CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad (C.G) es el punto de aplicación
de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que
actúan sobre las distintas masas materiales de un
cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un
cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas
las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes
puntos materiales que constituyen el cuerpo.
Centro de masas y centro de gravedad
El centro de masas coincide sólo si el campo
gravitatorio es uniforme, es decir, viene dado en todos
los puntos del campo gravitatorio por un vector de
magnitud y dirección constante. En general para un
campo gravitatorio que decrece con la distancia, el
centro de gravedad está a una está más cerca del
centro de masas que crea el campo, que el centro de
gravedad del objeto. Sin embargo, para grandes
distancias, como es el caso típico la diferencia entre
ambas distancias es pequeña comparada con las
propias distancias.
Centroide y centro de masas
El centroide es un concepto definible en términos
estrictamente geométricos, mientras que los conceptos
de centro de masas y centro de gravedad son
conceptos físicos. El centroide coincide con el centro de
masa si la densidad másica del cuerpo es uniforme (de
hecho aunque la densidad no se distribuya
uniformemente el centroide y centro de masas
continuarán coincidiendo si la distribución presenta
simetría respecto al centroide).
Centroide y centro de gravedad
El centroide, el centro de masas y el centro de gravedad coinciden
para un cuerpo de densidad másica homogénea que está inmerso
en un campo gravitatorio uniform
Propiedades del centro de gravedad
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio
estable mientras la recta de acción de la fuerza de gravedad
resultante que pasa su centro de gravedad intersecte la base
de apoyo. Para objetos simplemente apoyados sobre una
base rígida dentro del campo gravitatorio terrestre (que en
primera aproximación puede considerarse constante para
objetos de sólo unos metros de longitud) dicho objeto será
estable si el centro de gravedad está situado sobre la vertical
de la base de apoyo.
Además si se desplaza el cuerpo de la posición de equilibrio
(caracterizada por el hecho de que la distancia vertical entre
el centro de gravedad y la base de apoyo es mínima),
siempre habrá un torque de restauración. No obstante,
cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo,
el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un
torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de
equilibrio.
Cálculo del centro de gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector
que cumple que:
Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que
el vector de campo gravitatorio
es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se
reduce a una equivalente a la definición del centro de masas.
Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya
distancia al objeto considerado sea muy grande comparado
con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el
centro de gravedad del objeto vienen dado por:
Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L
orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de gravedad
distan del centro de gravedad del planeta una distancia dCM,
el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia
del centro del planeta dada por:
Figura 1. Símbolos usados para
indicar la posición del "centro de
gravedad", "punto de equilibrio"
o de balanceo.
Figura 3. Posición del C.D.G.
según tipo de perfil
Figura 2
SEGUNDA PARTE: COMO LOCALIZARLO
Ya hemos visto en la figura 3 la situación, según tipo de perfil,
del c. de g.. Si tenemos un ALA RECTANGULAR, el ejemplo
más sencillo posible, vemos como la cuerda (distancia según el
eje longitudinal del avión entre el borde de ataque -el anteriory el de fuga -el posterior- del ala) es la misma desde la raíz al
borde marginal, así que medimos el 30 % ( si es el % que
corresponde a ese tipo de perfil) de esta cuerda a partir del
borde de ataque. Una vez localizado el punto se hace desde él
una perpendicular al eje longitudinal del avión y ahí estará
localizado el centro de gravedad (figura 4). A lo largo de esta
línea es donde colocaremos nuestros dedos para comprobar el
antes referido balance.
Figura 4
En el caso de un ALA TRAPEZOIDAL debemos hallar la Cuerda
Media (CM) también llamada Cuerda Media Aerodinámica (CMA).
