CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION
DE CAPITALES FINANCIEROS
PRINCIPIO DE COMPARACION DE CAPITALES
La comparación de capitales se hace de forma indirecta a través de
las proyecciones de las cuantías a un momento arbitrario que
denominamos “p”.
Para un punto p y dado un capital (C; t), existe una cuantía “V” tal que
el capital (C; t)  (V; p).
Este principio determina el criterio de comparación en que se basa
toda la asignatura:
Dos capitales (C1;; t1 )  (C2;; t2 ) serán equivalentes cuando se
verifique que V1 = V2
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CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION
DE CAPITALES FINANCIEROS
Es necesario un criterio objetivo que permita la comparación de capitales
a través de su proyección en un momento “p”.
Esa proyección se va a realizar a través del concepto de Ley
Financiera, por lo que podemos decir que la ley financiera es la
expresión matemática de ese criterio objetivo de comparación.
DEFINICION DE LEY FINANCIERA
Se llama ley financiera a la expresión matemática que permite
obtener el capital sustituto en “p” (V; p), de un capital dado (C;t), a
través de la siguiente expresión: V=F(C,t,p)
La Ley financiera es función de tres variables: la cuantía del capital
(C), su vencimiento (t) y el punto de comparación (p), aunque por la
aplicación de una de sus propiedades se puede decir que es solo
función del vencimiento del capital y el punto de comparación.
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CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION NO INMEDIATA DE
CAPITALES FINANCIEROS
EJEMPLO DE LEY FINANCIERA
Sea F(t,p) =1+0,1·(p-t), con el punto p=2. Se pide encontrar el capital
sustituto en p del capital (100.000,0).
SOLUCIÓN
V = 100.000·F(0,2) = 100.000·[1+0,1·(2-0)] = 120.000
LUEGO (100.000,0 )  (120.000,2 )
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MAGNITUDES DERIVADAS: FACTOR FINANCIERO
Sea L(t,p) =1+0,1·(p-t), con p=2
a)
Encontramos el capital sustituto en p de (100.000,0)
M = 100.000 · L(0,2) = 100.000· [1+0,1(2-0)] = 120.000
b)
Calculamos ahora la cuantía (C2,1) equivalente a (100.000,0). Si (C2,1) es
equivalente a (100.000,0), entonces tienen el mismo capital sustituto en p, es decir:
100.000·[1+0,1·(2-0)] = C2 ·[1+0,1(2-1)]  C2 = 109.090,9
Al despejar C2 de la anterior ecuación observamos lo siguiente:
C 2  1 0 0 .0 0 0 
1  0,1  (2  0 )
1  0,1  (2  1)
 1 0 0 .0 0 0  1, 0 9 0 9 0 9  1 0 9 .0 9 0, 9
es decir, que la cuantía del capital equivalente en el momento 1 se obtiene multiplicando
la cuantía del capital con vencimiento en 0 por un número (1,090909) que se obtiene
como cociente de leyes. Ese cociente es una magnitud derivada que llamamos factor
de capitalización (porque trabajamos con la ley financiera de capitalización). Si
hubiéramos trabajado con una ley de descuento tendríamos el factor de descuento.
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MAGNITUDES DERIVADAS: RÉDITO
Se define como el complemento a la unidad del factor, expresado en valor
absoluto.
En el ejemplo anterior, el rédito sería: 1,090909 -1 = 0,090909
Lo que mide realmente es la variación por unidad de cuantía que experimenta un
capital que se traslada a otro momento. El rédito, por tanto, sólo mide la variación
por unidad de cuantía (incremento o disminución) sin tener en cuenta el intervalo
temporal en el cual se produce dicha variación.
POR ESTO EL RÉDITO NO ES UNA BUENA MEDIDA
DE RENTABILIDAD O COSTE
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MAGNITUDES DERIVADAS: TANTO
