Todo lo que siempre quiso
saber sobre tablas de
mortalidad
Dra. María de los Angeles Yáñez
ITAM
Febrero, 2007
Indice
I.
II.
III.
IV.
V.
Modelos de supervivencia
Tablas de mortalidad
Selección de una tabla de mortalidad
Proyección de una tabla de mortalidad
Algunas tablas de mortalidad para
Pensiones
VI. Impacto de las tablas de mortalidad en el
costo y en el nivel de la pensión
VII. Conclusiones
I. Modelos de supervivencia
• Un modelo de supervivencia es una función
de distribución para una variable aleatoria
especial, la variable aleatoria de fallo (T) de
una entidad o individuo que se encontraba
presente al inicio del período de observación.
Esta variable es también el tiempo futuro de
vida de la entidad a partir de t=0.
• Los modelos de supervivencia son empleados
en múltiples análisis demográficos
especialmente, los relacionados con
mortalidad.
Función de supervivencia
S ( t )  Pr( T  t )
Si
T 0
Lím
S (t )  0
t 
S (0)  1
Modelos actuariales de
supervivencia
• Los modelos de supervivencia actuariales deben
reconocer la edad cronológica de la entidad, dado
que la supervivencia decrece conforme la edad se
incrementa.
• Tradicionalmente estos modelos no se han
manejado en forma paramétrica, sino
empíricamente, esto debido a que S(x) es
demasiado compleja para representarse con uno o
dos parámetros, aún cuando existen modelos que
pueden dar una buena representación de S(x)
(Gompertz, Weibull, Makeham).
Funciones actuariales
S ( x )  1  F ( x )  1  Pr( X  x )
dS ( x )
  f ( x)
dx

d
S ( x)
x 
dx
S ( x)
x 
f (x)

d
dx
ln( S ( x )) 
f ( x)
S ( x)
1  F (x)
l x  l0 S ( x )  l0 e

x
0  y dy
n
p x  Pr( X  x  n | X  x )  S ( x  n | X  x ) 
n
q x  Pr( X  x  n | X  x )  F ( x  n | X  x )
S ( x  n)
S ( x)
Modelos de supervivencia
tabulares
• Por lo general los modelos tabulares, a edades
enteras o grupos de edad son preferidos para
representar el comportamiento de S(x).
• Evidentemente, el usar edades enteras no
permite tener completamente especificada la
función supervivencia, por lo cual se hacen
supuestos acerca del comportamiento de la
función en puntos no enteros, a éstos se les
llama “supuestos de distribución de
defunciones” y el más conocido y usado es el
supuesto de Distribución Uniforme de Muertes.
II. Tablas de Mortalidad
• Las tablas de mortalidad porporcionan una
descripción de los aspectos más relevantes de
la mortalidad humana.
• Primeras tablas de mortalidad
– John Graunt (1662) “Natural and Political
Observations made upon the Bills of Mortality” –
Una primera aproximación a lo que sería una tabla
de mortalidad.
– Edmund Halley (1693) “ An estimate of the Degrees
of the Mortality of Mankind”- Primera tabla
moderna de mortalidad para la Ciudad de Breslau
para el período 1687-1691.
Tablas de Mortalidad
• Deben cubrir varios supuestos:
– Los valores de las probabilidades deben ser
positivos.
– Las probabilidades de fallecimiento deben ser
crecientes respecto a la edad.
– Debe reconocer comportamientos específicos en
algunos grupos de edad.
• Mortalidad infantil
• Mortalidad materna
• Mortalidad masculina por accidentes
Información para tablas de
mortalidad
• Se pueden construir usando información de:
– Censos
– Estadísticas Vitales
– Ambos (Modelos mixtos)
• Pueden ser:
– Para una cohorte, es decir, una sola generación
hasta su extinción.
– Transversales, es decir que cubren muchas
generaciones en una fecha.
Construcción de una tabla
abreviada de mortalidad
• Se parte de una estimación de las tasas específicas
de mortalidad de una población en un período
observado por grupos quinquenales de edad.
• Se calculan, las probabilidades de fallecimiento (qx)
usando factores de separación de tiempo vivido
(muchas veces simplificando con DUM).
