Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral
asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del
espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de
variable aleatoria.
X : S
si
R
X(si)= xi
1
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Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorrido
de la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos los
valores que toma la v.a. X. Rx = {xi  R / X(si) = xi , si  S }
S
R
Rx
X
s1
x1
s2
x2
:
:
X(si)=xi
si
:
:
:
:
2
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Variables Aleatorias
Unidimensionales
Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorrido
de la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable,
entonces diremos que X, es una v.a. Discreta.
Definición 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que
toma la variable (xi Rx), le asociaremos un número
p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:
i .)
p( x i )  o
i
 1 , 2 ,....

ii .)

i 1
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p ( xi )  1
3
Definición 5:
Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea
Rx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B  Rx. Entonces
Si definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces,
diremos que A y B son equivalentes, A  B y P(A) = P(B)
S
A s1
s2
s3
Rx
B
x1
x2
xi
si
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Ejemplo:
Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registra
el signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral
S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número de sellos que aparecen.
En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2}
S
cc
cs
sc
ss
Rx
X
X(cc) =
X(cs) =
X(sc) =
X(ss) =
x1=0
}
x2=1
x3=2
5
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Luego:
p(x1) = P(X = x1) = p(0)
= P(X=0) = P(cc) = 1/4
p(x2)= P(X = x2) = p(1)
= P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2
p(x3) = P(X = x3) = p(2)
= P(X=2) = P(ss) = 1/4
Por lo tanto:
p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1
De la definición 5 tenemos:
Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1}

P(A) = P(B) = ¾
6
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Ejercicio
De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se
Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasifican
según el sexo. Determine:
a.b.-
el espacio muestral
la probabilidad de que ambas sean mujeres
c.d.-
la prob. que el número de mujeres seleccionadas sea 2
la prob. que el número de mujeres sea al menos una
Para las preguntas c) y d) determine previamente:
la variable aleatoria X, y
el recorrido de X (Rx)
7
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Ejercicio:
Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador
tiene problemas.
p (k )  P ( X  k ) 
( 4C ) k
, k = 1,2,3,4,5,6
7
Determine:
1.2.3.-
Recordar:
el valor de C
p( 5 ) = P( X = 5 )
P( X  2 ) =
i.  p( x i )  o
 1 , 2 ,....

ii . 

i 1
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i
p ( xi )  1
8
1.-
De la condición ii.- tenemos :
6

p (k i )  1 
4 C  8 C  12 C  16 C  20 C  24 C
7
i 1
Luego

1
84 C
1 C 
7
7
1

84
12
Esto quiere decir que:
p (k )  P ( X  k ) 
4k
7 * 12

k
21
9
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b.-
p (5)  P ( X  5) 
k
21
c.-

5
21
P ( X  2 )  p ( 2 )  p (3)  p ( 4 )  p (5 )  p ( 6 )

20
21
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Proposición:
i.-
La Función P, se denomina Función de Probabilidad
ii.-
El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad
En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la
Función de Probabilidad.
p(xi)
xi
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Ejercicio:
Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasporte
Seaa destino
A : El sin
camión
llega aesdestino
llegue
problemas
de 0.57sin
( esproblemas
decir en el 57% de _
sea B
: El camión además
no llegaque
a destino
sin enviar
problemas
. B=A
los ycasos).
Supongamos
es posible
una gran
Luegode
el camiones.
espacio muestral
será: hasta que llega el primer
cantidad
El envíoS,continua
camión a destino sin problemas.
Determine la probabilidad de que el número de envíos necesario
para que llegue el primer camión sin problemas, sea k (k = 1,2,3...)
Previo Determine:
a.Espacio muestral
b.-
La variable aleatoria X
c.-
Recorrido de la v.a. X.
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
X : Nº de envíos necesarias para que llegue el primer
camión a destino sin problemas.
Rx = {1, 2, 3, 4, ......}
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Recordando;
S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}
Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Según el diagrama del árbol tenemos:
0.57
A
A
A
0.57
0.43
A
0.57
B
0.43
0.57
B
0.43
B
0.43
Luego;
B ..............................
p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57)
p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57)
p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57)
p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57)
Por consiguiente tenemos que:
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57)
; k = 1,2,3......
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Debemos demostrar que :
p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57)
; k = 1,2,3......
es efectivamente una función de probabilidad, es decir,
que debe cumplir con:
i .  p( k )  o
k
 1 , 2 ,....

ii . 

p(k )  1
k 1

Como

i0
1
 
 r 
i


1
1
1


k 1
0 . 43  k 1



0 . 43 i
i0
r


 0 . 43 
i
* ( 0 . 57 ) 
i0
1
* ( 0 . 57 )  1
1  0 . 43
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Ejercicio
Respecto al ejemplo anterior, supongamos que se
envían 3 camiones, independientemente. Determine:
a.Espacio muestral
b.- la probabilidad de que el número de camiones
que llegue a destino sin problemas se k .
Previo: Determine el espacio muestral, la Variable
Aleatoria X, y el recorrido Rx.
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Distribución Binomial
Def.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociado
a E. Supongamos que P(A) = p, luego P(A) = 1 – p.
Consideremos n repeticiones independientes del experimento E.
Por lo tanto el espacio muestral del experimento total, estará
Dado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A .
Si la v.a. X se define como: Número de veces que ocurre el suceso
A, diremos que X tiene una distribución binomial con parámetros
n y p, y la denotaremos:
X ~ b(n , p )
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Distribución Binomial
y su función de probabilidad está dada por:
P (k )  P ( X  k ) 
 p
n
k
k
(1  p )
nk
Con k = 0,1,2,3,……….n
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Distribución de Bernoulli
Si el experimento se realiza una sola vez, la
variable X tomará los valores 0 y 1, y se dice que
tiene una distribución de Bernoulli con parámetros
1 y p.
X ~ B(1 , p )
P ( k )  P ( X  k )  p (1  p )
k
1 k
Con k = 0,1
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Distribución de Poissón
Sea X una v.a.d., si su función de probabilidad está dada por:
P (k )  P ( X  k ) 
e

*
k
k
!
con k  0 ,1, 2 ,3, , , , , , , ,
Entonces diremos que X tiene una distribución de Poissón
con parámetro . Se anota: ( media  y varianza 
)
X ~ P()
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Variables Aleatorias Continuas (vac)
Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx,
son todos los números reales.
Si definimos una función
f :R
 R
y si cumple con las siguientes condiciones:
i.  f ( x )  0
x  Rx

ii . 

f ( x)d ( x)  1

Entonces diremos que X es una v.a.c. con función de densidad de
Probabilidad (f.d.p.)
f
20
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Observaciones
1.- f(x) no es una probabilidad, como en el
caso discreto, donde p(x) = P(X = x ).
2.- Las siguientes probabilidades, son
equivalentes:
P(a  x  b) = P(a < x  b) = P(a  x < b)
= P(a < x < b)
Esto implica que P(X = k ) = 0
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Observaciones
b
3.  P (a  x  b) 

f ( x)d ( x)
a
a
b
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Ejemplo
Sea X una variable aleatoria continua (vac), con función
de densidad de probabilidad “f”(fdp). Talque:
f(x)
=
{
0  x 1
kx
0
en otros casos
1.2.-
Determine el valor de k
Grafique la función f
3.-
Calcule P( x  1/2 1/3  x  2/3)
/
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Función de Distribución
Acumulativa
Def. : Sea X una variable aleatoria se define función
de distribución acumulativa o función de distribución como:
x
F(x) = P( X ≤ x ) =
{

p (k )
Si X v.a.d.
k
x

f ( x)d ( x)
Si X v.a.c.

