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Coordenadas y
matrices elementales
Cálculo matricial de estructuras
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Coordenadas
Matrices elementales
Transformación
Índice


Sistemas de coordenadas
Obtención de las matrices de rigidez elementales
 Elemento
articulado
 Elemento viga
 Elemento viga con deformación a cortante
 Elemento de emparrillado
 Elemento viga 3D

Transformación de coordenadas
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Matrices elementales
Transformación
Conocimientos previos

Diagrama de Tonti:

Discretización:

Matriz de rigidez:
Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0
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Matrices elementales
Transformación
Sistemas de coordenadas

Global

Sirve para definir:




Nodal

Local
(´)
Topología
Geometría de nudos
GDL

Para definir condiciones
de contorno especiales

Para definir los GDL en
cada elemento
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Sistemas de coordenadas: GDL

Articulada 2D
 GDL
 GDL
en nudos
en barras
(´)= coordenadas
locales
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Transformación
Sistemas de coordenadas: GDL

Pórtico 2D
 GDL
en nudos
 GDL
en barras
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Transformación
Sistemas de coordenadas: GDL

Emparrillado

GDL en nudos

Articulada 3D

Pórtico 3D
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Matrices elementales
Transformación
Elemento articulado (2D=3D)

Kij es la fuerza en GDL i cuando uj=1, uj=0
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Transformación
Elemento viga 2D

Para estructuras pórtico 2D
 Kij
es la fuerza en GDL i cuando uj=1, uj=0
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Transformación
Elemento viga
con deformación a cortante

Hipótesis:

Integramos uf+uc
Establecemos condiciones de contorno para:

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Transformación
Elemento viga
con deformación a cortante
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Matrices elementales
Transformación
Elemento de emparrillado
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Matrices elementales
Transformación
Elemento viga 3D
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Coordenadas
Matrices elementales
Transformación
Transformación de coordenadas

Conocemos el comportamiento de cada elemento

Combinaremos comportamientos locales
para establecer el global de la estructura

Para ello necesitamos cambiar de sistema
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Transformación
Transformación de coordenadas

Una magnitud vectorial se puede representar en
Cosenos
varios sistemas de coordenadas:
directores
Una traslación no
afecta, porque p,δ
sólo indican dirección
Matriz de
giro
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Transformación
Transformación de coordenadas


También necesitaremos hacer la transformación
inversa para los esfuerzos p´.
Como LDT no siempre es invertible, recurrimos a
que el trabajo es el mismo representado en
cualquier sistema de coordenadas:
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Matrices elementales
Transformación
Transformación de coordenadas

Transformación de p’ y δ de barra articulada 2D
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Matrices elementales
Transformación
Transformación de coordenadas

Transformación de p’ y δ de viga de pórtico 2D
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Transformación
Transformación de coordenadas

Transformación de p’ y δ de emparrillado
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Matrices elementales
Transformación
Transformación de coordenadas

Transformación de p’ y δ de barra articulada 3D
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Transformación
Transformación de coordenadas

Transformación de p’ y δ de viga de pórtico 3D
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Transformación de coordenadas

Transformación de la matriz de rigidez k’
 Sustituyendo
 Además,
definiciones anteriores:
dada la forma de L:
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Resumen

Coordenadas:

Matrices elementales:

Transf. coordenadas:
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