En cuanto a la longitud sabemos de antemano que es la media
aritmética de la cuerda en la raíz de ala C-1 y la del extremo C-2
pero tenemos que localizarla geométricamente. Para ello
dibujamos a tamaño natural o a escala la planta alar y trazamos
una línea que una los dos puntos medios o centros geométricos
(cg) de las dos cuerdas extremas. Después prolongamos a partir
del borde de fuga, por ejemplo, la cuerda C-1 de la raíz en un valor
igual a C-2. Haremos lo mismo en el marginal donde añadimos a
C-2 una longitud igual a C-1 (figura 5). Unimos los dos extremos
de esta prolongaciones con una línea que va a cortar a la que unía
los dos cg y en esa intersección se halla la Cuerda Media o CM,
como veis paralela al eje longitudinal del avión. Sobre ella
medimos el % que corresponda al perfil y desde ahí trazamos una
perpendicular al eje longitudinal del avión lo que nos dará la
situación exacta del Centro de gravedad.
CALCULO DE LA POSICION DEL C.G
CALCULO DE LA POSICION DEL C.G
El centro de gravedad de un objeto es:
•el también llamado "cetro de masas" de un objeto.
•el punto donde el objeto mantiene el equilibrio si se le pone
en el filo de una navaja.
•el único punto donde los momentos de equilibrio estático
respecto de tres ejes mútuamente perpendiculares son todos
cero.
•el centroide del volumen del objeto, si el objeto es
homogéneo.
•el punto donde se concentra toda la masa del objeto al
realizar cálculos estáticos.
•el punto alrededor del cual el objeto gira en el espacio.
•el punto a través del cual se considera que actúa la fuerza
de la gravedad.
el punto donde se debe aplicar una fuerza externa para
producir traslación pura de un objeto en el espacio.
La localización del CG se expresa en unidades de longitud,
a lo largo de los tres ejes (X, Y, y Z). Estas son los tres
componentes del vector distancia desde el origen del
sistema de coordenadas hasta la posición del CG. El CG de
masa compuestas se calcula a partir de los momentos
tomados alrededor del origen. La dimensión fundamental de
los momentos es, típicamente, FUERZA por DISTANCIA; no
obstante, con el momento de masa pueden usarse unidades
de MASA por DISTANCIA.
Se pueden usar los momentos de volumen, en caso de
elementos homogéneos. Se debe tener cuidado en tomar los
momentos de los elementos expresados en unidades
compatibles. No obstante, esto no es muy útil para combinar
elementos de masa. Un técnica más útil es usar los
"momentos de offset". En este caso, el momento offset X,
seria MX=+3W. Este momento puede ser fácilmente sumado a
los momentos offset X de otros elementos de masa, la suma
total ser dividida por el peso total, y el resultado seria la
componente X de la posición del CG de la masa compuesta.
Análogamente, los momentos offset Y y Z (MY=-5W y
MZ=+7W), se pueden combinar con momentos offset Y y Z de
otros elementos para determinar las componentes Y y Z de la
posición del CG. Por desgracia, el término "momento offset X",
es frecuentemente sustituido por "momento en X". Esto no
tiene sentido matemático, pero como en el caso del término
"libra de masa", es "comprendido" por muchos ingenieros.
Las componentes de distancia de la posición del CG, pueden ser
positivas o negativas, y de hecho su signo depende de la
selección hecha de los ejes de referencia.
El CG de una forma homogénea, se calcula determinando
su centroide de volumen. En la vida real, la mayoría de los
objetos no son homogéneos, así que el CG debe ser
calculado sumando los momentos offset de cada uno de los
tres ejes. Estos procesos se describen en detalle en las
siguientes
secciones:
El centro de gravedad de un objeto puede situarse en el
aire. Por ejemplo, el centro de gravedad de un segmento de
tubería está en la línea central que pasa por su centro
geométrico, incluso no habiendo metal en el centro de la
tubería (figura 6).
El CG compuesto de un objeto, puede ser calculado si
se conocen los CGs de cada componente.
CG a lo largo de un sólo eje
Considerese la barra de metal redondeada con dos pesos cilíndricos,
tal como se muestra más abajo. Por simetría, el CG del objeto está
sobre su línea central (ya que el CG de una masa homogénea está en
su centroide de volumen). La posición del CG a lo largo de la longitud,
se puede determinar sumando los momentos presentes alrededor del
eje de referencia, como se muestra en la parte inferior de la figura
(D=0).
Supongamos que los pesos son: Wa = 12.250 lb, Wb = 4.613 lb, Wc =
2.553 lb.