Se define como el resultado de dividir el rédito entre la amplitud del intervalo considerado. Es
decir, a diferencia del rédito, el tanto sería la variación por unidad de cuantía y unidad de
tiempo.
En el ejemplo que venimos analizando, el tanto sería igual a:
0, 0 9 0 9 0 9
20
 0, 0 4 5 4 5 4 5
El tanto sí es una buena medida de rentabilidad o coste de una operación, ya que mide la
variación por unidad de cuantía y tiene en cuenta el intervalo temporal en el que se produce
dicha variación.
Para comparar alternativas a través de los tantos con el fin de decidir cual de ellas es la más
rentable o la menos costosa es preciso comparar tantos homogéneos, esto es, tantos
calculados con la misma ley de valoración así como para la misma frecuencia temporal.
POR ESTO ES UNA BUENA MEDIDA DE RENTABILIDAD O COSTE
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DISTINCION ENTRE LEYES SUMATIVAS Y LEYES MULTIPLICATIVAS
Las leyes sumativas son aquellas que NO acumulan intereses, es decir, los
intereses que se van generando no se incorporan al capital para a su vez generar
nuevos intereses.
Por ejemplo, sea la Ley L(z) = [1+0,1·z], con z=p-t  0.
100.000
110.000
110.000
0
1
2
El capital (100.000,0) se capitaliza hasta p=1, y se obtiene un montante de
110.000. Es decir, los intereses en este primer tramo ascienden a 10.000 u.m.
Al no acumularse los intereses, en el momento 1 volvemos a disponer de un
capital de 100.000 u.m que capitalizamos hasta p=2, volviendo a obtener el mismo
montante de 110.000 u.m (el mismo capital y durante el mismo período genera el
mismo montante). Es decir, los intereses vuelven a ser de 10.000 u.m.
Si se proyecta directamente el capital (100.000,0) hasta p=2, se obtiene un
montante de 120.000 u.m, es decir, los intereses ascienden a 20.000 u.m, que es
justamente la suma de los intereses generados parcialmente.
100.000
120.000
0
2
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DISTINCION ENTRE LEYES SUMATIVAS Y LEYES MULTIPLICATIVAS
Las leyes multiplicativas son aquellas que SÍ acumulan intereses, es decir, los
intereses que se van generando parcialmente se incorporan al capital para a su
vez generar nuevos intereses.
Sea la Ley L(z) = (1+0,1)z , con z= p-t  0.
100.000
110.000
0
1
121.000
2
El capital (100.000,0) se capitaliza hasta p=1, y se obtiene un montante de
110.000. A continuación, trasladamos ese capital hasta el momento 2, obteniendo
un montante de 121.000 u.m. Es decir, los intereses han ascendido en total a
21.000 u.m.
Si ahora capitalizamos el capital (100.000,0) directamente hasta el momento 2, se
obtiene un capital de 121.000 u.m, con unos intereses generados de 21.000 u.m,
exactamente igual que cuando se realizaba la capitalización en dos fases, con la
capitalización de los intereses intermedios.
100.000
0
121.000
2
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LEYES FINANCIERAS: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Definición:
Es una ley sumativa (los intereses no generan intereses) y
estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a corto
plazo.
Expresión:
L(t,p)=1+i·(p-t) con p>t e i>0 / L(z)=1+i·z con z=p-t
Montante:
M=C·L(z) = C·(1+i·z)
Interés:
I = M-C = C·(1+i·z) –C = C·i·z
Tantos equivalentes:
Para que la equivalencia de capitales se
mantenga al cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en vez
de trabajar con años trabajamos con meses) es necesario obtener el tipo de
interés correspondiente a esa nueva unidad temporal (im) que sea
equivalente al tipo de interés anual (i).
El proceso de transformación es sencillo a partir de la siguiente igualdad:
1 + i·(p - t) = 1 + im  (pm - tm )