• Usando una cohorte ficticia cuyo radix suele ser de
100,000, se calculan el resto de las funciones
actuariales, l(x), S(x), px, dx,
• Se selecciona un método de graduación o, en su
caso, alguno de desagregación para obtener
información edad por edad.
Graduación
• La graduación se origina por la necesidad de
construir tablas de mortalidad, debido a que una
serie de probabilidades de muerte observadas
suele presentar irregularidades o ausencia de
información en algunos grupos de edad.
• La graduación permite estimar de manera
simultánea una serie de cantidades como lo son
las tasas observadas de mortalidad. Utilizando la
graduación se obtienen una serie suavizada de
valores que son consistentes con datos
observados.
Métodos de Graduación
•
•
•
•
Modelos para la fuerza de mortalidad (o S(x))
Método de Whitaker
Métodos Numéricos
Métodos Bayesianos
– Son métodos que permiten incorporar información a
priori sobre la mortalidad y “complementarla” con
nueva información.
• Propuesto por Mendoza, Madrigal y Martínez en 1999
• Propuesto por Kilmerdof-Jones en 1967
Tablas Modelo
• En los casos en los que no se cuenta con
información suficiente o de buena calidad para
producir una tabla de mortalidad, se puede
recurrir al uso de tablas modelo. Con ellas, a
partir de un solo dato, puede generarse una tabla
de mortalidad completa.
–
–
–
–
–
–
Tablas Modelo de las Naciones Unidas (1955)
Tablas Modelo de Coale y Demeney (1967)
Tablas Modelo de Países no desarrollados (1983)
Método Logito de Brass
Método Logito Modificado
Método Logito de cuatro parámetros
Aplicaciones de las Tablas de
Mortalidad
•
•
•
•
Proyecciones de población
Presupuestos
Seguridad Social
Cálculo de primas
– Seguros
– Pensiones
• Cálculo de reservas
III. Selección de una Tabla de
Mortalidad
• Las tablas de mortalidad a utilizar deben de
estar construidas bajo premisas relacionadas
con el uso que pretende dárseles y deben
tomar en cuenta márgenes para posibles
desviaciones, ya sea de la mortalidad en el
caso de seguros o de supervivencia en el caso
de pensiones.
• Las tablas deben considerar también el estado
de salud de la población y reconocer
condiciones tales como la invalidez,
enfermedades crónicas (cancer, diabetes,
sida), etc.
Selección de una Tabla de
Mortalidad (pensiones)
• El Estándar de Práctica Actuarial número 35 de la
Sociedad de Actuarios de los Estados Unidos (SOA)
trata sobre la selección de las hipótesis demográficas
y no-económicas, y en la sección correspondiente a
Specific Mortality Assumption Issues establece que :
Se deben reconocer:
– Las diferencias de la población antes y después del retiro
– Mejoras en la mortalidad
– Mortalidad diferencial para inválidos
– Subgrupos de mortalidad
• Asegurados vs beneficiarios
• Nivel de beneficios
Consideraciones previas a la
Aplicación (pensiones)
• El Grupo de Tablas de Mortalidad de la SOA
reporta en su estudio de mortalidad más reciente:
“In the view of the long history of improvement in non
disabled mortality rates in all of these sets of data, pension
valuation should take trends in long term mortality
improvement into account. From a theoretical standpoint
... The use of generational mortality improvement ...is an
appropiate way to reflecting this improvement [however]
where it is not material or cost effective to incorporate
generational mortality improvement...the actuary should
project mortality improvement on a comparable static basis
(emphasis added)”
IV. Proyección de una Tabla
de Mortalidad
¿Por qué proyectar una tabla de mortalidad?
• Las tendencias en mejoras de la mortalidad
han sido constantes
• Muchas investigaciones demográficas
muestran que se presentarán mejoras
adicionales.
• Los consejos de población cuentan con
proyecciones de mortalidad (CONAPO hasta
2050).
Formas de Proyectar
• Proyección estática
– Se proyecta cada valor de la tabla a t años para
construir un nuevo valor de la mortalidad para
cada edad.
• Tablas generacionales (simular tablas de
cohorte con tablas proyectadas)
– Se construyen tablas para cada cohorte de
pensionados.
