Capítulo 4
Modelo de Redes
Objetivos del Capítulo



Conceptos y definiciones de redes.
Importancia de los modelos de redes
Modelos de programación lineal, representación en
redes y soluciones usando el computador para:
* Modelos de transporte.
* Modelos de capacidad de transporte
*
*
*
*
Modelos de asignación
Modelo del vendedor viajero
Modelos de la ruta mas corta
Modelos de la rama mas corta
Un problema de redes es aquel que puede
representarse por:
Nodos
Arcos
10
Funciones en los arcos
4.1 Introducción

La importancia de los modelos de redes:
* Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través
de modelos redes
* El resultado de un problema de redes garantiza una solución
entera, dada su estructura matemática. No se necesitan
restricciones adicionales para obtener este tipo de solución.
* Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños
algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su
estructura matemática.

Terminología de Redes
* Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse
desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los
conecta. La siguiente notación es usada:
Xij= cantidad de flujo
Uij= cota mínima de flujo que se debe transportar
Lij= cota maxíma de flujo que se puede transportar.
* Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede
transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la
flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en
ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).
* Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si
existe un arco que une el nodo j con el nodo i.

Rutas/Conexión entre nodos
*Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de
nodos adyacentes
* Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.

Ciclos / Arboles /Arboles expandidos
* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por
un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.
* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.
*Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de
la red (contiene n-1 arcos).
4.2 Problemas de transporte
Un problema de transporte surge cuando se
necesita un modelo costo-efectividad que permita
transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a
un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas
restricciones en la cantidad que se puede
transportar.1

Definición del problema
* Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene
una capacidad de producción Si
*Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj
*Objetivo:
Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino
cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.
Farmacéutica Carlton




La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros
suministros médicos.
Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit,
Greensboro.
Tiene cuatro centros de distribución en: Boston,
Atlanta, St Louis.
La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de
sus productos de la manera más económica posible.

Datos
Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.
Desde
Cleveland
Detroit
Greensboro
Demanda

Boston
$35
37
40
1100
Richmond
30
40
15
400
Hacia
Atlanta
40
42
20
750
St. Louis
32
25
28
750
Supuestos
* El costo de transporte por unidad es constante
* Todos los transportes ocurren simultáneamente.
* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de
origen y el de destino
* La oferta total es igual a la demanda total.
Oferta
1200
1000
800
Origenes
RED QUE REPRESENTA
EL PROBLEMA
Destinos
D1=1100
Boston
Cleveland
S1=1200
Richmond
D2=400
Detroit
S2=1000
Atlanta
D3=750
Greensboro
S3= 800
St.Louis
D4=750

Modelo matemático
* La estructura del modelo es la siguiente:
Minimizar <Costo total de transporte>
sujeto a :
cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica
cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la
distribuidora.
* Variables de decisión:
Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la
distribuidora j
donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)
j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)
Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200
de la Oferta
OfertaRestricciones
de Detroit X21+X22+X23+X24
= 1000
Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800
Boston
D1=1100
X11
Cleveland
S1=1200
X12
X13
X21
X31
Richmond
X14
X22
Detroit
S2=1000
D2=400
X32
X23
X24
Atlanta
X33
St.Louis
Greensboro
S3= 800
D3=750
X34
D4=750

El modelo matemático completo
Restriccione de la oferta:
X11+ X12+ X13+ X14
1200
1000
800
X21+ X22+ X23+ X24
X31+ X32+ X33+ X34
Restricciones de la demanda:
X11+
X21+
X12+
X22+
X13+
X14+
X31
X32
X23+
X33
X24+
Todos los Xij mayores que cero
X34
=
=
= 1000
400
= 750
= 750
=
=

