NOMBRE DE LA UNIDAD:
ECUACION DE LA RECTA
FRUTILLAR, SEPTIEMBRE DEL 2006
1
OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos
asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones
lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose
en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.
CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS
•
Ecuación de la recta.
•
Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas.
•
Condición de paralelismo y perpendicularidad.
Objetivos de Aprendizaje
1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.
2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la
forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.
3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.
4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.
5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.
6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.
2
Ecuación de la recta
Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares
ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano
cartesiano.
Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación
general de la recta.

y
5
4
Grafiquemos L en el plano cartesiano:
Tabla de valores
X
Y
(x, y)
2
2
(2, 2)
1
3
(1, 3)
0
4
(0, 4)
-1
5
(-1, 5)
3
Gráfico

2
1
1
-1
-1
2
3
4
x
L
Observaciones:
1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
recta.
 Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es
solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.
3
Ecuación Principal de la Recta
Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0
Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.
2x – y- 1 = 0
Ecuación General
Despejemos “y” en términos de “x”
- y = - 2x + 1
Si dividimos la igualdad por -1 para
que el coeficiente de y no sea
negativo
Nos queda
-Y = -2x + 1 / : - 1
Y = 2x – 1
se llama Ecuación principal de la recta.
Donde:
m = 2
n= -1
Importante
Tiene la forma y=
donde
y
mx + n
y
se
llama ecuación
principal de la recta
m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)
n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.
4
Pero ¿Qué son m y n ?
En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la
recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y
pasa por el punto (0, -1)
y
2
1
1
1 2 3
x
Hagamos una gráfica más
acabada utilizando el
programa grahpmática:
5
¿Qué es la Pendiente en una recta?
¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta?
¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?
Veamos las siguientes imágenes:
6
¿ Qué tienen en común todas estas imágenes?
En estas imágenes
encontramos algo
común……es un
concepto
matemático que
permite modelar
situaciones de la
vida real.
Aterrizaje de un avión
7
Aquí los constructores deben aplicar el concepto
estudiado…..
8
¿Esta imagen te parece familiar? La cuesta a
Frutillar bajo es demasiado inclinada….
9
Los discapacitados ahora cuentan con entradas a los edificios públicos
que tienen una forma especial y que se construyen con una cierta
inclinación…..
10
¿Te es conocido este Volcán?
Aquí es más fácil ver el concepto matemático que se
estudió y analizó en la unidad.
11
El Volcán que vemos casi todos los días del año tiene laderas con mucha
pendiente….
La pendiente es el ángulo ( medido en grados) de inclinación de una recta
con respecto al eje “X”
Y
X
12
Ejemplo:
Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4
despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:
Ecuación
Despejemos y
m = -1 pendiente negativa la
recta forma un ángulo
obtuso con el eje x ( mide
más de 90º)
x + y =4
y = -x + 4
y
n= 4 la recta corta al eje y en
4, en el punto (0,4)
x
13
Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8
despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:
Ecuación
Despejemos y
4x -2y - 4 =0
-2y = -4x + 4
Multipliquemos
2y = 4x - 4
Dividimos por 2
y= 4x2
y= 2x m=2
La pendiente es positiva por lo tanto
la recta forma un ángulo agudo (mide
menos de 90º) con el eje x.
4
2
2
n= -2
y
La recta corta al eje y en -2 , en el
punto (0,-2)
x
14
y
y
m<0
m>0
x
x
Si b= 0 entonces m y n no existen
si a= 0
entonces m=o
y
y
x
x
15
¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de
una grafica?
Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente,
y
ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.

Por ejemplo:
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
Usaremos la ecuación
y - y
m  2 1
x2 - x1
5
4
3

2
1
1
-1
2
3
4
-1
x
L
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
m =
y 2  y1
x 2  x1
=
52 =
1 2
3
3
= -1
Luego la pendiente m = -1
16
¿Qué pasaría si en este
resbalín los dos lados no
fueran paralelos?
Los lados de este aparato
son paralelos es decir
describen segmentos de
recta que son paralelos.
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Y ¿si los lados de esta pasarela no fueran paralelos?
No puede haber un lado
que no sea paralelo al
otro no cumpliría la
función para el cual están
hechas, que es el facilitar
el acceso a los
discapacitados a un
edificio
Veamos a continuación las
distintas posiciones que
pueden adoptar dos rectas.
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Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:
a)
Que sean Paralelas
b) Que se intercepten


y
y
5
5
4
4
3
3

2

2
1
1
1
-1
2
-1
3
4
1
-1
x
2
3
4
-1
x
L
L

y
5
4
3
c) Que sean
Coincidentes

2
1
1
-1
-1
2
3
4
x
L
19
Rectas Paralelas
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:
Es decir:
Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n
L2: recta de ecuación y = m2 x + n
L1 // L 2 si m1 = m2
y
L
y
y2
L2
2
–
y1

y1
x2 – x1

x1
x2
x
20
Ejemplo
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y=x
y=x–2
En el mismo plano cartesiano
y=x+1
y=x-3
21
Rectas Perpendiculares
Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman
rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto,
ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son
perpendiculares.
y
si L1 es una recta de ecuación
L
y=m1 x + n
y2
y
–
L2 es una recta de ecuación
y
y1
 x –x
y= m2x +n
2
1
2

x1
1
x2
L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1
x
L1
22
Ejemplo
Grafiquemos las rectas de ecuaciones
y = 4x + 3
y=-¼x+1
En el mismo plano cartesiano
23
Rectas Coincidentes
Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus
pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de
ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas
coinciden punto a punto.
Si L1: y = m1 x + n1
L2: y = m2 x + n2
L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y
n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
y
L1

y2
L2

y1

x1
x2
x
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