• Para una población dada se puede encontrar
una tabla estática que replique las
generacionales.
Construcción de tabla de
mortalidad para generación 1947
Proyección generacional: Tomar la diagonal
Tablas de mortalidad proyectadas
Edad
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
50
0.00676
0.00662
0.00647
0.00633
0.00619
0.00604
0.00589
51
0.00722
0.00707
0.00692
0.00677
0.00662
0.00646
0.00631
52
0.00773
0.00757
0.00741
0.00725
0.00709
0.00693
0.00677
53
0.00829
0.00812
0.00795
0.00778
0.00762
0.00745
0.00727
54
0.00890
0.00872
0.00854
0.00837
0.00819
0.00801
0.00783
55
0.00957
0.00938
0.00920
0.00901
0.00883
0.00864
0.00844
56
0.01031
0.01011
0.00992
0.00972
0.00952
0.00932
0.00912
Proyección estática
Proyección estática: Usar la columna seleccionada para cada caso
Tablas de mortalidad proyectadas
Edad
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
50
0.00676
0.00662
0.00647
0.00633
0.00619
0.00604
0.00589
51
0.00722
0.00707
0.00692
0.00677
0.00662
0.00646
0.00631
52
0.00773
0.00757
0.00741
0.00725
0.00709
0.00693
0.00677
53
0.00829
0.00812
0.00795
0.00778
0.00762
0.00745
0.00727
54
0.00890
0.00872
0.00854
0.00837
0.00819
0.00801
0.00783
55
0.00957
0.00938
0.00920
0.00901
0.00883
0.00864
0.00844
56
0.01031
0.01011
0.00992
0.00972
0.00952
0.00932
0.00912
Réplica de tabla generacional
• Calculando los costos de los valores
actuariales con tablas generacionales, se
puede, posteriormente, seleccionar una tabla
estática que arroje valores semejantes.
Otros puntos a considerar
• ¿Qué número de años de proyección es
adecuado?
• ¿Se puede mezclar la experiencia propia con
otra tabla?
V. Algunas Tablas de Mortalidad
para Pensiones
• La Sociedad de Actuarios de los Estados
Unidos, cuenta con una base de más de 150
tablas de mortalidad para diferentes países y
poblaciones.
• Esta base no incluye algunas de las tablas
mexicanas, como las utilizadas para el cálculo
de rentas vitalicias de seguros derivados de la
seguridad social (EMSSA-H97 y EMSSAM-97
EMSSI-H97 y EMSSIM-97)
Tablas americanas usadas en
Pensiones
GAM-83 (la más popular)
• Se construyó a partir de GAM-71
• Incluye mejoras en mortalidad entre 66-75
• Proyección de mejoras hasta 1983, usando la
misma tendencia de 66-75
• Con 10% de márgen de seguridad
Tablas americanas usadas en
Pensiones
• UP-94 : Población no asegurada, basada en UP84
• GAM-94 : Desarrollada a apartir de GAM-83,
GAR94 es la misma con mejoras generacionales
• RP-2000. Retirement Plan Experience
proyectada al 2000.
Tablas Mexicanas para Rentas
Vitalicias
•
•
•
•
EMSSAH-97
EMSSAM-97
EMSSIH-97
EMSSIM-97
VI. Impacto de las tablas de mortalidad
en el costo y nivel de pensión
Para ilustrar esta sección, se utilizan las tablas para
rentas vitalicias y algunos datos a septiembre de
2006, tomados del Sistema Estadístico del Sector
Asegurador para los Seguros de Pensiones
Derivados de la Seguridad Social:
– Monto Constitutivo Promedio: $546,845
– Pensión Mínima Garantizada (PMG) Promedio bajo la
ley de 1997: $1,685.44*
– Tasa de interés 3.5%
*Nota: La PMG de la ley de 1973 es de $1,480.38
Sobrevivencia, Beneficios y
Costos
• En general la sobrevivencia implícita en una
tabla de mortalidad tendrá un impacto
económico en los costos de las pensiones y en
los beneficios otorgados.
– Dado un nivel de ahorro establecido (monto
constitutivo) una mayor sobrevivencia ocasionará
que el monto de la pensión vitalicia alcanzada sea
menor.