Solución optima obtenida a través de Excel
FARMACUETICA CARLTON
COSTOS UNITARIOS
BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS
CLEVELAND
$
35,00 $
30,00 $
40,00 $
32,00
DETROIT
$
37,00 $
40,00 $
42,00 $
25,00
GREENSBORO $
40,00 $
15,00 $
20,00 $
28,00
DEMANDAS
1100
400
750
750
ALTERNATIVAS DE TRANSPORTE
BOSTON RICHMOND ATLANTA ST.LOUIS
CLEVELAND
850
350
0
0
DETROIT
250
0
0
750
GREENSBORO
0
50
750
0
TOTAL
1100
400
OFERTAS
1200
1000
800
750
TOTAL
1200
1000
800
750
COSTO TOTAL =
84000
Análisis de Sensibilidad por WINQSB
Si utilizamos esta ruta, el costo total
aumentara en $5 por unidad
transportada.
Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la
distribuidora.
Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible
en la planta.

Interpretación de los resultados del análisis de
sensibilidad.
* Reducción de Costos:
- La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad
entrega la ruta más económicamente atractiva.
- Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi
en el costo que ello significa, por cada carga transportada ,
el costo total aumentara en una cantidad igual a la
reducción del costo hecha.
* Precios Sombra:
- Para las plantas el precio sombra de transporte
corresponde al costo de cada unidad disponible en la
planta.
- Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte
corresponde al costo de cada unidad extra demandada por
la distribuidora.
Compañía de ski Montpelier
Usando un modelo de transporte para un
itinerario de producción
* Montpelier planea su producción de ski para los meses de
julio, agosto y septiembre.
* La capacidad de producción y el costo de producción unitario
puede varia de un mes a otro.
* La compañía puede destinar tiempo de producción adicional
para la fabricación de skis.
* El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda
proyectada y un trimestre del nivel de inventario.
* La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el
costo del trimestre.

Datos:
* Inventario inicial = 200 pares
* Nivel de inventario requerido = 1200 pares
* Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal)
200 pares (sobretiempo)
* La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski
* El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares
de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)
Meses
Julio
Agosto
Septiembre
Demanda
Esperada
400
600
1000
Capacidad de Producción Producción
Producción Tiempo Normal Sobretiempo
1000
25
30
800
26
32
400
29
37



Análisis de la demanada
* Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares
en inventario
* Demanda neta de agosto = 600
* Análisis
Demandade
neta
septiembre
= 1000 + 1200 = 2200 pares
losencostos
unitarios
demanda esperada
inventario req.
Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] +
[costo unitario
de lamacenamiento por mes ][número de
Análisis
de la oferta
* La capacidad
de producción corresponde a la oferta
meses
en inventario]
* Existen dos tipos de “oferta”
Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y
1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción)
vendida
en septiembre
25+ (3%)(25)(2 meses) =
2.- Oferta
producida en cuesta=
sobretiempo.
$26.50
Producción
Mes/periodo
1000
800
Julio
S/T
Agst.
T/N
25
25.75
26.50
0
30
30.90
31.80 +M
0
26
26.78
400
Agst.
S/T
Mes
Ventas
Julio
+M
+M
32.96
200
Sept.
T/N
Sept.
S/T
0
0
Agst..
600
Sept.
2200
Exceso
300
+M
0
29
400
+M
+M
32
200
37
0
Demanda
Capacidad de Producción
500
July
Julio
R/T
T/N
Representación de la Red
Producción Julio: tiempo normal
Destino: Demanda para Julio
Costo Unitario= $25 (producción)
Producción Agosto:Sobretiempo
Destino: Demanda de Septiembre
32+(.03)(32)=$32.96
Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento

Resumen de la solución óptima.
* En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en
sobretiempo.
Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio
* En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en
sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares
* En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con
1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden
distribuir:
(1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles
para ser transportados
a Ski Chalet.
Inventario + Producción - Demanda
4.3 Problemas de Asignación

Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i
que realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la
asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le
corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación
sea la óptima posible.
Electrónica Ballston

Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5
líneas de producción que necesitan ser
inspeccionadas.

El tiempo para realizar una buena inspección de un
área de pende de la línea de producción y del área de
inspección.

La gerencia desea asignar diferentes áreas de
inspección a inspectores de productos tal que el
tiempo total utilizado sea mínimo.

