El grafeno
algunos aspectos
R. Baquero
Departamento de Física
Cinvestav
The 2010 Nobel Prize in Physics has been awarded to
the two researchers who performed the first
experiments on graphene, a two-dimensional sheet of
carbon atoms. The award, given to University of
Manchester
Andre
Geim and
A pair of physicists
U.K. physicists
are awarded
the Konstantin
prize for
demonstrating
the material's
Novoselov,
recognizes
work thatunusual
beganproperties.
less than a
decade ago on a material that's since been usedto make
record-breaking transistors and stretchy electrodes.
Graphene Wins Nobel Prize
01/10/2015
Grafeno. RBP
2
factual summary
Andre Geim
- published over 150 peer-refereed
papers including
Research Professor
14 Nature and Science articles
more
than
20
Born:and
1958,
Sochi,
Russia
papers in PRL and NatureDirector
Mater, Physics
& Nano
of Manchester
(see current research & selected
publications)
Centre for
Mesoscience and
- more than 25 papers areNanotechnology
cited >100 times with 3
cited >1,000 times
- according to ScienceWatch,
is of
responsible
forMatter
Chair
Condensed
initiating two research fronts
(graphene & gecko
Physics
tape)
- also, notoriously ;-) known
levitating theUK
frog
U. for
of Manchester,
01/10/2015
Grafeno. RBP
3
UNA CURIOSIDAD INTERESANTE: GEIM HIZO LEVITAR
UNA RANITA EN UN CAMPO MAGNÉTICO DE 16 TELSAS
01/10/2015
Grafeno. RBP
4
Konstantin Novoselov
Born: 1974, Nizhny Tagil,
Russia
Affiliation at the time of
the award: University of
Manchester, Manchester,
United Kingdom
Prize motivation: "for
groundbreaking
experiments regarding the
two-dimensional material
graphene"
01/10/2015
Grafeno. RBP
5
El átomo de carbono
TODO ESTO ESTÁ BASADO EN
2S 2P
EL CARBONO
2
2
2 n2 el/capa
1S2
01/10/2015
Grafeno. RBP
6
Las funciones de onda tipo 2p difieren en
sus propiedades de las del tipo 2s. Las 2s
no dependen del ángulo, mientras que las
2p si. Hay tres funciones de onda tipo 2p,
2px , 2py , 2pz . Difieren en la parte angular
pero tienen la misma parte radial .La
funcion 2pz es, por ejemplo:
 ( r ,  ,  )  R ( r )Y ( ,  )
Donde:
01/10/2015
Grafeno. RBP
7
La parte radial (común) es
3
1  Z   Zr 
R (r ) 

