Análisis de Carteras de
Inversión
Lic. Gabriel de la Fuente
Conceptos matemáticos y
estadísticos.
Rendimiento o retorno esperado de un
activo cualquiera “i”:
El rendimiento o retorno de una inversión se mide
como
la
ganancia
o
pérdida
de
valor
experimentada
en
un
periodo
de
tiempo
determinado. El retorno esperado tiene que ver
con las expectativas que se tiene hacia el futuro,
tomando en consideración los distintos escenarios
de la economía.
E(Ri)=Ri =
R
it
. pit
Donde E(Ri) representa la media o valor esperado
del activo "i"; Rit es el rendimiento del activo "i"
cuando se produce el evento "t" y pit indica la
probabilidad ocurrencia del rendimiento Rit.
Varianza de un activo cualquiera “i”:
La varianza tiene que ver con la incertidumbre que
tendrá el retorno de una inversión a lo largo del tiempo
2 (Ri) = i2 =  ( Rit - Ri )2. pit
Donde i2 es la varianza de un activo cualquiera "i";
E(Ri) representa la media o valor esperado del activo
"i"; Rit es el rendimiento del activo "i" cuando se
produce el evento "t" y pit indica la probabilidad
ocurrencia del rendimiento Rit .
Coeficiente de variación de un activo “i”
Mide la dispersión de una variable aleatoria relativa a
su valor esperado:
V(Ri) = Vi = i
Ri
Veamos un ejemplo para aclarar estos conceptos:
Estado de la
Economía
Excelente
Bueno
Malo

Probabilidad
de ocurrencia
0,3
0,6
0,1
Rendimiento
del activo 2 (R2t)
80
60
50
Calculamos primero el rendimiento esperado de cada activo:
Para el activo 1: E(R1)=  R1t . p1t
Para el activo 2: E(R2)=  R2t . p2t

Rendimiento
del activo 1 (R1t)
90
75
40
E(R1) = 90 x 0,3 + 75 x 0,6 + 40 x 0,1  E(R1) = 76
E(R2) = 80 x 0,3 + 60 x 0,6 + 50 x 0,1  E(R2)= 65
Ahora calculamos la Varianza de cada activo:
Para el activo 1: 1 2 =  ( R1t - R1 )2. P1t
1 2 = (90-76)2 x 0,3 + (75-76)2 x 0,6 + (40-76)2 x 0,1  1 2 = 189
Para el activo 2: 2 2 =  ( R2t - R2 )2. P2t
2 2 = (80-65)2 x 0,3 + (60-65)2 x 0,6 + (50-65)2 x 0,1  2 2 = 105
Covarianza entre dos activos “i” y “j”:
La covarianza nos indica la manera en que dos activos
están correlacionados, es decir nos indica como será
el comportamiento de un activo i ante una variación
de otro activo j.
Cov (Ri ; Rj ) =
ij =

( Rit - Ri ). ( Rjt - Rj ) . pt
Donde:
Cov (Ri ; Rj ) = Cov (Rj ; Ri ), es decir que
ij = ji
Cov (Ri ; Ri ) = ii = i2 , es decir que la covarianza de
un activo consigo mismo nos das la varianza de dicho
activo.
Coeficiente de correlación Lineal
 (Ri ; Rj ) = ij = Cov (Ri ; Rj ) = ij
i j
i j
Esta medida de correlación tiene algunas propiedades
que la hacen preferida al covarianza. Por ejemplo toma
valores comprendidos entre 1 y -1 exclusivamente.
Si ij = -1 se dice que los rendimientos de los dos
activos tienen una correlación perfecta negativa y
significa que cuando uno de ellos crece, el otro decrece
en la misma proporción.
Si ij = 1 se tiene una correlación perfecta positiva entre
los rendimientos de los activos, lo que significa que al
crecer uno de ellos también lo hace el otro en la misma
proporción.
Si ij = 0 los rendimientos se dicen incorrelacionados,
esto significa que no existe ninguna relación entre los
mismos.
Cartera de activos
Rendimiento esperado de una cartera
o portafolio:
E(RP) =

