Pronósticos, Series
de Tiempo y
Regresión
Capítulo 3: Regresión Lineal
Simple
1
Temas
 Modelo de Regresión Lineal Simple
 Estimaciones puntuales de los mínimos






cuadrados
Estimaciones puntuales y predicciones
puntuales
Suposiciones del modelo y el error estándar
Prueba de la significancia de la pendiente y la
ordenada al origen
Intervalos de confianza y de predicción
Coeficientes de determinación y correlación
simples
Una prueba F para el modelo
2
Modelo de Regresión Lineal
Simple
 Supuesto básico: la relación entre la
variable dependiente (y) y la variable
independiente (x) es aproximadamente
una linea recta.
3
Modelo de Regresión Lineal
Simple
Diagrama
de
dispersión
Consumo de combustible (toneladas
por semana)
Consumo de combustible según temperatura
14.00
28.00, 12.40
12.00
32.50, 12.40
28.00, 11.70
39.00, 10.80
10.00
45.90, 9.40
57.80, 9.50
58.10, 8.00
8.00
62.50, 7.50
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
Temperatura media por hora (Fahrenheit)
4
Modelo de Regresión Lineal
Simple
Diagrama
de
dispersión
Consumo de combustible (toneladas
por semana)
Consumo de combustible según temperatura
14.00
28.00, 12.40
12.00
32.50, 12.40
28.00, 11.70
39.00, 10.80
10.00
45.90, 9.40
8.00
57.80, 9.50
58.10, 8.00
62.50, 7.50
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
observamos:
- tendencia negativa
- puntos dispersados alrededor de la línea
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
Temperatura media por hora (Fahrenheit)
5
Modelo de Regresión Lineal
Simple
y = μy|x +  = β0 + β1x + 
 Donde

μy|x = β0 + β1x es el valor medio de la variable dependiente
y cuando el valor de la variable independiente es x.

β0 = ordenada al origen (valor medio de y cuando x = 0)

β1 = pendiente ( valor medio de y cuando  x una unidad)

 es un término de error:
describe los efectos de todos los
factores no incluidos en el modelo
6
Modelo de Regresión Lineal
Simple
β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces
cuando la temperatura x = 28, el valor
medio de consumo de combustible
que observamos es
 Si
μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(28)
= 12.1832 MMcf de gas natural.
7
Modelo de Regresión Lineal
Simple
β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces
cuando la temperatura x = 29, el valor
medio de consumo de combustible
que observamos es
 Si
μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(29)
= 12.0551 MMcf de gas natural.
La diferencia = 12.0551 - 12.1832 = -0.1281
8
Modelo de Regresión Lineal
Simple
 β0 y β1 se llaman parámetros de regresión.
 Ya que no conocemos los valores reales de
β0 y β1 , debemos estimarlos con los datos
de la muestra.
 (Nota: la interpretación de β0 a veces no es
aplicable.)
 Importante: observamos que estas
variables se mueven juntas, mas no
podemos deducir una relación causaefecto.
9
Estimaciones puntuales de los
mínimos cuadrados
 estimación puntual de los mínimos cuadrados de la
pendiente β1
b1 
SS xy
SS xx
donde
SS xy 
 x
i
 x  y i  y  
x
i
yi
x 


i
yi
n
y
 x 
2
SS xx 
  xi  x 
2

i
n
10
Estimaciones puntuales y
predicciones puntuales
 Estimación puntual del valor medio de la
variable dependiente cuando el valor de la
variable independiente es x0
yˆ  b0  b1 x 0
 se predice
=0
11
Estimaciones puntuales y
predicciones puntuales
 Se puede demostrar que estas estimaciones
puntuales dan un valor de la suma de los
residuos cuadráticos (SSE) que es menor
que la que se obtiene con cualesquiera otros
valores de b0 y b1. Se les llaman
estimaciones puntuales de los mínimos
cuadrados.
 la recta se llama recta de regresión de
mínimos cuadrados
 la ecuación se llama ecuación de prediccción
de mínimos cuadrados.
12
Suposiciones del modelo y el
error estándar

Suposiciones
1.
2.
3.
4.
A cualquier valor dado de x, la media de la
población de los valores potenciales del término
error es igual a cero.
Suposición de la varianza constante. A cualquier
valor dado de x,  tiene una varianza que no
depende del valor de x.
Suposición de la normalidad. A cualquier valor
dado de x,  tiene una distribución normal.
Suposición de la independencia. Cualquier valor
del término error  es estadísticamente
independiente de cualquier otro valor de .
13
Suposiciones del modelo y el
error estándar

En otras palabras,



dado un valor de x, la población de valores
potenciales del término de error tiene una
distribución normal, con valor medio 0 y varianza σ2
que no depende de x.
La población de valores potenciales de y|x tiene
distribución normal con valor medio de β0 + β1x y
varianza σ2 que no depende de x.
Es más probable que la suposición de
independencia se viole cuando se utilizan series
temporales en un estudio de regresión.
14
Suposiciones del modelo y el
error estándar