– A mayor sobrevivencia se requerirán mayor
cantidad de recursos para garantizar la pensión
vitalicia, es decir mayor monto constitutivo (o
ahorro)
Ejemplo: Tablas Mexicanas
• Las tablas usadas para cálculo de las pensiones
derivadas de la seguridad social consideran :
– Sexo. La mortalidad de los hombres es en general
mayor que la de las mujeres
– Estado de salud -Inválido o No Inválido. La
mortalidad de los inválidos es en general mayor que
la de los no inválidos (tanto para hombres como para
mujeres).
– Edad máxima en la tabla. Tradicionalmente se
considera que la edad máxima es 100 años, las
EMSSAH-97 y EMSSAM-97 alcanzan los 110 años.
Tabla
EMSSAH-97
EMSSAM-97
EMSSIH-97
EMSSIM-97
Edad
Edad Mínima
Edad Máxima
15
15
15
15
110
110
100
100
EMSSAH-97
EMSSAM-97
15
0.000430
0.000150
20
0.000630
0.000190
25
0.000970
0.000260
30
0.001410
0.000330
35
0.001940
0.000480
40
0.002610
0.000850
45
0.003510
0.001490
50
0.004890
0.002540
55
0.007120
0.004170
60
0.010850
0.006720
65
0.017130
0.010920
70
0.027650
0.017870
75
0.045090
0.029260
80
0.073410
0.047720
85
0.117890
0.077000
90
0.182470
0.123250
95
0.269660
0.195000
100
0.378710
0.301880
105
0.503460
0.450140
110
1.000000
1.000000
Fuente: CNSF. Circular S-22.3. 31-marzo-97
EMSSIH-97 EMSSIM-97
0.003160
0.000690
0.003160
0.000920
0.003890
0.002020
0.006370
0.003620
0.009580
0.005430
0.012830
0.007340
0.015790
0.009400
0.018550
0.011870
0.021590
0.015150
0.025760
0.019860
0.032320
0.026760
0.042900
0.036800
0.059550
0.051130
0.084690
0.071050
0.121130
0.098050
0.172090
0.133790
0.241160
0.180120
0.332330
0.239060
-
Comparativo de Tablas de Mortalidad
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-
EMSSAH/AM
EMSSIH/AH
EMSSIH/IM
EMSSIM/AM
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
Esperanza de Vida a edad
alcanzada
Edad
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
EMSSAH-97
61.04
56.18
51.39
46.67
42.02
37.46
32.98
28.59
24.34
20.29
16.49
13.03
9.99
7.43
5.38
3.84
2.72
1.94
1.39
0.50
EMSSAM-97
66.86
61.91
56.98
52.06
47.15
42.29
37.50
32.83
28.31
23.97
19.87
16.07
12.65
9.66
7.15
5.12
3.54
2.38
1.55
0.50
EMSSIH-97
48.53
44.26
39.95
35.86
32.15
28.82
25.74
22.80
19.93
17.09
14.32
11.70
9.32
7.24
5.49
4.04
2.72
0.50
-
EMSSIM-97
54.91
50.09
45.40
40.97
36.81
32.89
29.15
25.57
22.14
18.88
15.83
13.05
10.58
8.42
6.56
4.92
3.25
0.50
-
Diferencias en Esperanza de
Vida
Edad
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
AM-AH
5.83
5.73
5.59
5.39
5.13
4.83
4.53
4.24
3.96
3.68
3.38
3.04
2.66
2.23
1.77
1.28
0.82
0.44
0.16
0.00
IM-IH
6.38
5.83
5.45
5.11
4.66
4.07
3.41
2.77
2.21
1.79
1.51
1.35
1.26
1.18
1.07
0.88
0.53
-
AM-IM
11.96
11.82
11.58
11.09
10.34
9.40
8.35
7.26
6.17
5.09
4.03
3.02
2.07
1.25
0.59 0.20 0.29
1.88
AH-IH
12.51
11.92
11.43
10.81
9.87
8.64
7.24
5.79
4.42
3.20
2.17
1.33
0.67
0.19
0.11
0.20
0.00
1.44
Diferencias en Esperanza de
Vida
• Las diferencias en mortalidad se traducen en
diferencias en la esperanza de vida, por lo
que a mayor mortalidad menor esperanza de
vida y a menor mortalidad mayor esperanza
de vida. Por lo tanto, se requerirán diferentes
niveles de ahorro o de recursos financiados
por la seguridad social para otorgar una
misma cantidad de pensión.