 
e
3  2 a0   a0 
2

Zr
2 a0
Y la parte angular (pz) es
1
 3 2
Y ( ,  )  
 cos 
 4 
01/10/2015
Grafeno. RBP
8
La función angular que
representa a un orbital de tipo s
es independiente del ángulo
01/10/2015
Grafeno. RBP
9
Parte angular de la función de
onda de los orbitales p
01/10/2015
Grafeno. RBP
10
01/10/2015
Grafeno. RBP
11
R = pa i + qa j + ra k
k
j
i
a
electrones
En un modelo clásico, los
iones interactúan de
acuerdo a la Ley de Hooke
(resorte) y los electrones
(de valencia en el átomo)
o están libres o están
ligados formando los
enlaces.
R = pa i + qa j + ra k
k
j
i
a
Semi-conductor y
aislante
Los electrones se
encuentran
atrapados en los
enlaces
De amarre
(bonding)
Ejemplos de estados
electrónicos en el enlace
σ
Anti-enlace
(anti-bonding)
π
R = pa i + qa j + ra k
k
j
i
a
Metal
Los electrones están
“libres” dentro del
espacio de la red
¿CÓMO FUNCIONA TODO?
bcc
METAL
RED
UNA ESTRUCTURA DE BANDAS, SE CALCULA HACIENDO UNA HIPÓTESIS VÁLIDA
LOS ELECTRONES Y LA RED INTERCAMBIAN ENERGÍA Y MOMENTO EN PAQUETES
CERCA
DE LA FONONES
TEMPRATURA
, T=0K.ESSEUNA
SUPONE
QUE LOS ELECTRONES
LLAMADOS
. UN FONÓN
CUASI-PARTÍCULA
QUE TIENE LA SE
MUEVEN
ELMOMENTO
POTENCIAL
GENERADO
POR LOSENTRE
IONESDOS
ENESTADOS
SUS POSICIONES DE
ENERGÍAEN
Y EL
IGUAL
A LA DIFERENCIA
EQUILIBRIO
Y SE DESPRECIA LA INFLUENCIA DEL MOVIMIENTO DE ESTOS SOBRE
VIBRACIONALES.
LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS. ESTA APROXIMACIÓN, CONOCIDA CON EL
NOMBRE DE BORN-OPPENHEIMER, FUNCIONA BIEN INCLUSO A TEMPERATURA
AMBIENTE, POR LO GENERAL. HAY EXCEPCIONES.
ELECTRONES
FONÓN
ESTADOS VIBRACIONALES
17
LOS METALES se
caracterizan por tener
un “Mar de Fermi”. Se
trata de una
configuración
tridimensional que
permite situar y
contabilizar los
estados electróni-cos
de la banda de
conducción.
LOS ELECTRONES LIBRES +++
En un modelo clásico
de la energía de los
electrones:
E=P2/2m= 2 k2/2m,
kf
la configuración
referida es una esfera.
PRINCIPIO DE PAULI
En este modelo, la Superficie de Fermi es una esfera de radio:
kf=(2mEf)1/2/
donde Ef es la Energía de Fermi.
A T=0K la esfera está llena.
¿Qué es el Estado Sólido?
18
SISTEMAS CRISTALINOS Y
MOLÉCULAS QUE FORMA EL
CARBONO
01/10/2015
Grafeno. RBP
19
Estructura del diamante
EL DIAMANTE ES CONOCIDO POR SU DUREZA
01/10/2015
Grafeno. RBP
20
UVA Virtual Lab: Nanocarbon from
hybridization: a model that describes the
Graphene
to
Nanotubes
to
Buckyballs
changes in the atomic orbitals of an atom
when it forms a covalent compound.
http://www.virlab.virginia.edu/VL/Nanocarbon.htm/state/1
sp3
One of the four hybrid orbitals formed by hybridization of an s
orbital and three p orbitals.
01/10/2015
Grafeno. RBP
21
"Graphene is a single planar sheet of sp²-bonded carbon atoms
that are densely packed in a honeycomb crystal lattice. From a
physicist point of view, graphene is the basic structural element
for all other graphitic materials including graphite, carbon
nanotubes and fullerenes." (Wikipedia)
"Electrons in graphene, obeying a linear dispersion relation,
behave like massless relativistic particles. This results in the
observation of a number of very peculiar electronic properties from an anomalous quantum Hall effect to the absence of
localization - in this, the first two-dimensional material. It also
provides a bridge between condensed matter physics and
quantum electrodynamics, and opens new perspectives for
carbon-based electronics." (M.I. Katsnelson)
01/10/2015
Grafeno. RBP
23
1- RED DE BRAVAIS DEL GRAFENO
¿CÓMO LLEGO AQUÍ?
EL PANAL DE ABEJAS (GRAFENO)
NO ES UNA RED DE BRAVAIS
¿CÓMO LLEGO AQUÍ?
NO PUEDO DEFINIR
VECTORES
PRIMITIVOS QUE ME
CUBRAN TODOS LOS
PUNTOS DE LA RED
DEFINA VECTORES QUE PERMITAN REPRODUCIR TODOS LOS
PUNTOS DEL ESPACIO BIDIMENSIONAL FORMADO POR UN