Error cuadrático medio = estimación puntual
de σ2
SSE
2
vary|x
s 
n2

error estándar = estimación puntual de σ
s
n
SSE 
 y
i 1
 yˆ i  
2
i
SSE
n2
n

i 1
n
n


y   b0  y i  b1  x i y i 
i 1
 i 1

2
i
15
Prueba de la significancia de la
pendiente y la ordenada al origen
 Hipótesis nula: β1 = 0
 nivel de significancia α (0.10, 0.05, 0.01)
 los valores p se basan en n-2 grados de
libertad
 Se rechaza la hipótesis nula si se
cumple la condición de punto de rechazo
de alguna de las hipótesis alternativas, o
si p < α
16
Prueba de la significancia de la
pendiente y la ordenada al origen
 Si se cumplen los supuestos de la regresión,
entonces la población de todos los valores
posibles de b1 es normalmente distribuida con
valor medio β1 y desviación estándar
b 
1

SS xx
 cuya estimación puntual es
s b1 
s
SS xx
17
Prueba de la significancia de la
pendiente y la ordenada al origen
 y la población de todos los valores posibles
de la estadística de prueba t
t
b1
s b1
 tiene una distribución t con n – 2 grados de
libertad.
18
Prueba de la significancia de la
pendiente y la ordenada al origen
Hipótesis
alternativa
Ha : β1 ≠ 0
Ha : β1 > 0
Ha : β1 < 0
Condición de
punto de
rechazo
| t | t
(n2)
 / 2 
t 
n  2 
t  
t
n  2 
 t  
Valor p
2  (área bajo la curva t a
la derecha de |t|)
área bajo la curva t a la
derecha de t
área bajo la curva t a la
izquierda de t
19
Intervalos de confianza y de
predicción
 Si se cumplen las suposiciones de la
regresión, un intervalo de confianza de
100(1-α)% para la pendiente verdadera
β1 es
b

1
n  2 
t  / 2  s b1

20
Intervalos de confianza y de
predicción
 Si se cumplen las suposiciones de la
regresión, un valor de distancia (v.d.)
para un valor particular x0 de x (para la
regresión lineal simple) es
v .d . 
1
n

 x0  x 
2
SS xx
21
Intervalos de confianza y de
predicción
 Si se cumplen las suposiciones de la
regresión, un intervalo de confianza de
100(1-α)% para el valor medio de y
cuando la variable independiente es x0
es
yˆ 
n  2 
t  / 2  s
v .d .
22
Intervalos de confianza y de
predicción
 La población de todos los errores
posibles de predicción está normalmente
distribuida con media cero y desviación
estándar
σ√1 + valor de distancia
 La estimación puntual es
s√1 + valor de distancia
Se llama error estándar del error de
predicción
23
Intervalos de confianza y de
predicción
 Si se cumplen las suposiciones de la
regresión, un intervalo de predicción
100(1-α)% para un valor individual de y
cuando la variable independiente es x0
es
yˆ 
n  2 
t  / 2  s
1  v .d .
24
Intervalos de confianza y de
predicción
 Nótese que el intervalo de predicción es
mayor que el intervalo de confianza:
mayor incertidumbre acerca del término
de error.
 Entre más alejado del valor medio es xi,
mayores son los intervalos de confianza
y de predicción.
25
Coeficientes de determinación
y correlación simples

1.
2.
3.
4.
5.
6.
En el caso del modelo de regresión lineal simple,
Variación total = Σ(yi-y)2
Variación explicada = Σ(yi-y)2
Variación inexplicada = Σ(yi-yi)2
Variación total = Variación explicada + Variación
inexplicada
El coeficiente de determinación simple es
r2 = (variación explicada)/(variación total)
El r2 es la proporción de la variación total en los n
valores observados de la variable dependiente que
explica el modelo de regresión lineal simple
26
Coeficientes de determinación
y correlación simples
Coeficiente de correlación simple (r)
entre y y x
2
r


r
 si b1 > 0
 si b1 < 0 r   r 2
 donde b1 es la pendiente de la recta
de mínimos cuadrados que relaciona y
con x. Este coeficiente de correlación
mide la fuerza de la relación lineal
entre y y x.
27
Coeficientes de determinación
y correlación simples
 También se puede calcular mediante la
fórmula
r 
SS xy
SS xx SS yy
28
Coeficientes de determinación
y correlación simples
 La correlación de la población de
todas las combinaciones posibles de
valores observados de x e y se
denomina ρ
 Para probar la hipótesis nula H0: ρ = 0,
utilizamos la estadística de prueba
t
r n2
1 r
2
29
Una prueba F para el modelo
 estadística F global
F(modelo) = Variación inexplicada
(Variación explicada)/(n-2)
 Podemos rechazar H0:β1=0 y aceptar Ha: β1≠0 en el nivel de
significancia α si se cumple alguna de:
 F(modelo)>F[α]
 Valor p < α
 En el punto F[α] se basa en 1 grado de libertad para el
numerador y n-2 grados de libertad para el denominador.
30
Descargar

Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión