Probabilidades
Vamos a estudiar los conceptos de:
Sucesos excluyentes
Sucesos independientes
Empecemos por sucesos excluyentes o mutuamente excluyentes
Sucesos mutuamente excluyentes
Excluir significa “dejar fuera”, de manera que dos sucesos
serán excluyentes o mutuamente excluyentes si ellos no
tienen elementos comunes (es decir uno excluye al otro)
Observe cuidadosamente la siguiente urna
Esta urna tiene bolitas rojas, bolitas azules y bolitas verdes.
Supongamos que se elige una bolita al azar, entonces hay
tres tipos de sucesos que son de interés
Sucesos mutuamente excluyentes
El suceso “que la bolita sea azul” que lo denotamos por la letra A
El suceso “que la bolita sea roja” que lo denotamos por la letra R
El suceso “que la bolita sea verde” que lo denotamos por la letra V
Observe que ninguno de estos sucesos tienen elementos comunes,
de manera que entre ellos son mutuamente excluyentes.
Podemos calcular la probabilidad de obtener una bolita azul, esto es
P r( A ) 
5
12
Sucesos mutuamente excluyentes
De igual forma podemos calcular la probabilidad de sacar una bolita
roja, esto es
4
P r( R ) 
12
Y la probabilidad de obtener una bolita verde, que es
P r(V ) 
3
12
Ahora bien, nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de sacar una
bolita roja o una bolita azul?
Sucesos mutuamente excluyentes
Es decir, estamos preguntando ¿con que probabilidad puede ocurrir
el suceso R (sacar bolita roja) o A (sacar bolita azul)?
P r( R o A )  P r( R )  P r( A ) 
4
12

5
12

9
12
Es decir, cuando los sucesos son mutuamente excluyentes, la
probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos es simplemente la suma
de cada una de las probabilidades
Sucesos mutuamente excluyentes
¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja o una bola verde?
Los sucesos bola roja, R, y bola verde, V, son mutuamente excluyentes,
de modo que la probabilidad de que ocurra uno de ellos es
P r( R o V )  P r( R )  P r(V ) 
4
12

3
12

7
12
Veamos ahora el concepto de sucesos independientes...
Nos vamos a apoyar en la urna anterior con las bolitas de color
roja, azul y verde
Pero ahora sacaremos dos bolitas, una tras otra y con reposición.
Esto significa que sacamos la primera bolita, anotamos su color, y
la regresamos a la urna, y luego hacemos la segunda extracción.
Definamos el suceso “la primera bolita extraída fue de color azul, que
llamaremos suceso A1; y definamos el suceso “la segunda bolita
extraída fue de color azul”, que llamaremos A2.
Sucesos independientes
Queremos calcular la probabilidad del siguiente suceso “la primera
bolita sea azul y la segunda bolita también sea azul”.
En términos de nuestra notación de sucesos, queremos calcular la
probabilidad de que ocurra el suceso A1 y que ocurra el suceso A2.
Mire cuidadosamente los siguiente cuadritos, el primer cuadro denotará
las formas de obtener una bola cualquiera y el segundo cuadro las
formas de obtener una bola cualquiera de la segunda extracción
12
12
= 144 formas diferentes
Sucesos independientes
Ahora vamos a calcular las formas diferentes de obtener una bola azul
en la primera extracción y una bola azul en la segunda extracción:
5
5
= 25 formas diferentes
Luego la probabilidad de obtener dos bolitas azules de dos extracciones
con reposición (con reemplazo) es
25
144
Sucesos independientes
Por otro lado, la probabilidad de que en la primera extracción la
bolita sea azul, esto es
P r( A1) 
5
12
Una vez repuesta la bolita, la probabilidad de sacar en la segunda
extracción una bolita azul, esto es
P r( A 2) 
5
12
Sucesos independientes
De manera que podemos ver que la probabilidad de obtener A1 y A2,
es igual al producto de la probabilidad de A1 por la probabilidad de A2,
esto es
P r( A1 y A 2)  P r( A1) P r( A 2)
Y cuando esto ocurre, se dice que los sucesos A1 y A2 son independientes.
De otra forma A y B dos sucesos son independientes cuando la
ocurrencia de uno en nada altera la ocurrencia del otro.
Sucesos independientes
Con la misma urna, nuevamente sacaremos dos bolitas, pero esta vez lo
haremos sin reposición (sin reemplazo).
Esto significa que una vez que hagamos la primera extracción, la bolita
no es devuelta a la urna, o sea que en la segunda extracción tendremos
una bolita menos.
Sea el suceso “la primera bolita es azul”, que denotaremos por A1
Sea el suceso “la segunda bolita es roja”, que denotaremos por R2
Queremos calcular la probabilidad de que la primera bolita sea azul y la
segunda bolita sea roja, ¿cómo la calculamos?
Sucesos independientes
Como antes, utilicemos nuestros cuadraditos para saber todos los
posibles resultados de estas dos extracciones sin reposición
12
11
= 132 formas diferentes
(una bolita menos, la que
no fue reemplazada)
Luego, vamos a ver nuestros resultados para que la primera sea azul,
y la segunda sea roja (sin reemplazo)
5
4
= 20
Luego la probabilidad de A1 y R2 es
20
132
Sucesos independientes
Con el ejemplo anterior queremos decir que cualquier suceso que
dependa de la primera extracción afectará a cualquier otro suceso que
dependa de la segunda extracción, y por lo tanto ellos no serán
independientes (se dice que son dependientes)
A modo de ejemplo, calcular la probabilidad de que (siempre sin
reemplazo) en la primera extracción salga bolita verde (V1) y en la
segunda extracción salga bolita verde (V2)
3

2
12 11

6
132
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