ANALISIS DE FRECUENCIA EN
HIDROLOGIA (2)
JULIÁN DAVID ROJO HERNÁNDEZ
Introducción
Usos de la estadística:
Extraer la información esencial de una muestra de datos, para
determinar las características y el comportamiento de la población.
Las características estadísticas básicas se calculan como el valor
esperado (E) de alguna función de una v.a.
Valor esperado de una función g(x) de una v.a. x se define como:
E g ( x )  

 g (u ) f
x
( u ) du

Donde:
fx(u): Función de distribución de probabilidades (fdp) de la variable x.
Parámetros Estadísticos
• Media, : Valor esperado de la variable. Es el primer momento con
respecto al origen. Es una medida de la tendencia central de la
distribución.

E(x) =  =
x
Estimación muestral: x 
f(x)dx
1
n
x

n
i
i 1
-
• Varianza, 2: Mide la variabilidad de los datos, dispersión de los
mismos alrededor de la media. Es el segundo momento con respecto a
la media.

2
E[(x - μ ) ] = σ =
2

-
2
(x - μ ) f(x)dx
Estimación muestral: S =
2
1
n -1
n

i =1
(xi  x )
2
•
Desviación estandar, : Es una medida de la variabilidad
con las mismas dimensiones de x. Es la raíz cuadrada de la
varianza.
E[(x
2
-μ ) ]
Estimación muestral:
 1
S= 
 n -1
n

i =1
2
(xi  x ) 

1/ 2

1/2


2
=  =   (x - μ ) f(x)dx

 -




1/ 2
• Coeficiente de variacíon, CV: Esta definido por la relación de
la desviación estandar y la media. Medida ademensional de la
variabilidad.
CV =
σ
Estimación muestral:
μ
S
CV 
x
• Coeficiente de asimetría, :
n
 =

E x -  

3
3

3
Estimación muestral: e s =
n  ( xi  x )
3
i 1
( n  1)( n  2 ) S
3
Características principales
• Asimetría: La distribución de los valores de una distribución
alrededor de la media. Tercer momento alrededor de la media.

3
E[(x - μ ) ] =

3
(x - μ ) f(x)dx
-
La asimetría se hace adimensional dividiendo la anterior
ecuación por 3, se obtiene el coeficiente de asimetría .
Usos de la distribución normal
•
Aproximar la distribución de probabilidades de errores aleatorios.
•
Comparar distribuciones: las propiedades de una muestra de
variables no normales pueden compararse con las de variables
normales.
•
Muchos estadísticos pueden ser normalmente distribuidos, como,
por ejemplo, la media de la mayoría de las variables hidrológicas.
Función de distribución de probabilidad
f ( x) 
1
2

e
(x )
2
2
2
Parámetros
•
•
•
•
Media
Desviación estandar
Asimetría = 0
Media = Moda = Mediana
z
(x   )

f ( x) 
2
z
f (z) 

1


e
1
2
z
2
  z 
2

e
u
2
2
du
La variable z es llamada variable estandarizada media cero y
desviación estándar uno.
Tabla de distribución: Normal tipificada N(0,1)
Usos de la tabla
Estimación de parámetros
ˆ 
ˆ 
1
N
1
N
N
 xi
i 1
N

 (x i
 ˆ )
1/2
Factor de frecuencia
K =
x - μˆ
σ
La magnitud de la variable XT para un período de retorno dado T
puede encontrarse, utilizando el factor de frecuencia, con el siguiente
procedimiento:
F u( K )  1 
1
T
1
 K  Fu (1 
1
)
T
Usando el valor calculado en la tabla, se lee el valor de x en la primera
columna, que corresponde a K o Fu-1 (1- 1/T).
Se calcula el valor buscado como:
X
T
 ˆ  K ˆ
Intervalos de confianza
• Cuando se desea hallar cualquier estadístico, por ejemplo la media,
generalmente se dispone de una muestra de tamaño limitado.
• Se quiere saber qué tan cercano puede estar ese estimado al
verdadero valor desconocido de la población.
• En otras palabras, se quisiera conocer con una cierta certeza
(probabilidad) la franja de valores entre los cuales se encontraría el
verdadero valor de la población.
• Franja grande: mucha incertidumbre.
: Nivel de confianza o nivel de probabilidad.
ST: Error estándar.
X
T
 u 1 
/2
ST
El error estándar, ST, es una medida de la desviación estándar de la
magnitud de un evento calculado a partir de una muestra respecto a la
verdadera magnitud del evento.
1
ST =
2
σˆ x 
K
1 +
2
N 
2



Ejemplo: Distribución Normal
Se tiene una estación con 30 años de datos de caudales medios anuales
con media de 117 m3/s y desviación estándar de 94 m3/s. ¿Si los datos
se ajustan a una distribución Normal, cuál es el caudal correspondiente
a un período de retorno, Tr, de 100 años?. (se asume independencia de
los datos).
En este caso se puede escribir:
Fu(K) = 1 - 1/Tr = 0.99
K = Fu-1 (0.99)
Con el valor de 0.99 en la tabla 5.1, se obtiene:
K = 2.326
El valor asociado a Tr = 100 se calcula como:
Q100 =117 + 94 x 2.326 = 335.6 m3/s
Ejemplo: Distribución Normal
Los caudales medios anuales de un río con media 1.5 m3 /s y desviación
estándar de 0.6 m3 /s se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la
probabilidad de que se produzca un caudal medio igual o menor a 1 m3
/s, en cualquier año?
P ( X  1)  P (  
1  ˆ
ˆ
)
P ( 
1  1 .5
0 .6
)  P (    0 . 83 )
P( -0.83)=1-P( 0.83)
=
1-0.797
=
0.203
Ejemplo: Caudales de río Escondido
Cual es el caudal correspondiente a un TR=100 años, si tienen una
distribución normal. N=25 años.
=283.5 m3/s
σ=24.8 m3/s
En este caso se puede escribir:
Fu(K) = 1 - 1/Tr = 0.99
K = Fu-1 (0.99)
Tabla K=2.326
Q100    K   283 . 5  2 . 326  24 . 8
Q100  341 . 18
Intervalos de confianza para =5%:
1
ST =
 1 
/2
2
σˆ x 
K
1 +
2
N 
2
  8 . 71


  0 .975   0 .975  Tabla  1 . 96
X T   1   S T  341 . 18
 1 . 96  8 . 71  341 . 19  11 . 07
3
m /s
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