i = im  m

im =
i
m
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LEYES FINANCIERAS: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Definición: Es una ley multiplicativa (los intereses generan intereses) y
estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar operaciones a
largo plazo.
Expresión: L(t,p)=(1+i)p-t con p>t e i>0 / L(z)=(1+i)z con z=p-t
Montante: M=C·L(z) = C·(1+i)z
Interés:
I = M-C = C·(1+i)z-C
Tantos equivalentes:
Para que la equivalencia de capitales se mantenga al
cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en
vez de trabajar con años trabajamos con meses) es
necesario obtener el tipo de interés correspondiente a esa
nueva unidad temporal (im) que sea equivalente al tipo de
interés anual (i).
El proceso de transformación se realiza a partir de:
m
(1+ i)
p-t
= (1+ im )
pm - tm

(1+ i) = (1+ i m )
m

i = (1+ im ) - 1
im = (1+ i)
1m
-1
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LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN: TIPOS DE INTERÉS
Los distintos tipos (tantos) de interés que nos podemos
encontrar a la hora de valorar operaciones financieras
son los siguientes:
 i = Tipo o tanto de interés anual.
 im = Tipo o tanto de interés aplicable a una fracción del
año (meses, trimestres, semestres, …), donde “m” indica
las veces en que se divide el año: meses (m=12),
trimestres (m=4), semestres (m=2), …
 Jm = Tanto nominal de frecuencia m. Es la proyección
aritmética anual del correspondiente tipo de interés
aplicable a una fracción del año (Jm=m·im). Su validez es
meramente informativa.
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LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN: TANTOS NOMINALES
CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Cuando se trabaja con la capitalización simple no cabe distinguir entre tanto
nominal y tipo de interés anual porque al operar con estas leyes los intereses
parciales no generan intereses, es decir: i = im·m = J(m).
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
En cambio, cuando se valora una operación financiera con la capitalización
compuesta, hay que distinguir entre el tipo o tanto de interés anual y el tanto
nominal de frecuencia m, porque en este caso los intereses generados
parcialmente se acumulan al capital inicial para generar a su vez nuevos
intereses. De tal forma que siempre se verifica que i > Jm. La relación entre el
tanto nominal (Jm) , el tanto aplicable a una fracción del año (im) y el tanto anual
(i) es la siguiente:
 1+ i  =  1+ im 
m
Jm 

=  1+

m 

m
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LEYES FINANCIERAS: DESCUENTO COMERCIAL
Definición:
Es una ley sumativa (los descuentos parciales no generan
descuentos) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para valorar
operaciones a corto plazo.
Expresión:
A(t,p)=1-d·(t-p) con t>p y d>0 / A(z)=1-d·z con z=t-p
Valor descontado: V0=C·A(z) = C·(1-d·z)
Descuento:
D = C-V0 = C-C·(1-d·z) = C·d·z
Tantos equivalentes:
Para que la equivalencia de capitales se
mantenga al cambiar la unidad de medida del tiempo (por ejemplo, en vez
de trabajar con años trabajamos con meses) es necesario obtener el tipo de
descuento correspondiente a esa nueva unidad temporal (dm) que sea
equivalente al tipo de descuento anual (d).
El proceso de transformación es sencillo a partir de la siguiente igualdad:
1 - d·(p - t) = 1 - d m  (pm - tm )

d = dm  m

dm =
d
m
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RELACIÓN ENTRE EL PARÁMETRO i DE LA LEY DE CAPITALIZACIÓN
SIMPLE Y EL PARÁMETRO d DE LA LEY DE DESCUENTO SIMPLE
COMERCIAL
El tipo anual de interés en capitalización simple (i) y el tipo anual de descuento en descuento
comercial (d) no tienen el mismo significado.
Si tuvieran el mismo significado se tendría que verificar que, para un mismo valor numérico de ambos
parámetros (d=i), el resultado de capitalizar el valor descontado de una unidad monetaria durante un
período de z años, tendría que ser igual a la unidad monetaria de partida. Podemos comprobar que eso
no ocurre a través de la expresión:
(1- d  z)  (1+ d  z) = 1- d  z < 1
2
2
Para que ambos parámetros sean equivalentes se tiene que verificar que la anterior relación es igual a
1, es decir, que el resultado de capitalizar, durante un período de tiempo determinado, el valor
descontado de una unidad monetaria es igual a esa misma unidad monetaria.
V0=1-d·z
1 u.m
V0=1-d·z
(1-d·z)·(1+i·z)=1
De la igualdad anterior se obtienen los valores de “i” y “d” que son equivalentes
i=
(1 - d  z)  (1+ d  z) = 1

d=
d
1- d  z
i
1+ i  z
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LEYES FINANCIERAS: DESCUENTO COMPUESTO
Definición:
Es una ley multiplicativa (los descuentos parciales generan
descuentos) y estacionaria y se emplea, sobre todo, para
valorar operaciones a largo plazo.
Expresión:
A(t,p)=(1-d)t-p= (1+i)-(t-p) con t>p , d>0 e i>0
A(z)=(1-d)z=(1+i)-z con z=t-p
Esta ley se puede expresar de dos formas:
- En función del parámetro i (tanto o tipo de interés anual)
- En función del parámetro d (tanto de descuento anual)
Valor descontado:
V0=C·A(z) =C·(1-d)z=C·(1+i)-z
Descuento:
D = C-V0 = C-C·(1-d)z
Tantos equivalentes:
La equivalencia de capitales se mantiene cuando se cambia
la unidad de medida del tiempo si los tantos de descuento
se adaptan a la nueva medida del tiempo.
m
 Dm 
1
d
=
1
d
=

  m  1
m 

m
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CRITERIO OBJETIVO EN LA COMPARACION NO INMEDIATA