Pensión alcanzada para un
mismo Monto Constitutivo
• Dado un mismo nivel de ahorro, las
expectativas de sobrevivencia modifican el
nivel de la pensión.
– A mayor sobrevivencia menor pensión
– A menor sobrevivencia mayor pensión
– Los inválidos tendrán pensiones superiores a los
activos
– Los hombres tendrán pensiones superiores a las
mujeres
Renta mensual alcanzada
Monto Constitutivo Promedio a Septiembre de 2006=
Edad
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
EMSSAH-97
1,825.99
1,879.71
1,945.11
2,024.99
2,123.81
2,248.29
2,408.25
2,618.06
2,898.69
3,281.47
3,814.00
4,569.62
5,662.12
7,264.16
9,617.58
13,014.04
17,811.81
24,364.60
33,019.00
85,016.01
EMSSAM-97
1,763.66
1,804.99
1,856.09
1,920.09
2,001.12
2,104.32
2,236.14
2,406.18
2,628.51
2,924.78
3,327.79
3,886.62
4,676.97
5,814.89
7,495.59
10,041.82
13,978.07
20,131.05
29,827.29
85,016.02
546,845
EMSSIH-97
2,053.60
2,142.80
2,259.81
2,399.18
2,551.79
2,716.79
2,901.93
3,123.59
3,406.70
3,785.59
4,306.10
5,029.62
6,040.52
7,457.38
9,459.77
12,391.46
17,641.79
85,016.02
-
EMSSIM-97
1,923.09
2,001.24
2,096.45
2,206.33
2,332.22
2,479.28
2,656.43
2,876.70
3,157.44
3,521.34
3,998.00
4,626.33
5,459.21
6,572.88
8,096.91
10,351.36
14,897.01
85,016.02
-
Comparativo de Pensiones
Comparación de Pensiones alcanzadas con Monto Constitutivo de 546,845
Edad
AM/AH
IM/IH
AH/IH
AM/IM
15
-3.4%
-6.4%
-11.1%
-8.3%
20
-4.0%
-6.6%
-12.3%
-9.8%
25
-4.6%
-7.2%
-13.9%
-11.5%
30
-5.2%
-8.0%
-15.6%
-13.0%
35
-5.8%
-8.6%
-16.8%
-14.2%
40
-6.4%
-8.7%
-17.2%
-15.1%
45
-7.1%
-8.5%
-17.0%
-15.8%
50
-8.1%
-7.9%
-16.2%
-16.4%
55
-9.3%
-7.3%
-14.9%
-16.8%
60
-10.9%
-7.0%
-13.3%
-16.9%
65
-12.7%
-7.2%
-11.4%
-16.8%
70
-14.9%
-8.0%
-9.1%
-16.0%
75
-17.4%
-9.6%
-6.3%
-14.3%
80
-20.0%
-11.9%
-2.6%
-11.5%
85
-22.1%
-14.4%
1.7%
-7.4%
90
-22.8%
-16.5%
5.0%
-3.0%
95
-21.5%
-15.6%
1.0%
-6.2%
100
-17.4%
0.0%
-71.3%
-76.3%
105
-9.7%
110
0.0%
-
Comparativo de pensión alcanzada
5.0%
0.0%
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
-5.0%
-10.0%
-15.0%
-20.0%
-25.0%
AM/AH
IM/IH
AH/IH
AM/IM
Monto Constitutivo para la
PMG
• Para otorgar una misma pensión, en este caso
la PMG, se requerirán diferentes cantidades
para garantizar el pago de por vida.
– Las mujeres requerirán un mayor monto
constitutivo que los hombres
– Los no inválidos requerirán un mayor
monto constitutivo que los inválidos.
