1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 4:
ESTÁTICA
CUERPOS RÍGIDOS: SISTEMAS
EQUIVALENTES FUERZA/MOMENTO
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I


Punto 4.1 Introducción.
Punto 4.2 Momentos y sus características.





4.2.1 Teorema de Varignon.
Punto 4.3 Representación vectorial de un momento.


Indice
4.3.1 Momento de una Fuerza respecto a un punto.
4.3.2 Momento de una Fuerza respecto a un eje.
Punto 4.4 Pares.
Punto 4.5 Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Momento.
Punto 4.6 Simplificación de un sistema de Fuerzas: Resultantes.



4.6.1 Sistemas de Fuerzas coplanarias.
4.6.2 Sistemas de Fuerzas no coplanarias.
4.6.3 Sistemas de Fuerzas cualesquiera.
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4.1 Introducción
En capítulos anteriores vimos que la fuerza resultante R de un sistema de
dos o más fuerzas concurrentes era una fuerza única que producía sobre un
cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original.
Si R era nula el sistema de fuerzas estaba equilibrado y el cuerpo sobre el
que se ejercía estaba en equilibrio.
En el caso de un cuerpo tridimensional con forma y tamaño definidos, la
idealización del punto ya no es válida ya que las fuerzas que se ejercen
sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes.
Para estos sistemas, la condición R = 0 es condición necesaria pero no
suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe cumplirse una 2ª restricción
relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotación del cuerpo
(Concepto de Momento).
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4.2 Momentos y sus características
El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto
a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer
girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.
Ejemplo:
El momento de F respecto de O es una medida de la
tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor
del eje AA.
La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la
fuerza F y al punto O.
Punto O: Centro del momento.
d: Brazo del momento.
Recta AA: Eje del momento.
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El momento tiene módulo, dirección y sentido y se suma
de acuerdo con la regla de adición del paralelogramo.
Magnitud Vectorial
Módulo: Producto del módulo de la F por la distancia d
medida desde la recta soporte de la fuerza al eje AA.
MO  M
O
 F .d
Unidades: N . m
Sentido del momento:
Se indica mediante una flecha curva en torno al punto.
Por definición:
- Rotación antihoraria: momento positivo
- Rotación horaria: momento negativo
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PROBLEMA EJEMPLO
4.1
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PROBLEMA EJEMPLO
4.2
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4.2.1 Principio de los momentos:
Teorema de Varignon
El momento M de la resultante R de un sistema de
fuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la
suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas
del sistema respecto a dicho eje o punto.
Los módulos de los momentos respecto al punto
O de la resultante R y de las fuerzas A y B son:.
M
R
 Rd  R ( h cos  )
M
A
 Aa  A ( h cos  )
M
B
 Bb  B ( h cos  )
En la figura se ve que:
R cos   A cos   B cos 
Por lo que:
M
R
 M
A
M
B
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PROBLEMA EJEMPLO
4.3
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PROBLEMA EJEMPLO
4.4
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4.3 Representación vectorial
de un Momento
Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a un punto O, será:
MO = r x
F
Donde r es el vector de posición de O a A de la recta soporte de F. Así:
MO = r x F = (r F sen ) e
 : es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)
e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F.
(r . sen ) : distancia d del centro del momento O a la recta soporte de F
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En la figura siguiente podemos ver que la
distancia d es independiente de la posición de A
sobre la recta soporte:
r1 sen  1  r2 sen  2  r3 sen  3
Así pues, podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:
MO = r x F = (r F sen ) e = F d e =
MO e
La dirección y sentido del vector unitario e están
determinados por la regla de la mano derecha (los
dedos de la mano derecha se curvan de manera de
llevar el sentido positivo de r sobre el sentido
positivo de F y el pulgar señala el sentido de MO
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4.3.1 Momento de una fuerza respecto a
un punto
El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento (B) a
un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F (A) se puede expresar así:
r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k
La ecuación vectorial de cálculo del
momento de una fuerza respecto a un
punto:
MO = r x F
Es
aplicable
tanto
al
caso
bidimensional como al tridimensional.
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Caso bidimensional
Consideremos 1º el momento MO respecto del origen de coordenadas de una
fuerza F contenida en el plano xy:
F = Fx i + Fy j
r = rx i + ry j
i
MO = r x F =
j
k
rx ry 0
= (rxFy – ryFx) k = Mz k
Fx Fy 0
* MO es perpendicular al plano xy (según eje z)
* MO positivo (sentido antihorario)
* MO negativo (sentido horario)
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PROBLEMA EJEMPLO
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PROBLEMA EJEMPLO
4.7
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Caso tridimensional
El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F con
orientación espacial se determinará así:
F = Fx i + Fy j + Fz k
r = rx i + ry j+ rz k
i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
MO = r x F =
=
= (ry Fz – rz Fy) i + (rz Fx – rx Fz) j + (rx Fy – ry Fx) k =
M= Mx i + My j + Mz k = MO e
Donde: M O 
M
e=
cos  x
k
2
x
M
i+
2
y
cos  y
M
2
z
j+
cos  z
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Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:
cos  x 
cos  y 
cos  z 
M
x
MO
M
y
MO
M
z
MO
Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y puede
considerarse que son vectores deslizantes cuyas rectas soporte coinciden con los
ejes de momentos.
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El Teorema de Varignon no está limitado a dos fuerzas concurrentes sino que se
puede extender a cualquier sistema de fuerzas.
M
O
r R
pero R  F1  F2  ...  Fn
por tanto

