunciable, el rombicosidodecaedro,
para abreviar le llamaremos "rombico",
que ocupa el 94,32 % de la esfera, ¡ y sin
inflar!.
El "rombico" está formado por 12
pentágonos,
30
cuadrados
y
20
triángulos... 62 caras en total; casi el
doble que nuestro sencillo icosaedro
truncado. Tiene "sólo" 120 aristas y, según
Euler, 60 vértices. Sospechamos por qué
ninguna casa deportiva se ha lanzado a la
aventura de comercializar un balón basado
en este poliedro...tantas caras saldrían
demasiado "caras".
Se pueden conseguir balones basándose en poliedros que
se aproximan aún más a la esfera. Para ello hay que
utilizar polígonos no regulares, es decir, con lados de
distinta longitud. De hecho, algunos balones de fútbol se
han construido de esta forma aunque también resultan
más caros de fabricar.
Si quieres ver como serían basta que te
fijes en algunas de las bóvedas que se
utilizan para cubrir los radiotelescopios,
esas cúpulas que hay en algunos
observatorios astronómicos.
 Parecen
semiesferas
perfectas,
sin
embargo, aunque un poco exóticos, son
poliedros.

 En
fin, a partir de ahora, cuando
hagas una “chilenita” y veas volar el
balón hacia la portería piensa que el
viejo Platón, que identificaba al
icosaedro con el agua, y el ciego
Euler, que se entretuvo en contar
tantas caras y vértices de tantos
poliedros han hecho posible, en
parte, que ese tanto suba al
marcador.
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