Ma=Wa × D a = 12.250 lbs × 6.319 in = 77.408 lb in
Mb=Wb × D b = 4.613 lbs × 2.445 in = 11.279 lb in
Mc=Wc × D c = 2.553 lbs × 8.666 in = 22.124 lb in
Peso total = 19.416 lb
Momento total = 110.811 lb in
Posición CG = Momento total ÷ Peso total = 110.811 ÷ 19.416 = 5.707
in
Nótese que los elementos no tienen por qué ser del mismo diámetro
para ser simétricos a los largo. De hecho, los elementos se pueden
superponer (como al deslizar una tubería dentro de otra).
CG de cuerpos 3D asimétricos
El centro de gravedad de un cuerpo asimétrico, se puede calcular
de la misma forma que en el ejemplo anterior. Cada eje debe ser
considerado por separado (Figura 8).
Considérese un cilindro con rectángulos acoplados. El CG de
cada componente es conocido por simetría, cálculo o medición.
Se asigna un marco de referencia conveniente, es este caso uno
tal que los CGs de cada componente caiga sobre los ejes, y los
momentos offset se suman a lo largo de cada eje.
La dimensiones mostradas, son del CG de cada componente
respecto del origen.
Mx = Ma + Mb + Mc = .4 × 1.75 + 0 + 0 = .70 lb-in
CGx = .70 lb-in ÷ 4.8 lb = .146 in
My = Ma + Mb + Mc = 0 + 0 + 1.8 × -1.25 = -2.25 lb-in
CGy = -2.25 lb-in ÷ 4.8 lb = -.469 in
Mz = Ma + Mb + Mc = .4 × 4.25 +2.6 × 2.5 + 1.8 × .5 = .70 lb-in
CGx = 9.1 lb-in ÷ 4.8 lb = 1.896 in
C.G de una forma compleja, similar a una forma
estándard
Considérese el cono hueco mostrado más abajo. Por
simetría, el CG está sobre la línea central. La distancia del
CG puede ser calculada usando herramientas de cálculo.
No obstante, el CG de un cono sólido viene dado en
cualquier manual (p. ej. el SAWE Handbook). Si se
observa el hecho de que un cono hueco se puede crear al
extraer un cono pequeño de uno más grande, se puede
calcular el CG restando el momento del cono pequeño, al
del cono grande. Los momentos de volumen se toman
alrededor del centro de la base para encontrar el centroide
del cono hueco. Cuando el cono se combina con otros
elementos para encontrar el CG global, su peso actual y la
posición del centroide calculado, se combinan con los de
los otros elementos.
PI=3.141592654
A1 = H1÷ 4 = 5
A2 = H2÷ 4 = 4.55
V1 = (PI×1² × H1)÷ 3 = (PI × 4² × 20)÷ 3 = 334.9
V2 = (PI×2² × H2)÷ 3 = (PI × 3.6² × 18)÷ 3 = 244.2
Vnet = V1-V2 = 90.8 in³
CG=(A1V1- A2V2)÷ V net
CG=((5)×(335.1)-(4.5)×(244.3))÷ 90.8
C.G
de
una
forma
compleja
inusual
Tarde o temprano, uno se encuentra una forma que no está
catalogada en los manuales y que no puede crearse a partir de
formas conocidas. Entonces, será necesario recurrir al cálculo
para encontrar su CG. El concepto básico del cálculo, es el
mismo que en los ejemplos previos, excepto que los momentos
sumados son los correspondientes a porciones infinitesimales del
objeto, en lugar se los momentos de objetos discretos más
pequeños. El truco para simplificar este proceso, consiste en
escoger la forma infinitesimal correcta, de manera que la
integración tripe se pueda evitar. Nuestro elemento diferencial, no
debe ser un pequeño cubo, a menos que no haya ningún tipo de
simetría. Generalmente, se puede usar una barra rectangular que
cubre la longitud completa del objeto, o un disco delgado o anillos
cuyo
diámetro
es
función
de
su
posición.
Para ilustrar la cálculo del CG, utilizaremos es mismo cono hueco
del
apartado
anterior.