 
 


M O  r  F1  F2  ...  Fn  r  F1  r  F2  ...  r  Fn
Así pues,

M O  M R  M 1  M 2  ...  M n
Ecuación que indica que el momento de la resultante de un número cualquiera de
fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas individuales.
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PROBLEMA EJEMPLO
4.8
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4.3.2 Momento de una fuerza respecto a un
eje
El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en
mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.
El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:
1º Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.
2º Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M
perpendicular a este:
MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en
enx eny enz
MOB = (r x F). en= rx ry rz
Fx Fy Fz
Donde:
enx, eny y enz son las
componentes cartesianas
(cosenos directores) del
vector unitario en.
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PROBLEMA EJEMPLO
4.9
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PROBLEMA EJEMPLO
4.10
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4.4 Pares
Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de sentidos opuestos
forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier dirección,
por lo que un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al que esté
aplicado.
El momento de un par es la suma de los
momentos de las dos fuerzas que
constituyen el par.
M
A
 F2 d
F1  F 2  F
M
B
M
 F1 d
A
 M
B
 Fd
El módulo del momento de un par respecto a
un punto de su plano es igual al módulo de una
de las fuerzas por la distancia que las separa.
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Pares
La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto cualquiera O es:
M O  r1  F1  r2  F2
y como: F 2   F1
M O  r1  F1  r2  (  F1 )  ( r1  r2 )  F1  r A / B  F1
Vector de posición que va entre
dos puntos A y B cualesquiera.
MO  r
A/B
 F1  r A / B . F1 .sen  .e  F1 d e
Vector unitario perpendicular al plano del par, cuyo
sentido se obtiene con la regla de la mano derecha
Por la ecuación anterior vemos que el momento de
un par no depende de la situación de O por lo que el
momento de un par es un vector libre.
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Pare
s
Las características de un par, que rigen su efecto
exterior sobre los cuerpos rígidos, son:
• El módulo del momento del par
• El sentido del par (sentido de rotación)
• La dirección o pendiente del plano del par
(definida por la normal al plano n)
Se pueden efectuar diversas transformaciones del
par sin que varíen sus efectos exteriores sobre un
cuerpo:
• Un par puede trasladarse a una posición
paralela en su plano o a cualquier plano paralelo.
• Un par puede hacerse girar en su plano.
• El módulo de las dos fuerzas del par y las
distancia que las separa se pueden variar
mientras se mantenga constante el producto F.d
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Pares
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Un número cualquiera de pares coplanarios
pueden sumarse algebraicamente para dar un
par resultante.
Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para dar un
par resultante único. Como el momento de un par es un vector libre colocamos cada par
en el origen de un sistema de coordenadas, descomponemos cada par según sus
componentes rectangulares y sumamos las componentes correspondientes.
C 
C 
C
x

