Generación de algunas
distribuciones continuas
Programa de doctorado en Biometría y
Estadística
Simulación numérica de
modelos estocásticos
Departament d’Estadística
Divisió de Ciències Experimentals i
Matemàtiques
Contenido:
 Distribución normal:
– Método de Box-Müller
– Método de Box-Müller polar
– Otros métodos
 Distribución beta:
– Método basado en la gamma
– Método de Jöhnk
– Método log-logístico
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Distribución normal
 La más estudiada, muchos métodos de
generación disponibles
 Basta generar una Z ~ N(0,1), Y=sZ+m
es N(m,s)
 Generar correlación negativa entre
pares de valores generados
(manteniendo las marginales): si Y1 ~
N(m,s) entonces Y2 = 2m -Y1 ~ N(m,s)
con r(Y
, Y2)=-1
Dep. 1
d’Estadística.
Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Métodos de generación de la
distribución normal. I.
 Teorema central del límite: claramente
no recomendable:
– Solamente aproximado
– Lento
 Aceptable para ilustrar, mediante
simulación, el TCL:
12
R i iid U ( 0, 1 ) , Z =
å
R i - 6 » N ( 0, 1 )
i= 1
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Métodos de generación de la
distribución normal. II.
 Método de Box-Müller:
si R 1 , R 2 :
U ( 0, 1 ) in d ep en d ien t es,
X1 =
- 2 log R 1 cos ( 2 p R 2 )
X
- 2 log R 1 sin ( 2 p R 2 )
2
=
son N ( 0, 1 ) in d ep en d ien t es
 Conciso, 2 U 2 N, no monótono,
lento, evitar generadores
congruenciales
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Métodos de generación de la
distribución normal. y III.
 Box-Müller “polar”:
S i U 1 ,U 2 :
U ( - 1, 1 ) in d ep en d ien t es,
con d icion a d o a U 12 + U 22 £ 1, se cu m p le
tan-
1
(U 2
U1
):
U ( 0, 2 p ) , U 12 + U 22 :
t om a n d o R 1 = U 12 + U 22 , 2 p R 2 = t a n X1 =
X
2
=
- 2 log (U
2
1
- 2 log (U
2
1
+ U
2
2
+ U
2
2
)
)
U ( 0, 1 )
1
(U 2
U1
U1
U 12 + U 22
U2
U 12 + U 22
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
)
Distribución beta
definición
b ( a 1 , a 2 ), a 1 , a 2 > 0
X :
f
(
x
)
=
x a 1 - 1 (1 - x ) a 2 b ( a 1, a 2 )
s ii :
1
si
0 £ x £ 1
 Gran diversidad de formas:
 a1, a2 > 1  forma de “puente”
 a1  1, a2  1 o a1  1, a2  1  “J”
 a1, a2 < 1  forma de “U”
 a1 = a2 = 1  uniforme
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Distribución beta
generación de X : b ( a 1 , a 2 )
 Método basado en gamma:
Y i : G ( a i , 1 ),
i = 1, 2
in d ep en d ien t es
Y1
X =
Y1 + Y
2
 Método de Jöhnk (a1, a2 < 1 ):
R i : U ( 0, 1 ) ,
R
X =
R
1
a1
1
i = 1, 2
in d ep en d ien t es
1
a1
1
+ R
1
a2
2
con d icion a d o a R
1
a1
1
+ R
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
1
a2
2
£ 1
Distribución beta
generación de X : b ( a 1 , a 2 )
 Método log-logístico: si W tiene
distribución “beta prima”:
fW
(
w
)
=
w a 1 - 1 ( 1 + w )- ( a 1 + a 2 )
b (a 1, a 2 )
entonces
X =
W
1+ W
:
, a 1 , a 2 > 0, w ³
b (a 1, a 2 )
 La W “beta prima” se genera por el
método de rechazo a partir de una loglogística
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
0
Generación de la beta prima
rechazo a partir de g log-logística (i)
g ( w ; l , m) =
l mw l
- 1
l , m > 0,
2
(m + w l )
w ³
0
l
æa 1
m = çç
çè a
2
ö
÷
÷
÷
ø
ìï
ï
ï
l = ïí
ï
ï
ïïî
m in ( a 1 , a 2 )
2 a 1a 2 - a 1 - a 2
a1 + a2 - 2
si
m in ( a 1 , a 2 ) £ 1
si
m in ( a 1 , a 2 ) > 1
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Generación de la beta prima
rechazo a partir de g log-logística (ii)
d =
a1
a2
M = m ax
w
fW
(
w
g w
)
=
)
(
fW ( d )
g (d )
a
a
4a 1 1 a 2 2
=
a1 + a2
l b ( a 1 , a 2 )( a 1 + a 2 )
1
- 1
æ mR 1
( R 1 ) = çç
çè 1 - R
1
R 1 : U ( 0, 1 )
W = G
R 2 : U ( 0, 1 )
a cep t a r si:
R2 £
1 fW (W )
M
g (W )
Û 4R 2R
2
1
£
W
a1 + l
(d )
öl
÷
÷
÷
ø
1+ d
a1 + a2
(1 + W )
Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Descargar

Generación de algunas distribuciones continuas