E(Ri). Xi
Donde E(RP) es el rendimiento esperado de la cartera
p, E(Ri) rendimiento esperado del activo “i”, y Xi
representa la proporción de activo “i” invertido en la
cartera p. No está demás aclarar que  Xi = 1, es
decir que la suma de las proporciones deben ser
igual al 100% de la inversión.
De la fórmula anterior de puede deducir que, el
rendimiento esperado de una cartera depende,
exclusivamente, de los rendimientos esperados de
los títulos que la componen y de su proporción
dentro del portafolio.
Varianza de una cartera o portafolio:
 P2 =
X1 , X2 , …… , Xn x
12 12 …… 1n
21 22 …… 2n
:
:
:
m1 m2 ……m2
x
X1
X2
:
Xm
vc
VC:Matriz de Varianza y de Covarianzas: Esta matriz tiene
dos características especiales: Es cuadrada (ij =
es simétrica.
ji)
y
Observando la fórmula se puede deducir que la magnitud
de la varianza de una cartera está determinada por el
valor de las varianzas y las covarianzas de los activos
que la componen y su proporción dentro del portafolio.
Harry Markowitz y el nacimiento
de la teoría de las carteras
Supuestos preestablecidos:




El análisis se realiza sobre un solo tipo de activo:
las acciones.
Las tasa de rentabilidad históricas de casi todas
las acciones, cuando se miden en intervalos lo
suficientemente pequeños de tiempo, se ajustan
mucho a una distribución Normal. Aquí es
importante recalcar que una distribución Normal
puede definirse completamente con tan solo dos
parámetros; la media o rentabilidad esperada y
la varianza (o la desviación típica).
Si un inversor se encuentra ante dos activos que
tienen igual riesgo (o varianza) elegirá aquel que
tenga mayor rentabilidad esperada.
Si un inversor tiene que optar entre dos activos
que tienen igual rendimiento esperado elegirá
aquel que tenga menor riesgo.
δ=0: Carteras conformada por “n”
acciones
RP
Curba AB:
Frontera Eficiente
Conjunto
factible
A
Curba AC:
Frontera Ineficiente
B
C
Curba ABC:
Conjunto de mínimo
riesgo o Varianza
 (%)
P
Características Principales:




Los inversores que solamente desean maximizar
el rendimiento esperado optarán invariablemente
por formar una cartera con un solo titulo, que
será precisamente aquel que posea el máximo
rendimiento esperado. (punto B)
Aquellos inversores que procuren minimizar el
riesgo, independientemente del rendimiento
esperado,
necesariamente
diversificarán
su
inversión construyendo una cartera con una
participación de todos los títulos. (punto A).
Las carteras que se ubican sobre la curva AB son
eficientes, dado que dominan, en términos de
riesgo y rendimiento, a todas las demás.
Si el inversor considera simultáneamente el
riesgo y el rendimiento, entonces no queda
caracterizado un portafolio optimo entre todos
los eficientes, a menos que se especifiquen las
preferencias subjetivas del inversor a través de
su mapa de indiferencia.
δ=1: Carteras conformada por “n” acciones
RP
B
C
 (%)
P
Características Principales:
• Todas las carteras son Eficientes
• La diversificación no va a tener ningún efecto, es decir no
va a eliminar ningún riesgo, dado que todos los activos se
comportaran como si fueran uno solo
δ=-1: Carteras conformada por “n” acciones
RP
B
A
C
 (%)
P
Características Principales:
El punto A, que representa el portafolio de mínimo riesgo,
tiene riesgo igual a cero.

La diversificación puede eliminar todo el riesgo de una
cartera.

Carteras conformada por “n” acciones
RP
B

= -1


= 0,5
=0

C
=1
 (%)
P
Riesgo sistemático y no sistemático
Riesgo Total = Riesgo Sistemático + Riesgo No Sistemático.


El riesgo No Sistemático: es aquella parte del riesgo total que
no se relaciona en sus movimientos con el portafolio del
mercado y, por tanto, puede ser eliminado por medio de la
diversificación.
El riesgo Sistemático: que afecta, de alguna manera, a todos
los activos del mercado. El riesgo Sistemático sería,
entonces, aquella parte del riesgo total de una inversión que
se mueve en relación directa con el portafolio del Mercado y,
por consiguiente, no puede ser eliminado por medio de la
diversificación.

P
Riesgo
Sistemático
ij =
Covarianza media
de la cartera
Riesgo No
Sistemático
Número de
Títulos
Teoría de la decisión
La teoría de la decisión estudia el comportamiento de
los inversionistas considerando sus actitudes frente al
riesgo.
RP
I
Se identifican tres posibles
II
actitudes, a saber:



III
R
Propensos al riesgo.
Indiferentes al riesgo.
Adversos al riesgo.
Aumento de
Utilidad
Q
P
P(%)
• El inversionista con aversión al riesgo le será indiferente seleccionar el punto P,
con rendimiento bajo y riesgo nulo, que los puntos Q o R con rendimientos y riesgos
más altos.
• Si el Decididor fuera indiferente al riesgo, su familia de curvas de indiferencia
serían como las líneas horizontales del gráfico anterior, siendo preferido el punto R
al P, y al Q, por tener un rendimiento más alto, cualquiera fuera el riesgo.
• Para obtener una utilidad o rendimiento esperado mayor, el decididor se moverá
a otra curva de indiferencia más alta. En el gráfico la curva I le brinda al
inversionista mayor utilidad que la curva II , y esta, que la III.
Selección de la cartera optima
de inversión.
Estamos en condiciones de estudiar el comportamiento del decididor y el
objeto de elección en forma conjunta. Esto significa que, habiendo un
conjunto de oportunidades de inversión y un mapa de indiferencia, el
decididor elegirá aquella cartera que surja de la intersección de la frontera
eficiente y su curvas de indiferencias.
RP
RP
RP
P”
P'
P
P
P
P
Los portafolios óptimos son P, P', y P" para tres inversores distintos
(varían sus mapas de indiferencia) que se enfrentan a la misma
frontera eficiente.
La línea de mercado de capitales (LMC)
En equilibrio todos los inversionistas con aversión al riesgo
elegirán aquella alternativa que les brinde una combinación
optima entre inversiones libres de riesgos (Rf) y una cartera
formada con activos con riesgo (M).
Cartera optima o cartera de mercado (M) : es el punto de
tangencia con el conjunto de carteras eficientes, es decir que,
ofrece la mayor prima por riesgo esperada por unidad de
desviación típica.
De la unión de estos dos puntos, o sea la tasa libre de riesgos Rf y
la cartera M, se obtiene lo que se denomina la Línea de Mercado de
Capitales (LMC).
Rp = ( R M - Rf ) x  p + Rf
RP
M
Prestatario
Prestamista
Rf
M
P
Características Principales:
4 5 6
RP
a
1 2 3
c
Rf
M
b
d
P(%)
Si el inversionista A (curvas 1 a 3), solo pudiera invertir en activos con
riesgo, tendría a "d" como la mejor cartera de inversión disponible. Pero,
dada la existencia de un mercado de capitales que le permite acceder a
activos libres de riesgo, le generará mayor utilidad la combinación "c" sobre
la LMC, alcanzando así una cartera "más eficiente".
Si otro inversionista más arriesgado B (curvas 4 a 6), coloca sus fondos
solamente en activos con riesgo, será la cartera "b" la que le brindará mayor
utilidad. Pero si pudiera tomar prestado a la tasa libre de riesgo Rf e invertirlo
en la cartera con riesgo M alcanzará, en "a", una cartera "más eficiente".
Teorema de Separación



La decisión de inversión está separada de la decisión de Financiamiento.
Por esta razón es que el teorema plantea dos etapas bien diferenciadas a
la hora de armar la cartera "más eficiente":
Etapa
Objetiva:
Encontrar
el
portafolio
optimo
(M)
formado
exclusivamente por activos con riesgo.
Etapa Subjetiva: Determinar la mezcla optima entre la cartera M y los
activos libres de riesgos.
RP
RP
D'
D
M
M
P
P
Aquel inversor menos arriesgado repartirá su capital colocando una parte de este
a tasa cierta mientras que el resto lo invertirá en el portafolio de riesgo M (Punto
D). Por otra parte, un inversor más arriesgado preferirá una combinación como la
D', tomando prestado a la tasa cierta para palanquear su inversión en el
portafolio de riesgo M.
Modelo de Índice Único (MIU)
Las acciones se mueven juntas, no independientemente. El modelo de
índice único se sustenta en la idea básica que el precio de los activos que
cotizan en un mercado, en promedio, crecen o decrecen junto con algún
indicador económico. En efecto, el modelo supone que la razón por la
cual los rendimientos de distintos activos están correlacionados es que
existe una respuesta común a cambios en un indicador económico.
La implementación de este modelo no especifica ningún indicador
económico en especial, sin embargo, generalmente, se utiliza algún
índice representativo del mercado.
Supuestos del MIU
1) El rendimiento de un activo cualquiera queda determinado por la
siguiente ecuación:
Ri = i + i . Rm + ei
Donde Ri representa la tasa de rendimiento del activo i ; i es la
componente del rendimiento del activo i que es independiente del
rendimiento del indicador económico; i es una medida de sensibilidad de
respuesta del rendimiento del activo i ante las variaciones en el
rendimiento del indicador económico (volveremos sobre este tema más
adelante); Rm es la tasa de rendimiento del indicador económico y ei
representa el desvío aleatorio entre el rendimiento real del activo i y su
valor teórico.
Supuestos del MIU (Continuación)
2) La variable aleatoria “e” tiene esperanza matemática igual a
cero:
E(ei) = 0
3) Las variables aleatorias Rm y ei están incorrelacionadas:
Cov ( Rm ; ei ) = 0
4) Los errores aleatorios correspondientes a los distintos activos
están incorrelacionados entre sí:
Cov (ei ; ej ) = 0
con ij
Los supuestos E(ei) = 0 y Cov ( Rm ; ei ) = 0 se verifican fácilmente
toda vez que ellos son inherentes al modelo matemático de
regresión mínimo-cuadrático. El supuesto fundamental es el último
(Cov (ei ; ej ) = 0 ), ya que permite que el MIU se distinga como un
modelo simplificador. Este supuesto, a diferencia de los anteriores,
no se verifica para todos los casos.
Calculo de los parámetros i y i
Los parámetros i y i se pueden obtener de dos maneras:
I) A partir de datos históricos de los rendimientos. En este caso se
utiliza, generalmente, la técnica de mínimos cuadráticos.
II) A partir de datos futuros estimados de los rendimientos.
Beta como medida del riesgo
i = im
2m

