Volumen por método de los
discos
Reyes Ocampo Héctor Alfonso
Calculo II Hector Reyes
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02/10/2015
Método de los discos
Fácil de entender
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Aplicación importante de
la integral



la tenemos en el uso para
calcular el volumen de un sólido
tridimensional.
Ahora veremos los sólidos de
revolución.
Este tipo de sólidos suele
aparecer frecuentemente en
ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de
sólidos de revolución: ejes,
embudos, pilares, botellas y
émbolos.
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

Si giramos una región
del plano alrededor de
una línea, el sólido
resultante es conocido
como sólido de
revolución y la línea
como eje de revolución.
El más simple de ellos
es el cilindro circular
recto o disco, que se
forma al girar un
rectángulo alrededor
de un eje adyacente a
uno de los lados del
rectángulo como se
muestra en la figura.
El volumen de este disco
es
Volumen del disco =
R2w
Donde R es el radio del
disco y w es la anchura.
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

Para ver cómo usar el volumen del disco
para calcular el volumen de un sólido
de revolución general, considérese el
sólido de revolución obtenido al girar
la región plana de la figura alrededor
del eje indicado. Para calcular el
volumen de este sólido, consideremos un
rectángulo representativo en la
región plana. Cuando se gira este
rectángulo alrededor del eje de
revolución, genera un disco
representativo cuyo volumen es:
V = R2 x
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Si aproximamos el volumen de un sólido por n de
tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos
n
n
Volumen del sólido 
[R(xi)]2 x

[R(xi)]2 x = 
i=1
i=1
Tomando el límite ||||  0 (n ), tenemos
n
Volumen de un sólido = lim
 [R(xi)]2 x = 
[R(x)]2 dx
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n =
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i=1
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Esquemáticamente,
representamos el método
de discos:
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Fórmula vista
En precálculo
Volumen del disco
V= R2w
Elemento
Representativo
V= [R(xi)]2x
Nueva formula
de integración
V=  ab [R(x)]2
dx
El MÉTODO DEL DISCOS
Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de
discos, úsese una de las fórmulas siguientes.
Eje horizontal de revolución
Volumen = V=  [R(x)]2 dx
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Eje vertical de revolución
Volumen = V =  [R(y)]2 dy
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Método de los discos
Difícil de entender
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Método de los discos


Si giramos una región del plano
alrededor de un eje obtenemos un sólido
de revolución. El más simple de ellos es
el cilindro circular recto o disco, que se
forma al girar un rectángulo
alrededor de un eje adyacente a uno de
los lados del rectángulo. El volumen de
este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco =  R 2
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a  x 0  x1  ...  x n 1  x n  b
Uso del método



Para ver cómo usar el volumen del disco para
calcular el volumen de un sólido de revolución
general, consideremos una función continua f (x
) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica
determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el
recinto R. Si giramos este recinto alrededor del
eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo
engendrado por R. Para ello hay que seguir un
proceso similar al realizado en la definición de
integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
a  x 0  x1  ...  x n 1  x n  b
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
Estas divisiones determinan en el
sólido n discos cuya suma se
aproxima al volumen del mismo.
Teniendo en cuenta que el volumen
de un disco es , la suma de Riemann
asociada a la partición, y que da
un volumen aproximado del sólido
es:
n
 f
2
( c i )( x i  x i  1 )
i 1
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




siendo:
.c  ( x , x )
i
i 1
i
la altura (anchura) de los
cilindros parciales
R  f ( c ) el radio de los cilindros
parciales
Si el número de cilindros parciales
aumenta, su suma se aproxima
cada vez más al volumen del
n
sólido; es decir:
2
  xi  xi 1
i
V 
Lim   f
n 
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( c i )( x i  x i  1 )
i 1
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
Por tanto, recordando la
definición de integral definida de
Riemann se obtiene que:
b
V 
 f
2
( x ) dx
a

Además, si se toma el eje de
revolución verticalmente, se
obtiene una fórmula similar:
d
V

 f
2
( y ) dy
c
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Ejemplos
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
• El volumen de la esfera
obtenida girando la
circunferencia
alrededor
del eje OX es igual a
.

• Un cono circular recto de
altura y radio de la base se
obtiene girando la recta
entre 0 y . Su volumen es igual a
.
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

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



Hallar el volumen del
sólido formado al girar la
región limitada por la
gráfica de f(x) = senx y el
eje x(0  x  ) alrededor
del eje x.
Solución: Se observa que el
radio de este sólido viene
dado por:
R(x) = f(x) = senx
Y se sigue que su volumen es:
V=   [R(x)]2 dx
=  ( senx ) dx
b
a

2
0

=  sen x dx
= -  cos x 0
=  (1+1) =2
0
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