Posición del centroide
desde el vértice = Mt ÷
Vt = 1240.0 ÷ 90.8
=13.65 ino 20 - 13.65
= 6.35 in desde la
base
C.G de un vehículo de reentrada
Cualquier aplicación real, como localizar el CG de un
vehículo de reentrada, combina las técnicas descritas
previamente. Hace años, este tipo de cálculos se hacían a
mano. Más tarde, se realizaron programas de
computadora para manejar vehículos comunes. Ahora, la
tendencia es utilizar una hoja de cálculo en un ordenador
personal. Este tipo de programa tan versátil, permite al
ingeniero personalizar su solución, utilizando el ordenador
en su propio despacho, sin estar dependiendo de un
programador o de los problemas de mantenimiento de los
mainframes.
Confirmando los cálculos con mediciones físicas
El instrumento utilizado para medir CGs de proporcionar dos
funcionalidades importantes:
1.El instrumento debe estar diseñado de tal forma que se
posible localizar con precisión la posición de la objeto bajo
prueba (Unit Under Test, UUT), respecto de la máquina.
Esto suele significar que la mesa de prueba del instrumento,
debe girar, permitiendo que la UUT se pueda mover. La
precisión de la medición del CG depende completamente de
las superficies de referencia de la UUT y de su posición
relativa al instrumento (de hecho, este es el factor que limita
la precisión).
2.El instrumento debe tener la suficiente sensibilidad para
detectar pequeños cambios en el momento estático. Por
ejemplo, si la UUT pesa 1000 lb y se desea una precisión de
0.001 in en la medida del CG, la sensibilidad del instrumento
debe ser, al menos de 1 lb in.
Hay varios métodos que se pueden usar para medir el CG. Se
listan a continuación, por orden de preferencia:
1.EL MEJOR METODO. Colocar la UUT en una mesa giratoria
con pivote, y medir el momento de desequilibrio alrededor del
pivote. Esto permite medir las coordenadas X e Y del C.G a la
vez. Existen en el mercado sistemas computerizados que
utilizan esta técnica (como las familias de instrumentos CG600
y KSR de Space Electronics).
2.UN BUEN METODO. Colocar la UUT en una máquina
equilibradora, y medir la fuerza centrífuga debida al
desplazamiento del CG respecto del eje de rotación. Este
método es sensible a pequeños desplazamientos del CG, pero
es impracticable para objetos grandes, y tiene una precisión
limitada si el producto de inercia es grande.
3.UN BUEN METODO. Colocar la UUT en tres células de
carga y calcular el CG a partir de la diferencia de fuerzas. Este
método no permite determinar con precisión la posición de la
UUT respecto de la máquina. La técnica tradicional, utilizaba
tres células de carga idénticas, equidistantes del CG y tenia
una baja sensibilidad inherente, debida a que el CG se calcula
a partir de pequeñas diferencias entre dos números grandes.
Una reciente modificación de este método, utilizando
transductores de fuerza de alta resolución y nueva geometría,
tiene una sensibilidad mucho más alta, y es una buena
elección para aplicaciones de producción. Instalaciones
dedicadas, pueden determinar la posición de la UUT. Una de
sus ventajas es que este método permite medir el CG y el peso
simultáneamente, y es el método más rápido. También es,
posiblemente, el único método practicable para objetos muy
grandes.
Los dos últimos métodos no se consideran industrialmente
practicables.
1.METODO DE EQUILIBRADO DE LA HOJA DE LA
NAVAJA. Posicionar y desplazar la UUT sobre el filo de
una navaja hasta que se equilibre. Este método tiene una
sensibilidad razonable par objetos largos y finos, pero no
permite determinar con precisión el CG relativo a la
máquina la instalación es generalmente inestable...
2.METODOS TEORICOS DESCRITOS EN LIBROS DE
TEXTO. Colgar el objeto de un pivote o cable flexible y medir
el ángulo con que cuelga el objeto. Este método es posible
en laboratorios de Física, pero no en aplicaciones
industriales.