Monto Constitutivo para PMG
PMG conforme a la Ley de 1997
Edad
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
EMSSAH-97
504,752.22
490,327.40
473,840.81
455,151.20
433,971.61
409,945.45
382,715.95
352,045.26
317,962.78
280,872.56
241,655.87
201,695.86
162,779.11
126,879.72
95,832.29
70,821.54
51,745.13
37,828.43
27,913.46
10,841.19
1,685.44
EMSSAM-97
522,590.77
510,625.59
496,566.45
480,015.69
460,578.90
437,990.78
412,171.51
383,044.07
350,645.49
315,125.90
276,962.64
237,140.62
197,066.74
158,502.45
122,962.30
91,783.57
65,937.17
45,783.72
30,900.37
10,841.19
EMSSIH-97
448,809.64
430,125.85
407,854.77
384,162.06
361,188.07
339,251.67
317,607.74
295,069.21
270,547.71
243,468.91
214,039.11
183,249.18
152,582.08
123,592.21
97,430.91
74,379.82
52,243.82
10,841.19
-
EMSSIM-97
479,266.93
460,550.81
439,634.75
417,741.78
395,192.01
371,751.14
346,959.99
320,392.78
291,905.41
261,739.65
230,533.83
199,223.46
168,829.27
140,223.80
113,830.41
89,039.00
61,869.76
10,841.19
-
Comparativo de Monto
Constitutivo
Comparación de Monto Constitutivo Requerido para la PMG ley del 97
Edad
AM/AH
IM/IH
AH/IH
AM/IM
15
3.5%
6.8%
12.5%
9.0%
20
4.1%
7.1%
14.0%
10.9%
25
4.8%
7.8%
16.2%
12.9%
30
5.5%
8.7%
18.5%
14.9%
35
6.1%
9.4%
20.2%
16.5%
40
6.8%
9.6%
20.8%
17.8%
45
7.7%
9.2%
20.5%
18.8%
50
8.8%
8.6%
19.3%
19.6%
55
10.3%
7.9%
17.5%
20.1%
60
12.2%
7.5%
15.4%
20.4%
65
14.6%
7.7%
12.9%
20.1%
70
17.6%
8.7%
10.1%
19.0%
75
21.1%
10.6%
6.7%
16.7%
80
24.9%
13.5%
2.7%
13.0%
85
28.3%
16.8%
-1.6%
8.0%
90
29.6%
19.7%
-4.8%
3.1%
95
27.4%
18.4%
-1.0%
6.6%
100
21.0%
0.0%
248.9%
322.3%
105
10.7%
110
0.0%
-
Comparativo de MC requerido para la PMG
35%
30%
25%
20%
AM/AH
15%
IM/IH
10%
AH/IH
5%
AM/IM
0%
-5%
-10%
15
25
35
45
55
65
75
85
95
VII. Conclusiones
• La selección de una tabla de mortalidad es
indispensable para calcular los costos y
beneficios de un esquema de pensiones
• Al construir una tabla de mortalidad se
pueden utilizar diferentes métodos
• Al seleccionar una tabla de mortalidad se
deben considerar diferentes aspectos, tales
como el uso que planea dársele (seguros o
pensiones), la etapa de vida de los asegurados
(antes y después del retiro) y el estado de
salud (inválido, no inválido)
VII. Conclusiones
• En general es recomendable proyectar la tabla
de mortalidad para que refleje las mejoras en los
niveles de ésta en el tiempo, pero se debe tener
cuidado en el número de años que se proyectan
• El nivel de la mortalidad repercutirá en:
– Los montos constitutivos requeridos para otorgar un
mismo nivel de pensión: ”a mayor mortalidad menor
monto” y
– Los niveles de pensión alcanzada, dado un mismo
nivel de monto constitutivo (ahorro) : ” A mayor
mortalidad mayor pensión”
VII. Conclusiones
• Las tablas de mortalidad no deben ser
permanentes y deben actualizarse
continuamente para que reflejen los niveles
reales de sobrevivencia (o mortalidad) de una
población (selecta o no).
• Otras consideraciones pendientes:
– Mejoras de la mortalidad de inválidos conforme
pasa el tiempo vivido en esa condición
– La mortalidad en edades avanzadas
Gracias por su atención
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