PANAL DE ABEJAS.
24
EL PANAL DE ABEJAS NO ES UNA
RED DE BRAVAIS
1- RED DE BRAVAIS DEL GRAFENO
¿Qué es el Estado Sólido?
25
3- ESTRUCTURAS CRISTALINAS Y REDES CON BASE.
LOS VECTORES
PRIMITIVOS HACEN UN
ÁNGULO DE 60°
EL PANAL DE ABEJAS (EL GRAFENO)SI
ES UNA RED DE BRAVAIS CON UNA
BASE DE DOS ÁTOMOS DE CARBONO
26
Establecida la red de Bravais, la forma normal de
calcular una estructura de bandas de cualquier
sistema es definir la red recíproca . Esta se construye
en el espacio recíproco y nos permite definir el
momento cristalino, k, que es el número cuántico
que se conserva. Este nos permite caracterizar los
distintos estados que los electrones de conducción
(“libres”) pueden ocupar en un espacio periódico. El
momento, p, se conserva en el espacio libre real. El
momento cristalino se conserva en el espacio “libre”
con periodicidad dada, periodicidad impuesta por la
simetría de la red.
01/10/2015
Grafeno. RBP
27
CELDA DE WIGNER-SEITZ
La celda de Wigner-Seitz de
una red de Bravais cúbica
centrada (CC). La figura que
resulta es un octaedro
truncado. Las caras
hexagonales constituyen
planos bisectores de la
distancia entre el átomo
central y el átomo ubicado
sobre cada un de los vértices.
¿Qué es el Estado Sólido?
28
Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroO
1- Definición de Red Recíproca
Consideremos una Red de Bravais. Está compuesta por todos los puntos:
R 
na
i
i
i
donde los ai son los vectores primitivos de la Red de Bravais.
Consideremos también una onda plana de la forma exp(ik.r)
Para que la onda plana tenga la periodicidad de la Red de Bravais, es necesario:
e
i k .r
e
ik ( r  R )
(1)
Esta condición, en general, se cumple sólo para ciertos valores escogidos de k.
La serie de todos los vectores K que cumplen la condición (1) y que, por
consiguiente, dan a la onda plana la periodicidad de la Red de Bravais, se llama Red
Recíproca para esa Red de Bravais particular. Es decir,
e
iK R
e
iK x n1 a x
e
iK y n 2 a y
e
iK z n 3 a z
1
 K x a x  2 , K y a y  2 , K z a z  2
¿Qué es el Estado Sólido?
K i a j  2  ij
29
1- Definición y propiedades de la Red Recíproca
La relación
K i a j  2  ij
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
se cumple trivialmente si definimos K ( ≡b) así:
b 1  2
b 2  2
b 3  2
a2 x a3
a 1 (a 2 x a 3 )
a 3 x a1
a 1 (a 2 x a 3 )
a1 x a 2
a 1 (a 2 x a 3 )
La Red Recíproca es una Red de Bravais:
¿Qué es el Estado Sólido?
31
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
RED RECÍPROCA DE UNA RED CÚBICA SIMPLE
UNA CÚBICA SIMPLE
4
RED RECÍPROCA DE UNA CCC (fcc)
UNA CC de lado
RED RECÍPROCA DE UNA CC (bcc)
UNA CCC de lado
a
4
a
RED RECÍPROCA DE UNA RED EXAGONAL
¿Qué es el Estado Sólido?
UNA RED EXAGONAL
32
Introducción al Estado Sólido. R. Baquero
2- PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN
La celda de Wigner-Seitz de la Red Recíproca se conoce con el
nombre de Primera Zona de Brillouin y juega un papel muy
importante en la descripción de la dinámica de interna
(electrones y fonones, entre otras cosas) del cristal. El término
Primera Zona de Brillouin, se aplica a la celda en el espacio k
únicamente.
La RR de la CCC (fcc) es laCC (bcc).
La PZB de la CCC (fcc) es la celda de
Wigner-Seitz de la CC (bcc)
¿Qué es el Estado Sólido?
33
ES EN LA PRIMERA ZONA DE BRILLOUIIN DONDE BUSCAMSOS LA SOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN DE SHRODINGER. HAY MUCHOS MÉTODOS MUY BIEN TRABAJADOS HOY EN
DIA. EL RESUADO ES MAPA QUE NOS DICE PARA QUE VALORES DE K DENTRO DE LA
PZB EXISTEN ESTADOS ELECTRÓNICOS OCUPADOS (POR DEBAJO DEL NIVEL DE FERMI)
Y VACÍOS (POR ENCIMA, ESTADOS EXCITADOS).
WIEN-2K
ABINIT
HAMILT
YBCO7
TEORÍA DEL FUNCIONAL DE DENSIDAD
SIESTA
INTEGRALES DE
WEYLS
01/10/2015
Grafeno. RBP
34
H  