Conversión de coordenadas cartesianas a
polares
Cuando se calcula, los datos del CG están
expresados en coordenadas cartesianas. A
menudo, es útil convertirlos a coordenadas
polares. Muchos ordenadores y calculadoras
científicas, hacen esto automáticamente. No
obstante, si no, se puede usar el siguiente
método:
Magnitud -- Dos ejes
M = SQR(X² + Y²) donde "SQR" significa raíz
cuadrada
Angulo
A = arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y >= 0 (1º cuadrante)
A = 180° - arcTAN (Y/X) si X < 0 e Y >= 0 (2º
cuadrante)
A = 180° + arcTAN (Y/X) si X < 0 e Y < 0 (3º
cuadrante)
A = 360° - arcTAN (Y/X) si X >= 0 e Y < 0 (4º
cuadrante)
Conversión de coordenadas polares a cartesianas
Una vez los datos han sido convertidos a forma polar, a
veces es necesario convertirlos de nuevo a forma
cartesiana, utilizando un nuevo sistema de referencia.
Esto puede ocurrir si se quiere ajustar el offset del CG de
un vehículo de reentrada, que fue equilibrado en su línea
central. En este caso, las posiciones de los pesos de
corrección, puede no caer sobre los ejes de referencia.
Si no se dispone de calculadora, se pueden usar las
siguientes fórmulas:
X1 = M cos (A1)
Y1 = M sin (A1)
Donde X1 e Y1 son los nuevos ejes y
A1 es el ángulo entre el momento
vector de desequilibro y el eje X1.
Corrección del desequilibrio estático
El satélite mostrado, tiene un desequilibrio estático de X = -4.65 lb in
e Y = +12.32 lb in. Es necesario añadir pesos al vehículo para que
este desequilibrio se reduzca a cero. Por desgracia, los únicos
lugares donde estos pesos se pueden añadir, son a 33º y 255º. El
radio del peso de corrección a 33º es 8.25 in y a 255º es 7.60 in.
¿Qué pesos se deben añadir a cada posición para compensar el
desequilibrio?
Si los pesos se pudiesen añadir a 0º y 270º, se necesitarían
4.65 lb in a 0º para compensar las -4.65 lb in de desequilibrio en el
eje X, y 12.32 lb in a 270º para compensar las 12.32 lb in de
desequilibrio en el eje Y. No obstante, estas posiciones no están
disponibles. Esta es la situación general en el equilibrado
aeroespacial. El siguiente ejemplo presenta el método utilizado para
determinar los nuevos pesos en posiciones permitidas:
Primero se calcula la magnitud y el ángulo polares del momento
resultante, después se calculan las coordenadas cartesianas de los
momentos de corrección. Dividimos los momentos de corrección por
sus rádios para obtener lo pesos de corrección.
Ecuaciones generales de corrección
Sum [C sin Ac = M sin (180 - A)]
Sum [C cos Ac = M cos (180 - A)]
donde:
C = Momentos de corrección
Ac = Ángulos de corrección permitidos
M = Momento de desequilibrio estático
A = Angulo del momento de desequilibrio
Nótese que estos cálculos en que interviene el desequilibrio
estático, conciernen al peso más bien al peso que a la
masa. En el ejemplo anterior, la figura no mostraba a qué
altura debían añadirse los pesos. En general, los pesos
deben ser añadidos a una altura lo más cercana posible a
la del CG del vehículo, para que los pesos no produzcan
desequilibrio por producto de inercia.
Calculando los pesos de corrección
M = SQR (MX²+My ²) = 13.17 lb in
Los instrumentos de cálculo del CG, disponen de
rutinas software que permiten especificar las
posiciones disponibles para los pesos de
corrección. El ordenador indica al operario cuanto
peso añadir, y en qué posición.
Efectos del offset del CG durante el vuelo
Si el CG de un vehículo aeroespacial giratorio no
está en su centro geométrico (generalmente es
también el centro de resistencia al volar a través
de la atmósfera), entonces el vehículo tiene
tendencia a girar sobre su CG. El vehículo
puede también inclinarse de manera que el eje
principal se alinee con el eje de rotación (esto se
discute en detalle en la sección dedicada al
producto de inercia). Esto resulta en una
alteración de las características de fricción y
arrastre del vehículo de reentrada, cuando este
entra en la atmósfera.
