Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Ejercicio Mason
México D.F. a 28 de Agosto de 2006
Diagrama de flujo de señales
Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones dinámicas
simultaneas. Es una red en la que nodos están conectado mediante
ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia.
La ventaja del diagrama de flujo de señales de Mason es la
disponibilidad de una fórmula que proporciona la relación entre
variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción.
Definiciones:
Nodo. Es un punto que representa una variable o señal.
Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos.
Transmitancia. Es la ganancia de un rama.
Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama saliente.
Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas entrantes.
Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como salientes.
Camino. Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la
flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el
camino es abierto. Si el camino termina en el mismo nodo desde el que
comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es camino
cerrado o lazo.
Diagrama de flujo de señales
Definiciones:
Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en común.
Camino directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de
Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.
Nodos mixtos
Camino directo
x1
x 4 Nodo de entrada
(fuente)
d
a
Nodo de entrada
(fuente)
x2
Camino directo
x3
b
c
x3
Nodo de salida
(sumidero)
Lazo
Figura 3. Diagrama de flujo de señal.
Diagrama de flujo de señales
Fórmula de ganancia de Mason
P 
1

 Pk  k
k
donde
P es la ganancia global.
Pk es la ganancia del k-ésimo camino directo.
 es el determinante del diagrama
 = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales)+(suma de los
productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de
dos lazos que no se tocan)-(suma de los productos de ganancias de
todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan)+...
 1   L n   L m L q   L r L s Lt  
n
m ,q
 k Es el cofactor del k-ésimo camino directo. Se obtiene a partir de 
Eliminando los lazos que tocan el camino Pk
Diagrama de flujo de señales
Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado
utilizando la fórmula de ganancia de Mason .
H 2 (s)
R (s)
+
-
+
+
G1 ( s )
+
-
H1(s)
Solución:
La ganancia del camino directo es
P1  G1 ( s ) G 2 ( s ) G 2 ( s )
C (s)
G2 (s)
G3 ( s )
Diagrama de flujo de señales
Los lazos individuales son tres:
L1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H 1 ( s )
L2   G 2 ( s )G 3 ( s ) H 2 ( s )
L 3   G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )
El determinante es
  1  ( L1  L 2  L3 )
  1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H 1 ( s )  G 2 ( s ) G 3 ( s ) H 2 ( s )  G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )
por lo tanto
C (s)
R (s)
C (s)
R (s)

 P 
P1  1

G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )
1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H 1 ( s )  G 2 ( s ) G 3 ( s ) H 2 ( s )  G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s )
Desarrollo en fracciones parciales
Se utilizan fracciones parciales para descomponer alguna función F ( s )
complicada en fracciones más simples con transformadas inversa más sencillas
Considere una función
F (s) 
B (s)
A(s)

K ( s  z1 )( s  z 2 )  ( s  z m )
( s  p1 )( s  p 2 )  ( s  p n )
(F1)
donde z1 , z 2 ,  , z m , p1 , p 2 ,  , p n , son cantidades reales o complejas. Si F ( s )
tiene solo polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones
simples:
B (s)
a1
a2
an
F (s) 


 
(F2)
A(s)
( s  pi )
(s  p2 )
(s  pn )
donde a1 , a 2 ,  , a n son constantes. Cada elemento a k ( k  1, 2 ,  n ) se
llama residuo del polo s   p k . El valor de cada a k se obtiene multiplicando
ambos lados de la ecuación (F2) por ( s  p k ) y evaluar para s   p k
Desarrollo en fracciones parciales
B (s) 

ak  ( s  pk )
A ( s )  s   p

k
Una vez obtenido cada elemento a k la transformada inversa de cada
fracción, se obtiene de
L
1 

 pkt

a
e
k


s

p

k 
ak
y la función en el tiempo queda:
1
f (t )  L
 F ( s )   a1e  p t
1
 a2e
 p 2t
  ane
 pnt
, t  0
Desarrollo en fracciones parciales
Ejemplo 1: Hallar la transformada inversa de Laplace de
2
s 2
F (s) 
s ( s  1)( s  2 )
Solución
2
F (s) 
s 2
s ( s  1)( s  2 )

a1

s
a2
s 1

a3
s2
donde a1 , a 2 , a 3 se obtienen de la siguiente manera
2


s 1
a1   s
1

 s ( s  1)( s  2 )  s  0
2


s 1
a 2   ( s  1)
 3

s ( s  1)( s  2 ) 