Datos
* Tiempo de inspección en minutos para la línea de
ensamble de cada área de inspección.
Linea
Ensamble
1
2
3
4
5
A
10
11
13
14
19
B
4
7
8
16
17
Area de Inspección
C
6
7
12
13
11
D
10
9
14
17
20
E
12
14
15
17
19
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
Línea de ensamble
S1=1
1
Área de Inspección
A D1=1
S2=1
2
B
D2=1
S3=1
3
C D3=1
S4=1
4
D
D4=1
S5=1
5
E
D5=1

Supuestos restricciones
* El número de trabajadores es igual al número de empleos.
* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es
asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo
trabajador.
* Para un problema desbalanceado se debe agregar un
trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que
trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan
más trabajadores que trabajos), quedando así el problema
balanceado.
Solución mediante el método
Húngaro

Problema:
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias
que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado
refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el
trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la
complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente
tabla:
Capítulos
Secretaría
13
14
15
16
Juana
96
99
105 108
María
116
109
107
96
Jackeline
120
102
113 111
Edith
114
105
118 115

Restricciones del Método
* Solo problemas de minimización.
* Número de personas a asignar m es igual al número de
lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignación por persona y una persona por asignación

Matriz de Costos
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
96
99
116
109
120
102
114
105
15
16
105 108
107
96
113 111
118 115

Restar el Menor valor de cada fila
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith

13
0
20
18
9
Capítulos
14
15
3
9
13
11
0
11
0
13
16
12
0
9
10
Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anterior
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
13
0
20
18
9
Capítulos
14
15
3
0
13
2
0
2
0
4
16
12
0
9
10

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith

13
0
20
18
9
Capítulos
14
15
3
0
13
2
0
2
0
4
16
12
0
9
10
Si el número de líneas es igual al número de filas se
esta en la solución óptima, sino identificar el menor
valor no rayado restarselo a los demás números no
rayados y sumarlo en las intersecciones.
Pare este caso corresponde al valor 2
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith

13
0
18
16
7
Capítulos
14
15
5
0
13
0
0
0
0
2
16
14
0
9
10
Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana
María
Jackeline
Edith
Cap. 13
Cap. 16
Cap. 15
Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410

Casos especiales
* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en
particular
* Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un
trabajo.
* Un problema de maximización.
4.4 Problema del vendedor viajero
Definición
del problema
 Se trata de un tour es un recorrido que
comienza en
una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo)
de
una cierta
red, exactamente una vez y volviendo
– Existen
m nodos
al punto de partida.

– Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).
– objetivo
El objetivo
encontrarelelviaje,
ciclo ya
quesea
minimizeel
costo
El
eses
minimizar
desde los
total al
los nodos
exactamente una vez.
puntos
devisitar
vista todos
de tiempo
y distancia.
-

Importancia
 - Complejidad
Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema
de
vendedor
Escribir
el viajero
modelo
matemático y
resolverlo resulta muchas veces incómodo,
- Ejemplo
ya que* un
problema de 20 ciudades
Rutas a seguir por buses escolares
requiere
de 500,000derestricciones.
* Distribución
bombas militares
- El problema tiene importancia teórica porque este representa
una clase de problemas llamados NP-completos.
AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA

Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales
de la AGE, partiendo de la oficina principal y
volviendo a la misma, la cual esta ubicada en
Northridge, Southern California.

