1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 10:
ESTÁTICA
MOMENTOS SEGUNDOS DE SUPERFICIE
Y MOMENTOS DE INERCIA
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I





Indice
Punto 10.1 Introducción
Punto 10.2 Momento segundo de una superficie plana
 Punto 10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie
 Punto 10.2.2 Radio de giro de una superficie
 Punto 10.2.3 Momentos segundos de superficies compuestas
 Punto 10.2.4 Momentos segundos mixtos de superficies
Punto 10.3 Momentos segundos principales
Punto 10.4 Momentos de inercia
 Punto 10.4.1 Radio de giro
 Punto 10.4.2 Teorema de Steiner para momentos de inercia
 Punto 10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos compuestos
 Punto 10.4.4 Producto de inercia
Punto 10.5 Momentos de inercia principales
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10.1 Introducción
En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a
torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma
2
x
 dA
Momento segundo de la superficie
A
Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un
cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él.
• Son siempre positivos y sus dimensiones serán L4 (unidades: mm4 o cm4).
En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones
de la forma
r 2 dm
Momento de inercia (de masa)

m
Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje.
• Son siempre positivos y sus dimensiones serán ML2 (unidades: kg.m2).
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10.2 Momento segundo de una
superficie plana
El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subíndices) se
representará por el símbolo I cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J
cuando el eje sea perpendicular a ella.
Los momentos segundos rectangulares de
la superficie A respecto a los ejes x e y del
plano de la superficie son:
I x   y 2 dA e I y   x 2 dA
A
A
Análogamente, el momento segundo polar
de la superficie A respecto al eje z, que es
perpendicular al plano de la superficie en el
origen O del sistema de coordenadas xy, es


J z   r 2dA   x 2  y 2 dA   x 2dA  y 2dA  I x  I y
A
A
A
A
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10.2.1 Teorema de Steiner para
momentos segundos de superficie
Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje
dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema
de Steiner. Demostración: Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la superficie,
el momento segundo de superficie respecto a un eje x´
paralelo a él es
I x´    y  y  dA   y dA  2 y  y dA  y 2  dA
2
A
2
A
A
A
el segundo término es nulo ya que se trata del momento
primero de superficie respecto al eje x que pasa por el
centroide de la superficie, quedando:
I x´  I xC  y 2 A
donde IxC es el momento segundo de la superficie
respecto al eje x que pasa por el centroide C e y es la
separación de los ejes x y x´.
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Y además se puede demostrar que
Análogamente:
I y´  I yC  x 2 A


J z´  J zC  x 2  y 2 A  J zC  d 2 A
donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa
por el centroide C y d es la distancia que separa los ejes z y z´.
Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:
El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el
plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje
paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta
por el cuadrado de la separación de los ejes.
Atención: Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal, o
al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él.
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10.2.2 Radio de giro de una superficie
El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia
de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el
cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues,
I x   y 2 dA  A k x2
A
kx 
Y como
I y   x 2 dA  A k y2
J z   r 2 dA  A k z2
A
Ix
A
ky 
A
Iy
kz 
A
Jz
A
J z  I x  I y  kz2  kx2  k y2
Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de
superficie, existirá una relación correspondiente entre los radios de giro de la superficie
respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie.
2
kx2´  kxC
 y2
2
k y2´  k yC
 x2


