Introducción a los ángulos
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
Un ángulo consta de dos rayos que tienen el
mismo punto inicial.
Al punto inicial que comparten se le
llama vértice.
VéRTICE
Un ángulo puede ser positivo o
negativo según la dirección en que da
origen el ángulo
ANGULO POSITIVO
Lado terminal
ANGULO NEGATIVO
Lado inicial
Lado inicial
Lado terminal
Medimos los ángulos en grados o en radianes

¿Cuánto mide
el ángulo  si
sabemos que
una
revolución
es dada por
3600 ?
Medimos los ángulos en grados o en radianes
¿Cuánto mide el ángulo 

si sabemos que una
revolución es dada
por 3600 ?
Observa que  es una octava parte del circulo por
tanto
=360/8 = 45 grados
Si dividimos el circulo en 360 partes iguales cada una
de esas partes equivale a un grado.
La medida de
ese ángulo
es un grado
ANGULO CENTRAL
Un ángulo central es un ángulo
cuyo vértice es el centro de un
circulo con radio r.

La circunferencia completa de un círculo
mide 3600.
•Un ángulo central que encierra a
toda la circunferencia del círculo
mide 3600
•La medida del ángulo central que
encierra a un semicírculo es 180, es
decir, 360/2 = 180
•En general, un ángulo central
que corresponde a una parte del
círculo medirá 360/n , donde n
representa la cantidad de partes
iguales en que se divide el
círculo.
Una revolución corresponde a 360
¿Cuánto mide un ángulo que ha
recorrido dos revoluciones?
360 + 360 = 2(360) = 720
¿Cuántas revoluciones máximo puede
recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorres infinita
cantidad de revoluciones.
En general, la medida de un ángulo
central que ha completado n
revoluciones se calcula:
360n
Radianes
Un ángulo central mide un radián si este ángulo
intercepta un arco con longitud igual a la longitud
del radio del circulo (r).

r
s
Arco formado por el
ángulo 
de longitud
s
Analiza la siguiente fórmula:
La longitud del arco formado por el ángulo
 es dada por el producto del radio del circulo
y la medida de  en radianes, es decir
S = r
por lo tanto
 = s/r
Si s = r , tal como establecimos en la
definición de radianes, entonces
 = 1 radian
En conclusión cuando s = r ,
 mide un radián
La circunferencia completa de un círculo mide
2
•Un ángulo central que encierra a
toda la circunferencia del círculo
mide 2
•La medida del ángulo central que
encierra a un semicírculo es , es
decir, 2/2 = 
•En general, un ángulo central que
corresponde a una parte del círculo
medirá 2/n , donde n representa la
cantidad de partes iguales en que se
divide el círculo.
EJEMPLO
Un ángulo central que corresponde a
una cuarta parte de un círculo mide
2/4 = /2
Una revolución corresponde a 2
¿Cuánto mide un ángulo que ha
recorrido dos revoluciones?
2+ 2 = 2(2) = 4
¿Cuántas revoluciones máximo puede
recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorrer infinita
cantidad de revoluciones.
En general, la medida de un ángulo
central que ha completado n
revoluciones se calcula:
2n
Medida de los ángulos cuadrantales en
GRADOS y RADIANES
  90

0

2

  180  
0


  270

0

2
3
  360  2
0
Expresar la medida de un ángulo dado en grados
en
RADIANES
Pr oce dim iento :
( medida del ángulo en grados )(

180
EJEMPLO
   
30  30 

 180  6
0
0
)
Cambiar la medida de un ángulo dado en
RADIANES a GRADOS
Pr oce dim iento :
 180
( medida del ángulo en radianes ) 
 
EJEMPLO
4  180


5
5  
4
0

  144


0
0




Práctica
ANG ULO S EN
GRADOS
0
ANG ULO S EN
R A D IA N E S
 /6
60
 /4
120
ANGULOS COTERMINALES
Angulos coterminales son ángulos que tienen el
mismo lado inicial y el mismo lado terminal.
EJEMPLO
Lado inicial
Lado terminal
Observa que  = +360
Ejemplo - Angulos coterminales
Si  = 40 grados halla dos ángulos
coterminales a éste.
(  = +360 )
Un ángulo coterminal añadiendo una
revolución
40 + 360= 400 grados
Otro ángulo coterminal lo obtenemos al dar
dos revoluciones por tanto la fórmula es:
40 + 2(360) = 760 grados
¿Cuántos ángulos coterminales a  puedo
encontrar?
FORMULA PARA HALLAR
ANGULOS COTERMINALES
DE UN ANGULO DADO
Observa que obtenemos un ángulo coterminal
completando revoluciones completas.
Fórmula para obtener un ángulo coterminal a 
Medida
Medida
en grados
    ( 2 ) n
    ( 360 ) n
0
donde n es la cantidad
en radianes
de
revolucion es completada s
donde n es la cantidad
de
revolucion es completada s
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