i A
B VECTORES
 c B  c A  c A  LOS
 HACEN UN
c
PRIMITIVOS
   i  a  i  i  ÁNGULO
ia 
 DE 60°
a  1, 2 ,3
B
A
ESTE HAMILTONIANO DESCRIBE EL SALTO DE UN
ELECTRÓN DESDE UN PUNTO DE LA RED A OTRO PUNTO
DE LA REDDE BRAVAIS
35
Continuum approximation to
graphene: Dirac-Weyl equation
To see how the Dirac-Weyl equation arises from
the particular symmetry and electron number of
graphene is not difficult. First consider a simple
tight-binding model for graphene
01/10/2015
Grafeno. RBP
36
H  

i A
 cB  cA  cA  cB 
   i  a  i  i  i  a 
a  1, 2 ,3
here the sum i is over the sublattice A, while the sum
a is over the 3 nearestneighbors to site i. This
Hamiltonian just describes the ’hopping’ of electrons
from sublattice A to B (and back), controlled by the
parameter γ. This model is not necessary to derive the
effective Dirac-Weyl equation (it can be done more
generally) but it makes the derivation very simple,
and is a very reasonable model for graphene in any
case.
01/10/2015
Grafeno. RBP
37
RE DE BRAVAIS
1
a 1  a (1, 0)
3
a 2  a( ,
)
2 2
VECTORES DE LA RED RECÍPROCA
(TAMBIEN HEXAGONAL)
O
a
b1 
2
2
a
(
3
3 1
2
, ) b2 
2 2
a
2
(0,1)
3
PRIMEROS VECINOSS
v1  a (0,
01/10/2015
1
3
)
v 2  a(
Grafeno. RBP
1
2
,
1
2 3
)
1
1
v3  a ( , 
)
2
2 38
3
PARA TOMAR EN CUENTA LA PERIODICIDAD, LA
FUNCIÓN DE ONDA TIENE QUE SER DEL TIPO BLOCH
|
k
s
1

2
 e c 
i k .r
s
i

|0 
i a
LOS ELEMENTOS DE MATRIZ DEL HAMILTONIANO SON

k
A
| H |
k
B
 

e
ik . v a
 f (k )
a  1, 2 ,3

01/10/2015
k
B
| H |
k
A
  f (k )
*
Grafeno. RBP
39
LOS ELEMENTOS DE MATRIZ DEL HAMILTONIANO SON

k
A
| H |
k
B
 

e
ik . v a
 f (k )
a  1, 2 ,3

k
B
| H |
k
A
  f (k )
*
LOS OTROS DOS ELEMENTOS DE MATRIZ SON IGUALE S Y
PUEDEN PONERSE COMO EL ORIGEN DE LA ENERGÍA

k
B
01/10/2015
| H |
k
B
 
Grafeno. RBP
k
A
| H |
k
A
 0
40
LA ECUACIÓN DE SHRÖDINGER QUEDA:
 0
  *
 f (k )
f (k )   | 

0   |
k
A
k
B
 |

  E (k ) 

 |
k
A
k
B



LOS EIGENVALORES DAN:
E (k )    | f (k ) |
01/10/2015
Grafeno. RBP
41
v1  a (0,


USANDO
e
ik . v a
 f (k )
a  1, 2 ,3
1
)
3
v 2  a(
1
2
,
1
2 3
)
1
1
v3  a ( , 
)
2
2 3
OBTENEMOS
 kx 3 
ky
| f ( k ) | 3  4 cos 
cos
 2 cos k y
 2 
2


01/10/2015
Grafeno. RBP
42
 kx
ky
3 
| f ( k ) | 3  4 c o s 
cos
 2 cos k y



2
2


b1 
2
a
2
3
01/10/2015
(
3 1
, )
2 2
b2 
2
a
2
3
(0,1)
Grafeno. RBP
2
a
1
43
E (k )    | f (k ) |
LINEAL EN
K Y EN K’
NIVEL DE FERMI
01/10/2015
Grafeno. RBP
44
CON EL FIN DE ESTUDIAR MEJOR EL EFECTO DE ESA LINEARIDAD
PODEMOS CONSTRUIR UN HAMILTONIANO QUE ES VÁLIDO
ÚNICAMENTE ES ESOS PUNTOS DE LA ZONA DE BRILOUIN (K Y k’)
HACEMOS UNA EXPANSIÓN DE F(k ) ALREDEDOR DEL PUNTO K:
f ( K  k )  f ( K )   k f ( k ') k '  K  k
k x  i 
LAS COORDENADAS DEL PUNTO K SON:
H
01/10/2015
K
0
 4