Calculando los pesos de corrección
M = SQR (Mx² + My²) = 13.17 lb in
A = arcTAN (12.32 ÷ -4.65) = 110.7 °
Para encontrar los momentos de corrección C1 y C2 a 33° y 255° :
Cx = C1 cos 33 + C2 cos 255 = 4.65
Cy = C1 sin 33 + C2 sin 255 = -12.32
eq. (1): 0.84 C1 - 0.26 C2 = 4.65
eq. (2): 0.54 C1 - 0.97 C2 = -12.32
Multiplicar ambos lados de la eq. (2) por : - (0.84 ÷ 0.54)
y sumar a la eq. (1)
0 × C1 + 1.25 × C2 = 23.81
C2 = 19.05 lb in
C1 = (4.65 + .26×2) ÷ 0.84
C1 = 11.43 lb in
Pesos a añadir:
W1 = 11.43 lb in ÷ 8.25 in = 1.39 lb
W2 = 19.05 lb in ÷ 7.60 in = 2.52 lb
Combinar los datos de CG de
subestructuras
Consideremos el caso de un cohete de tres
etapas. Los CGs de las etapas se han
calculado de forma que estén en la línea
central. Después de la construcción, se ha
medido el CG de cada sección, obteniendo:
Se presentan dos vistas del cohete. La
planta muestra los ejes X e Y; el alzado, el
eje Z.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
X
Y
Z
W
+0.0004"
-0.0007"
-0.0012"
-0.012"
+0.012"
+0.012"
-27.436"
+32.771"
+12.115"
TOTAL
.
.
.
.
Las coordenadas X e Y se miden desde la línea central de la
sección; la coordenada Z de las etapas 1 y 3, se mide desde su
intersección, mientras la coordenada Z de la tercera etapa se mide
desde la intersección de las etapas 2 y 3. Para calcular la
coordenada Z del CG, primero debemos trasladar la coordenada
de la etapa 3, a la misma referencia que las etapas 1 y 2. Como la
longitud de la etapa 2 es 51.125 in, la coordenada Z es 12.115 +
51.125 = 63.240 in. Si las tres etapas estaban perfectamente
alineadas en el ensamblado, entonces, el CG combinado de todo
el cohete, se puede calcular sumando los momentos X, Y y Z
alrededor del origen:
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Moment
o total
Moment
o/306 lb
X
+ in.
in.
in.
Y
in.
+ in.
+ in.
Z
in.
+ in.
+ in.
in.
in.
+ in.
.
.
+.
Si las tres etapas se ensamblan con un error de alineado,
entonces:
1.Se selecciona una de las etapas como referencia. Para este
ejemplo, escogemos la etapa 2. Las coordenadas del CG para
esta etapa permanecerán sin cambios.
2.Se recalculan las coordenadas del CG para las etapas 1 y 3,
para reflejar el error de alineado. Si las etapas no se ensamblan
correctamente (p.ej. hay un espacio de 0.006 in entre las etapas 2
y 3), entonces la dimensión Z = 63.240, se convierte en 63.246. Si
el eje X se desplaza hacia un lado en la primera etapa 0.003 in,
entonces la dimensión X = -0.004 in de la primera etapa, se
convierte en -0.001 in, etc. Si las etapas están inclinadas unas
respecto a las otras, el offset debido a la inclinación, se debe
determinar a la altura del CG de la etapa. Por ejemplo, si la etapa
3 está inclinada de forma que el error en el eje Y con Z = 24.5 in
es 0.020, entonces, la corrección del eje Z de la etapa 3 es:
0.020 x (12.115 ÷ 24.500) = 0.00989 in
El nuevo valor de Y para la etapa 3 será:
Y = 0.012 + 0.00989 = 0.0219 in
1.Una vez la tabla de coordenadas de los CG de las etapas
1 y 3 se ha revisado, el cálculo se realiza de forma idéntica
a la del ejemplo con un alineado perfecto.
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