s  1
Diagrama de flujo de señales
Ejemplo 2: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado
utilizando la fórmula de ganancia de Mason .
o
x1
x1
1
x4
d
x5
j
a
e
c
x7
k
i
m
l
b
f
x2
g
n
b
x3
h
x8
Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo 2.
x6
Diagrama de flujo de señales
Caminos directos:
o
x1
1
x1
o
d
a
x7
k
i
x2
x7
x6
f
x2
x3
x1
1
x1
d
a
x4
e
c
x7
j
n
m
l
b
x3
g
x6
h
x8
x3
n
m
x6
h
x5
k
i
f
x2
x3
x8
o
x5
l
g
h
x8
j
k
i
b
x3
g
x4
e
c
l
b
d
a
n
m
f
x1
1
x5
x1
e
c
j
x4
x3
Diagrama de flujo de señales
Caminos directos:
o
x1
1
x1
d
a
x4
e
c
x7
j
k
i
f
n
m
l
b
x2
x5
x3
g
x6
o
h
x8
x3
x1
1
x1
d
a
x4
e
c
x7
j
k
i
f
n
m
l
b
x2
x5
x3
g
x6
h
x8
x3
Diagrama de flujo de señales
Lazos:
o
x1
1
x1
o
d
a
x4
x7
k
i
f
x2
e
c
x7
x6
x2
x1
n
m
x3
x6
h
x3
d
a
x4
e
c
x8
j
x5
k
i
f
m
x3
g
x3
x8
x3
x1
d
a
x4
e
c
x7
x6
h
x1
1
n
l
b
x2
k
i
o
x1
x7
x5
l
g
o
1
j
f
h
x8
x4
b
x3
g
d
a
n
m
l
b
x1
1
x5
x1
e
c
j
j
k
i
f
n
m
l
b
x2
x5
x3
g
x6
h
x8
x3
Diagrama de flujo de señales
Lazos:
o
1
x1
o
x1
d
a
x4
e
c
x7
j
x5
k
i
f
x1
a
x2
d
j
x1
a
x4
e
c
x7
x6
h
x8
x5
k
i
f
m
x3
g
x3
x8
x3
x1
d
a
x4
e
c
x7
x6
h
x1
1
n
l
b
x2
x3
o
x1
1
n
l
g
o
x5
m
f
h
x3
j
k
i
b
x6
x8
x4
e
x7
x3
g
d
c
l
b
x2
n
m
x1
1
j
k
i
f
n
m
l
b
x2
x5
x3
g
x6
h
x8
x3
Diagrama de flujo de señales
Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:
o
1
x1
o
x1
d
a
x4
e
c
x7
f
x2
x8
a
x4
x6
f
x2
k
i
f
b
x3
g
x8
x3
x4
e
c
x3
j
f
x2
x5
k
i
n
m
l
b
x6
h
x8
d
x7
l
x6
h
a
n
m
n
m
l
g
x1
1
x5
x3
o
x5
j
k
i
b
x1
e
c
x2
x7
j
x4
e
c
x3
d
d
a
h
x1
x7
x1
l
g
x1
1
n
m
x3
o
1
x5
k
i
b
x1
j
x3
g
x6
h
x8
x3
Diagrama de flujo de señales
o
o
x1
1
x1
d
a
x4
x7
k
i
x2
x3
g
o
x1
x1
d
a
x4
e
c
x7
j
k
i
f
n
m
l
b
x2
x5
x3
g
x6
h
x8
x3
x5
n
m
l
x3
g
x6
h
x8
x3
Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan:
1
f
x2
x6
j
k
i
b
h
x8
x4
e
c
x7
l
b
d
a
n
m
f
x1
1
x5
x1
e
c
j
x3
Diagrama de flujo de señales
Resumen de ecuaciones:
P1  e
L1  abc
L5  adihgb
P2  cf
L2  o
L 6  adjkhgb
P3  di
P4  djk
L3  aehgb
L 7  fgh
L 4  mn
L8  adjmlhgb
P5  djml
  1  ( L1  L 2  L3  L 4  L5  L 6  L 7  L8 )  ( L1 L 4  L 2 L 4  L 2 L 7  L3 L 4
L 4 L5  L 4 L 7 )  ( L 2 L 4 L 7 )
 1  1  L4
 2  1  L4
 3  1  L4
4  1
5  1
P 
1

 Pk  k
k
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