Datos
Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra
H
F
r
o
m
Of. Princ
Of. 1
Of. 2
Of. 3
Of. 4
30
45
65
80
Hacia la oficina
1
30
25
50
50
2
45
25
40
40
3
65
50
40
35
4
80
50
40
35
Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE
2
40
3
25
35
50
40
50
1
4
45
65
30
80
Of. Princ

Solución
- Identificación de los posibles ciclos.
* Existen (m-1)1 ciclos posibles
* Solo problemas pequeños pueden ser resuletos.
- Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la
técnica Branch and Bound.
* Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos
en forma eficiente por este método.
EL PROBLEMA AGE - Identificación de los
posibles ciclos
Ciclo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
H-O1-O2-O3-O4-H
H-O1-O2-O4-O3-H
H-O1-O3-O2-O3-H
H-O1-O3-O4-O2-H
H-O1-O4-O2-O3-H
H-O1-O4-O3-O2-H
H-O2-O3-O1-O4-H
H-O2-O1-O3-O4-H
H-O2-O4-O1-O3-H
H-O2-O1-O4-O3-H
H-O3-O1-O2-O4-H
H-O3-O1-O2-O4-H
Costo Total
210
195
240
200
225
200
265
235
250
220
260
260
Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB
Solución de WINQSB -Una combinación de
problema de asignación y la técnica
Branch and Bound
2
25
40
3
50
1
40
50
30
45
35
4
65
80
Of. Princ
4.5 Problemas de la Ruta más corta

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o
costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el
destino o nodo terminal.

Definición del Problema
- Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en
el nodo final n.
- Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias
mayores que cero, dij
- Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el
nodo 1 con el nodo n.
Lineas Fairway Van

Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso
para la siguiente red de carreteras.
1
180
Seattle
497
3
432
Portland
5
Sac.
599
691
Boise
420
4
138
Reno
6
345
Bakersfield
114
13
Los Angeles
621
Denver 9
Las Vegas
11
108
155
Barstow
14
452
Kingman
469
15
207
Albuque.
Phoenix
386
425
12
403
16
17
8
102
432
118
San Diego
440
7
526
280
Cheyenne
Salt Lake City
291
10
Butte
2
Tucson
18
314
19
El Paso

Solución - Analogía de un problema de programación
lineal
- Variables de decisión
Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une
la ciudad i con la ciudad j.
0 En cualquier otro caso
Objetivo = Minimizar S dijXij
Sujeto a las siguientes restricciones
1
180
Seattle
497
3
432
Portland
Butte
599
2
Boise
4
345
Salt Lake City
7
[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1
X12 + X13 + X14 = 1
De una forma similar:
[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1
X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1
Restricciones mayores que cero
[El número de carreteras para entrar a la cuidad] =
[El número de carreteras para salir de la ciudad].
Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):
X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.
Solución Optima por WINQSB

Solución-Analogía con un problema de redes
El algoritmo de Dijkstra’s:
-Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a los otros
nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto
al nodo de inicio.
- Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo de
inicio a todos los nodos de la red.
Una representación del algoritmo de Dijkstra’s
+ 420
SLC.=
SLC
599
BUT.
BUT
691
+
CHY.
=
345 =
+ SLC
SLC.
SLC
497
SEA.
BOI
BOI
BOI.
S eattle
1
497
180
3
599
2
691
B oise
420
432
P ortlan d
138
4
345
R en o
POR.
POR
180
180
S ac.
440
7
8
6
102
432
621
291
10
B ak ersfield
D en ver 9
… Y de esta
manera
K in gm an
B arstow
hasta cubrir 15toda la red..12
L as V egas
11
280
114
108
452
155
469
207
+ 602 =
SACSAC.
C h eyen e
S alt L ak e C ity
526
5
+ 432 =
BOIBOI
B u tte
14
13
A lb u q u e.
P h eon ix
L os A n geles
386
S an D iego
403
16
118
17
425
18
T u cson
19
314
E l P aso
4.6 Arbol de expansión mínima

Este problema surge cuando todos los nodos de una
red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.

