EL PENTAGRAMA
LA CONSTRUCCIÓN DE UN SÍMBOLO
¿Qué es el pentagrama?
El pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa y pentángulo,
es el polígono estrellado regular de cinco puntas.
La palabra pentagrama proviene del griego πεντάγραμμον (pentagrammon),
forma sustantiva de πεντάγραμμος (pentagrammos) o πεντέγραμμος
(pentegrammos), adjetivo que significa "cinco líneas" o "de cinco líneas".
También se le denomina pentalfa porque su dibujo posee cinco letras
A (alfa en griego) y pentáculo por poseer cinco ángulos agudos.
Historia
Era conocido por los antiguos mesopotámicos (por ejemplo los sumerios),
y fue santo y seña de la Escuela Pitagórica,
quien observó su relación con el número Ф (Fi) (Número de oro)
Desde entonces se le ha dado un uso SIMBÓLICO.
En la magia la pentalfa o pentáculo con su punta hacia arriba suele
representar al ser humano (de hecho: durante la Edad Media se
esbozaban alargadas pentalfas para luego sobre ellas dibujar las figuras
humanas, y esto puede verse en el célebre grabado de Leonardo Da Vinci
para el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli):
La magia blanca o benigna tiene a la pentalfa o pentagrama como uno de
sus símbolos principales con su vértice medianero superior hacia arriba.
Por el contrario una pentalfa invertida (con el vértice medianero hacia
abajo) es considerado como parte de un ritual de magia negra.
La estrella pentagrama es un interesante SÍMBOLO que evoca varias
leyes matemáticas: se le encuentra como representante en logaritmos,
la sucesión de Fibonacci, la espiral logarítmica y por esto también en
los fractales (el paradigma de la autosemejanza)
¿Cómo se construye?
Un pentagrama es un polígono regular estrellado {5/2}.
Se dibuja sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las
esquinas alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También
pueden extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo
un pentagrama más grande.
Calculando diagonales
Para construir el pentágono regular a partir del lado:
PRIMERO
x
1
calcular el valor de su diagonal a partir del lado
Figuras semejantes
Empezamos demostrando que
el triángulo azúl y el triángulo verde
SON SEMEJANTES
La clave está en el cinco
A
Teniendo en cuenta que los
ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco de circunferencia
son iguales tenemos que la
diagonal en rojo es bisectriz del
ángulo B. Es decir, los ángulos
del triángulo isósceles ABC
están en proporción de 1:2:2.
α
D
α
α
C
Triángulo isósceles sublime
α
B
Luego ABC y BCD tienen dos
ángulos homólogos iguales, y,
por tanto, SON SEMEJANTES.
¿Cuánto vale α?
2α 2α α
2α
2α
ABC
2α
α
BCD
Teorema de Tales
Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales:
“Los tiángulos semejantes
tienen los lados proporcionales”
1
Lado igual del grande
X
Lado desigual del grande
x
X-1
1

Lado igual del pequeño
=
Lado desigual del pequeño
1
x 1
1
Y, para finalizar, un poco de
álgebra nos conduce a que
X2
–X–1=0
x
1
5
2
Un número con nombre propio
A
SECCIÓN AÚREA
El punto C divide al
segmento AB
“en media y extrema razón”
Es decir
C
El
NÚMERO
DE ORO
AB
AC
1
B

AC
CB

1
5
2
El total es a la parte mayor,
como la parte mayor es la
parte menor.
…que desvela la irracionalidad
LA DIVINA PROPORCIÓN
La copa sagrada
Ф
1
SECCIÓN AÚREA
1/Ф
1
El triángulo isósceles sublime
TIENE SUS LADOS EN PROPORCIÓN AÚREA
α
α
2α
2α
α
α
La razón de semejanza entre los dos triángulos es Ф
con “regla y compás”
A
B
Contrucción de Ф mediante
regla y compás
1
Y del rectángulo aúreo ABCD
D
1
1
1  
2
2

1
2
2

1
1
1    
2
2
2
C
2
2
4 1
4

1
5
2
a  b
a

a
b


El pentágono regular
Acabamos de ver que, en un
pentágono regular, la diagonal y el
lado están en proporción aúrea.
También hemos visto la manera
de construir un rectángulo aúreo.
Si disponemos ahora del lado del
pentágono, la diagonal coincidirá
con lado mayor de un rectángulo
aúreo de lado menor igual al lado
del pentágono.
Una vez tenemos ambas medidas,
la construcción del pentágono
partiendo del lado es inmediata y,
éste es el método de construcción
usado en los ejercicios de Dibujo.
Tu diploma: “PITAGÓRICO”
El poder
del SÍMBOLO
“Eadem mutata resurgo”
EPÍLOGO
El Símbolo es una FORMA
que exterioriza un
pensamiento o una idea.
En nuestra cultura el
Símbolo tiene el poder de
una intensa evocación.
Su fuerza radica en su
capacidad de recordarnos
propiedades profundas del
Concepto al hacerlas
explícitas en la Forma.
¿Qué Símbolo le
corresponde a la Vida?
La Vida parece decirnos:
mutante y permanente,
vuelvo a resurgir siendo la
misma; y lo hago mediante
un ritmo cíclico, abarcando
cada vez un campo de
experiencia más amplio.
El hombre de Vitruvio