Donde im es la covarianza entre la
rentabilidad de la acción "i" y la
rentabilidad del mercado y 2m es la
varianza de la rentabilidad de mercado.
Si i=1, significa que el rendimiento del activo "i", o la cartera
"p", tiene el mismo riesgo que el rendimiento del Mercado.

Si
i<1, quiere decir que el rendimiento del activo "i", o la
cartera "p", tiene menor riesgo que el rendimiento del Mercado.
A este tipo de activos, o carteras, se los denomina defensivos

Si
i>1, quiere decir que el rendimiento del activo "i", o la
cartera "p", tiene mayor riesgo que el rendimiento del Mercado.
A este tipo de activos, o carteras, se los denomina agresivos.
Beta como medida del riesgo (conti.)
El riesgo de una cartera bien diversificada depende del riesgo
de mercado de los activos incluidos en ella. A su ves, el riesgo
de mercado de un activo es medido por su beta. Por lo tanto
podemos inferir que:
n
 p =   i . Xi
i=1
n
con
 Xi = 1
i=1
De la formula anterior surge que i representa la contribución
marginal de un activo "i" al riesgo de la cartera bien
diversificada
Diferencia entre el desvío estándar y
el Beta de una acción


El desvío, o la varianza, de un activo mide su riesgo
total (riesgo sistemático + riesgo no sistemático).
El Beta de un activo tan solo mide su riesgo
sistemático, que es aquel riesgo que nos interesa
analizar dado que el no sistemático pude eliminarse
"gratuitamente" por medio de la diversificación.
La línea de mercado de valores (LMV)
Los economistas, William Sharpe, John Lintner y Jack Trynor
desarrollaron este modelo de índice único según el cual en un
mercado eficiente, la rentabilidad esperada de un activo, deducido
según el precio al que se negocia, es una función lineal y positiva de
la covarianza entre su rentabilidad y la de la algún indicador
económico de mercado.
Lo que el CAPM muestra es que el rendimiento esperado de un
activo en particular depende de dos aspectos fundamentales:
1.- Valor del dinero a través del tiempo en forma pura. Se
mide por medio de la tasa libre de riesgo (Rf). Esta tasa simboliza la
recompensa por el hecho de esperar el dinero sin tomar ningún
riesgo.
2.- Recompensa por correr riesgos. Se mide por:
a).- la prima de riesgo de mercado (Rm - Rf): este componente
representa la recompensa que el mercado ofrece por el hecho de
correr una cantidad promedio de riesgo sistemático, además del
hecho de esperar.
b).- beta (): esta es la cantidad de riesgo sistemático que se
encuentra presente en un activo en particular, respecto de la que
existe en un activo promedio.
De lo anterior surge que:
R - Rf
=  (Rm - Rf )
R =  (Rm - Rf ) + Rf
A esta relación del modelo de fijación de precios se la
conoce como Línea de Mercado de Valores (LMV).
Ri
Todas las inversiones
deben situarse a lo
largo de la Línea de
Mercado de Valores
Línea de Mercado
De Valores (LMV)
Rm
Cartera de
Mercado
Rf
Letras del
Tesoro

Diferencias entre la Línea de Mercado de
Capital (LMC) y la Línea de Mercado de
Valores (LMV).
• El riesgo que considera la LMC es la desviación estándar, que es una
medida de riesgo total (riesgo sistemático + riesgo no sistemático),
mientras que el de la LMV es Beta, que solo mide el riesgo sistemático.
• Sobre la LMC estarán solamente las carteras bien diversificadas, en
tanto que sobre la LMV estarán todos los valores y carteras, eficientes o
no.
LMC
RP
LMV
Rf
P
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Análisis de Carteras de Inversión