K 
,0
x 
 3a
0
3 


2  k x  ik y
Grafeno. RBP
k x  ik y 

0

45
POR CONSIGUIENTE LOS ESTADOS
K ENERGÍA CON
EXCITADOS DE BAJA
MOMENTO CRISTALINO
ALREDEDOR
DEL
0
F
PUNTO K, NO SE GUÍAN POR LA ECUACIÓN
DE SCHRÖDINGER SINO POR ESTA
ECUACIÓN QUE NORMALMENTE SE APLICA


(

,

)
x
y
A PARTÍCULAS COMO LOS NEUTRINOS, ES
DECIR, A PARTÍCULAS RELATIVISTAS DE
MASA CERO. LA ECUACIÓN DE DIRACECUACIÓN
DIRAC-WEYL
WEYL
SE OBTIENE DE
DE LA
ECUACIÓN DE
DIRAC PONIENDO LA MASA EN REPOSO
IGUAL A CERO.
H
01/10/2015
 v  .p
Grafeno. RBP
46
ESTE AMILTONIANO SE PUEDE TAMBIÉN EXPRESAR DE ESTA
FORMA
H
K
0
 0
 v F | k |  i
k
e

e
 i k


0 
E   vF | k |
 k (r ) 
K
1
2
e
i k .r
 e  i k / 2 
 i k / 2 
 e

 k (r ) 
K
ELECTRONES E>0
01/10/2015
1
e
2
i k .r
 e  i k / 2 
 i k / 2 
 e

AGUJEROS E<0
Grafeno. RBP
47
LA CHIRALIDAD ES UN BUEN NÚMERO CUÁNTICO PARA EL GRAFENO
Chirality (mathematics)
A figure is chiral if it is not identical to its
miror image, or more particularly if it cannot
be mapped to its mirror image by rotations
and translations alone.
Chirality in two dimensions
In two dimensions, every figure which possesses an
axis of symmetry is achiral (non-chiral), and it can be
shown that every bounded achiral figure must have an
axis of symmetry.
01/10/2015
Grafeno. RBP
48
LA CHIRALIDAD EN EL CASO DEL GRAFENO COMO
NÚMERO CUÁNTICO ES LA PROYECCIÓN DEL
MOMENTO EN LA DIRECCIÓN DEL SEUDO-ESPÍN:
 .p / | p |
LOS ELECTRONES TIENEN CHIRALIDAD
POSITIVA Y LOS HUECOS NEGATIVA
01/10/2015
Grafeno. RBP
49
“THE FACT THAT THE LOW ENERGY
EXCITATIONS ARE GOVERED BY SUCH
A EXTRANGE EQUATION IS CLEARLY
GOING TO MAKE THE PHYSICS OF
GRAPHENE VERY DIFFERENT FROM
THAT OF e.g. COPPER”
01/10/2015
Grafeno. RBP
50
ALGUNAS PROPIEDADES ENTRE LAS MÁS
SOBESALIENTES
1- EL PRIMER CRISTAL REALMENTE BI-DIMENSIONAL
2- EFECTO HALL ANÓMALO
3- UN SEMICONDUCTOR DE BRECHA CERO
4- SE COMPORTA COMO UNA PARTÍCULA RELATIVISTA E MASA CERO
5- AUSENCIA DE LOCALIZACIÓN
6- UN PUENTE REAL ENTRE EL ESTADO SÓLIDO Y LA ELECTRODINÁMICA
CUÁNTICA
01/10/2015
Grafeno. RBP
51
CONCLUSIÓN:
EL GRAFENO ES UN MATERIAL NOVEDOSO DESDE MUCHOS PUNTOS DE
VISTA QUE DEVELA UNA NUEVA FÍSICA EN EL ESTADO SÓLIDO QUE
REPRESENTA UN PUENTE MUY INTERESANTE DESDE EL PUNTO DE VISTA
TEÓRICO ENTRE EL ESTADO SÓLIDO Y LA ELECTRDINÁMICA CUÁNTICA.
SUS APLICACIONES TECNOLÓGICAS POSIBLES LO CONVIERTENEN EL
“MATERIAL DEL FUTURO”
HA UNA GRAN ACTIVIDAD EN ESTE CAMPO QUE TENDRÁ
CONSECUENCIAS EN LO TEÓRICO, LO EXPERIMENTAL Y LO APLICADO.
ES UN CAMPO QUE ESTARÁ DE MODA POR MUCHOS AÑOS.
01/10/2015
Grafeno. RBP
52
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El grafeno algunos aspectos