El árbol de expansión mínima es apropiado para
problemas en los cuales la reundancia es expansiva,
o el flujo a lo largo de los arcos se considera
instantáneo.
EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO




La ciudad de Vancouver esta planificando el
desarrollo de una nueva línea en sistemas de
tránsito.
El sistema debe unir 8 residencias y centros
comerciales.
El distrito metropolitano de transito necesita
seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos
los centros a un mínimo costo.
La red seleccionada debe permitir:
- Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.
- Mínimo costo posible por línea.
RED QUE
REPRESENTA
EL ARBOL
EXPANDIDO.
Zona Norte
3
34
Universidad
50
5
Distrito
Comercial 39
4
Zona Oeste
45
1
8
35
Zona 2
Centro
41
7
6
Zona Sur
Shopping
Center
Zona Este

Solución - Analogía con un problema de redes
- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento
muy fácil (“trivial”).
- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.
- Algoritmo:
* Comience seleccionando el arco de menor longitud.
* En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor
longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la
precaución de no formar ningún loop.
* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están
conectados.

Solución mediante el computador
-
Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los
arcos y la descripción de la red.
Solución óptima mediante WINQSB
RED QU E
REPRESENTA LA
SOLUCIÖN ÖPTIMA
3
Zona Norte
34
Zona Oeste
Universidad
50
5
Distrito
Comercial 39
4
45
Loop
1
8
35
Zona 2
Centror
41
6
Costo Total = $236 milliones
7
Zona Sur
Shopping
Center
Zona Este
4.7 Problema del flujo máximo




Este modelo se utiliza para reducir los
embotellamientos entre ciertos puntos de partida y
destino en una red.
Existe un flujo que viaja desde un único lugar de
origen hacia un único lugar destino a través de arcos
que conectan nodos intermedios
Cada arco tiene una capacidad que no puede ser
excedida
La capacidad no debe ser necesariamente la misma
para cada dirección del arco.

Definición del Problema
- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos
emanan.
- Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los
flujos de la red son depositados.
- Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el
flujo que entra es igual al flujo que sale.
- La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la
capacidad Cji para la dirección opuesta.
El objetivo es encontrar la máxima
cantidad de flujo que salga del nodo
1 al nodo n sin exceder la capacidad
de los arcos.
COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA





Química unida produce pesticidas y otros productos
de control agrícola.
El veneno químico necesario para la producción es
depositado en grandes tambores.
Una red de tubos y válvulas regula el flujo del
químico de los tambores a las diferentes áreas de
producción.
El departamento de seguridad debe diseñar un
procedimiento que vacíe los tambores de la forma
más rápida posible dentro de los tubos del área de
depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.
El procedimiento debe determinar:
- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse
- Estimar el tiempo total de descarga.
No se permite flujo de 4 a 2.
 Datos
0
El máximo flujo de 2 a 4 es 8
2
0
4
8
7
3
6
1
10
0
1
Tambores
con químico
2
6
4
10
1
0
3
0
3
0
2
7
0
4
2
12
0
8
5
Tubo de Seg.

Solución - Analogía de un problema de programación
lineal
– Variables de decisión
Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través
del arco que conecta ambos nodos.
– Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1
Max X12 + X13
– Restricciones
 [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra
en el nodo 7]
X12 +X13 = X47 + X57 + X67
 [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que
sale]
Nodo 2: X12 + X32
= X23 +X24 + X26
Nodo 3:X13 +X23 + 63
= X32 +X35 + X36
Nodo 4:X24 +X64
= X46 + X47
Nodo 5:X35 +X65
= X56 + X57
Nodo 6:X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67


X35
X63

EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos
X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32
15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8;
4; X64 3; X65 2; X67 2;
Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0

Se debe tener presente que este problema es
relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida
rápidamente usando el modelo de programación lineal.

Sin embargo para problemas de mayor envergadura se
aconseja usar el modelo de redes.
1;

Solución-Analogía con un problema de redes
- La idea básica es la siguiente:
* Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.
* Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad
de uno de los arcos de la ruta.
* Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de
manera tal que todos los arcos tengan una capacidad
residual positiva.
*Designar un nodo origen y un nodo de flotación
* Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en
ambos sentidos)
* A continuación se muestra la solución obtenida usando
WINQSB.
El máximo flujo obtenido por WINQSB
8
4
7
2
7
7
Flujo Máximo= 17
1
6
Tambores
con químico 10
2
7
2
3
8
8
5
Tubo de Seg.
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Cap4