C

y
 C    C    C 
2
x
2
y
2
z
C
z

C
x
i
C
y
j
C
e  cos  x i  cos  y j  cos  z k
z
k  Ce
 x  arccos
 y  arccos
 z  arccos
C
x
C
C
y
C
C
z
C
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PROBLEMA EJEMPLO
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PROBLEMA EJEMPLO
4.12
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4.5 Descomposición de una fuerza
en una fuerza y un par
En muchos problemas conviene descomponer una
fuerza en una fuerza paralela y un par (figura).
Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se pueden combinar
dando una fuerza única en el plano en cuestión.
Así pues, el único efecto exterior de combinar un par con una fuerza es
desplazar a una posición paralela la recta soporte de la fuerza.
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PROBLEMA EJEMPLO
4.13
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PROBLEMA EJEMPLO
4.14
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I.T.I 1º:
MECANICA I
4.6 Simplificación de un sistema
de fuerzas: Resultantes
Dos sistemas de fuerzas se dice que son equivalentes si
producen el mismo efecto exterior al aplicarlos a un cuerpo
rígido.
La resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera es el
sistema equivalente más sencillo al cual puede reducirse el
sistema dado.
Esta resultante, en función de que sistema se trate, puede ser:
• Una fuerza única.
• Un par.
• Una fuerza y un par.
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4.6.1 Sistemas de fuerzas coplanarias
Su resultante puede determinarse mediante las componentes rectangulares de
las fuerzas en cualquier pareja conveniente de direcciones perpendiculares.
R  Rx  Ry  Rx i  Ry j  Re
F
 F
Rx 
x
Ry
y
R 
 F    F 
2
x
2
y
e  cos  x i  cos  y j
cos  x 
cos  y 
F
x
R
F
y
R
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La situación de la recta soporte de la
resultante respecto a un punto arbitrario O
se puede utilizar aplicando el principio de
los momentos:
I.T.I 1º:
MECANICA I
Rd
R
 F1 d 1  F 2 d 2  F3 d 3  ...  F n d n 
Luego:
dR 
M
M
O
M
O
O
R
Sentido de dR : (horario o antihorario) según
La situación de la recta soporte de la resultante respecto
a O se puede especificar también determinando la
intersección de la recta soporte de la fuerza con uno de
los ejes de coordenadas.
MO

xR 
Ry
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Caso particular de un sistema de fuerzas
coplanarias paralelas:
En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanarias
sea nula pero no lo sea el momento, la resultante es un par cuyo vector es
perpendicular al plano de las fuerzas
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas coplanarias puede ser
o una fuerza R o un par C.
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PROBLEMA EJEMPLO
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PROBLEMA EJEMPLO
4.16
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4.6.2 Sistemas de fuerzas no coplanarias
Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la fuerza resultante
tiene por módulo su suma algebraica y la recta soporte de la resultante se determina
mediante el principio de los momentos:
R  F1  F 2  ...  F n  R k 
 Fk
M O  r  R  r1  F1  r2  F 2  ...  rn  F n
La intersección con el plano xy de la recta
soporte de la fuerza resultante se localiza así:
Rx R  F1 x1  F 2 x 2  ...  F n x n    M
Ry R  F1 y1  F 2 y 2  ...  F n y n 
xR  
M
R
y
;
yR 
M
M
y
x
x
R
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MECANICA I
En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas paralelas sea
nula pero no lo sean los momentos, la resultante sería un par cuyo vector
estaría en un plano perpendicular a las fuerzas.
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas paralelas no
coplanarias podrá ser o una fuerza R o un par C.
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4.6.3 Sistemas de fuerzas cualesquiera
La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera (figura 1) se
puede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y
paralela que pase por un punto dado (O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)
El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :
• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con módulo,
dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.
• Un sistema de pares no coplanarios.
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Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares
de los dos sistemas se pueden descomponer en
componentes según los ejes de coordenadas
(figuras 1 y 2)
La resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un
fuerza R que pasa por el origen y la resultante del
sistema de pares no coplanarios es un par C.
Casos particulares:
•R=0
•C=0
• R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o
una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.
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Casos especiales:
Par C perpendicular a la fuerza resultante R
El sistema será equivalente a una fuerza única R cuya recta soporte se halle a una
distancia d = C/R del punto O en una dirección y sentido que haga que el momento
de R respecto a O sea igual al momento de C.
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Casos especiales:
Par C oblicuo a la fuerza resultante R
El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y otra perpendicular
a la fuerza resultante R.
La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella C  , se pueden
combinar como se ha explicado en la hoja anterior.
Además, se puede trasladar la componente paralela C
del par hasta hacerla
coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante R.
La combinación del par C con la fuerza resultante R recibe el nombre de torsor.
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La acción del torsor puede describirse como
un empuje (o tracción) más una torsión en torno
a un eje paralelo al empuje (o tracción).
• Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es
positivo (hoja anterior).
• Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es
negativo (figura siguiente).
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PROBLEMA EJEMPLO
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