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Valor Esperado de una Variable
Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor
esperado o Esperanza de X como:

E(x) =
{

xi p ( xi )
Si X v.a.d.
xf ( x ) d ( x )
Si X v.a.c.
i 1



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Varianza de una Variable Aleatoria
Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define
Varianza de X como:
V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2

Donde :
E(
x2
)=
{

2
xi p ( xi )
Si X v.a.d.
i 1


2
x f ( x)d ( x)
Si X v.a.c.

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Tarea Nº ___
•
•
•
•
•
Propiedades de la Esperanza
Propiedades de la Varianza
Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X)
Si X ~ P(), determine la E(X) y V(X)
Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2
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Ejemplo:
1.-
Sea X v.a.d. con función de probabilidad dada por:
xi
1
2
3
4
5
Total
0.32
0.08
0.15
1.00
p(xi)
0.2
0.25
F(xi)
xip(xi)
0.2
0.2
0.45 0.77 0.85 1.00 ////
0.50 0.96 0.32 0.75 2.73
E(X)
x2ip(xi)
0.2
1.00 2.88 1.28 3.75
E(X2)
Determine : a.b.c.d.-
Función de Distribución Acumulativa
Esperanza de X ( E(X) ) = 2.73
Varianza de X ( V(X) ) = E ( x2 ) – ( E (x) )2
Grafique F(X)
9.11
= 9.11 – (2.73)2 = 1.6571
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Gráfica de F(x)
F(x) =
F(x)
{
0
x 1
0 . 20
1 x  2
0 . 45
2  x  3
0 . 77
3 x  4
0 . 85
4  x  5
1 . 00
x  5
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
1
2
3
4
5
x
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2.-
Sea X v.a.c. con función de densidad de probabilidad
dada por .
2 x
f ( x)  
0
Determine :
a.b.c.-
0  x  1
en
otros
casos
Función de Distribución Acumulativa F(x)
Esperanza de X E(x)
Varianza de X
V(x)
30
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La función f(x) y F(x), están dadas por:
2 x
f ( x)  
0
0  x  1
en
otros
casos
x 0
0
 2
F (x)   x
1

0  x  1
x 1
F(x)
f(x)
2
1
0
1
0
1
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Distribución Normal
Sea X una v.a.c. si su fdp está dada por:

f ( x)  


1
2 
*e
(x )
2
2
2
  x
2
Entonces, diremos que X tiene una distribución
Normal con media  y varianza 2. Se denota:
X ~ N( , 2 )
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Características
• Tiene forma de campana ( por su descubridor
es también llamada campana de GAUSS)
• Es simétrica con respecto a su media ()
• Es asintótica al eje horizontal.
• A +/- tres desv. típicas de la media, se
encuentra prácticamente el 99.8% de su área
( +/- 3  )
-3
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
+3
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Teorema Central del Limite
• Sea X ~ N( , 2 ) entonces,
Z
(X  )

~ N(0 , 1 )
X
(X  )

Z

0
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Ejercicio
Supongamos que en un estadio lleno, el 40% de los
asistentes son mujeres. Una empresa comercial, realiza
para promocionar un nuevo producto, toma una
muestra de tamaño 20. Determine la probabilidad quer
la muestra contenga:
1.2.3.4.-
exactamente 11 mujeres.
a lo más 8 mujeres.
al menos 5 mujeres.
exactamente 9 hombres.
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Previo: Determine
• el experimento E Se elije al azar una persona
• el espacio muestral s: = { A , B }
• el suceso de interés A la persona es mujer
• la probabilidad de A p = P(A) = 0.40
• el espacio muestral S: ={A...A,.A..B,…..,B…B}
• la variable aleatorio X: Nº de mujeres seleccionadas
• el recorrido Rx : = {0,1,2,….,20}
Luego:
1.2.3.-
P(X = 11) =
P(X  8) =
P(X  8) =
P(X 11) – P(X 10) por tabla
0.596 directo por tabla
1 – P(X  7) = 1 – 0.416 = 0.584
36
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