2
2
kz2´  kzC
 x 2  y 2  kzC
 d2
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10.2.3 Momentos segundos de superficies
compuestas
Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de
coordenadas x, y, z se han definido en la forma:
I x   y 2dA
I y   x 2dA
J z   r 2dA
A
A
A
Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer
en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén
calculadas y tabuladas.
Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la
suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.
I x   y 2 dA   y 2 dA   y 2 dA  ...   y 2 dA  I x1  I x2  ...  I xn
A
A1
A2
An
Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento
segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener
el momento segundo resultante.
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Momentos segundos de superficies planas
1/2
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Momentos segundos de superficies planas
2/2
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Propiedades de algunas
formas de perfiles
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PROBLEMA 10.6
Determinar el momento segundo de la superficie sombreada respecto a:
1. El eje x.
2. El eje y.
3. Un eje que pase por el origen O del sistema de coordenadas xy y sea
normal al plano de la superficie.
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PROBLEMA 10.7
Una columna está constituida por una
sección de alas anchas W610 x 125 y un
canal C305 x 45. Determinar los
momentos segundos y los radios de giro
de la sección recta respecto a los ejes
horizontal y vertical que pasan por el
centroide de la sección recta.
x
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10.2.4 Momentos segundos mixtos
de superficies
El momento segundo mixto (producto de inercia de
superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a
los ejes x e y es:
dIxy  x y dA
Así el momento segundo mixto (producto de inercia de
superficie) de la superficie total A respecto a los ejes x e
y será:
I xy   x y dA
A
Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el momento segundo mixto
podrá ser positivo, negativo o nulo.
De hecho, el momento segundo mixto de una superficie
respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera será nulo
cuando uno de dichos ejes sea eje de simetría.
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El Teorema de Steiner para momentos segundos
mixtos se deducen a partir de la figura en donde
los ejes x e y pasan por el centroide C de la
superficie y son paralelos, respectivamente a los
ejes x´ e y´. Así,
I x´ y´   x´ y´ dA   x  x  y  y  dA 
A
A
 x y  dA  x  y dA  y  x dA   x y dA
A
A
A
A
Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los ejes x e y.
En consecuencia, el momento segundo mixto respecto a un par de ejes paralelos a dos
ejes centroidales ortogonales es
I x´ y´  I xyC  x y A
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Momentos segundos mixtos
de superficies planas 1/2
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Momentos segundos mixtos
de superficies planas 2/2
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10.3 Momentos segundos principales
El momento segundo de la superficie A de la
figura respecto al eje x´ que pasa por O variará con
el ángulo θ.
Los ejes x e y utilizados para obtener el momento
segundo polar Jz respecto a un eje z que pase por
O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del plano
de la superficie que pasaran por O; por tanto,
J z  I x  I y  I x´  I y´
Donde x´e y´son dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma
de Ix´ e Iy´ es constante, Ix´ será máximo y el correspondiente Iy´ mínimo para un valor
particular de θ.
El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son máximo y mínimo se
denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa por eje u y
eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al estudiar vigas y
columnas). Así los momentos segundos principales así obtenidos respecto a estos ejes
se designan por Iu e Iv.
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10.4 Momentos de Inercia
En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido
(DINAMICA), aparecen a menudo expresiones en las que
interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el
cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto
recibe el nombre de momento de inercia del elemento.
Así pues, el momento de inercia dI de un elemento de masa dm
respecto al eje OO es,
2
dI  r dm
El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje OO es:
I   r 2 dm
m
Siempre será positivo dado que tanto la masa como el cuadrado de su distancia al eje
son cantidades positivas y como tiene las dimensiones ML2, su unidad de medida del
SI será el kg.m2
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Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un
sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el de la
figura, así:


dIx  rx2dm  y 2  z 2 dm
Para los ejes y y z se pueden escribir ecuaciones
análogas con lo que nos quedaría:






I x   rx2 dm   y 2  z 2 dm
m
m
I y   ry2 dm   x 2  z 2 dm
m
m
I z   rz2 dm   x 2  y 2 dm
m
m
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10.4.1 Radio de giro
El momento de inercia (al tener las dimensiones de masa por el cuadrado de una
longitud) se podrá expresar como producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de
una longitud k llamada radio de giro. Así pues, el momento de inercia I de un cuerpo
respecto a una recta dada se puede expresar en la forma:
I  mk
2
o sea k 
I
m
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse
que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar toda la masa del
cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real.
No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es más que un medio
conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en función de su
masa y una longitud.
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10.4.2 Teorema de Steiner para
momentos de inercia
Considérese el cuerpo representado en la figura,
en cuyo centro de masa G se toma el origen del
sistema de coordenadas xyz y considérese
también un sistema de coordenadas x´y´z´ de
origen en el punto O´y ejes paralelos a los
anteriores. En la figura se observa que
x´ x  x
y´ y  y
z´ z  z
La distancia dx que separa los ejes x´y x es
dx 
y2  z2
Así pues, el momento de inercia del cuerpo respecto al eje x´, paralelo al eje x que
pasa por el centro de masa es,
2
I x´   rx´ dm
desarrollando
m
- 22 -
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


I x´   rx2´ dm    y  y    z  z  dm 
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m

2
2
m
  y 2  z 2 dm  y 2  dm  2 y  ydm  z 2  dm  2 z  zdm
m
Ahora bien, como
 y
m
2
m

m
m
 z 2 dm  I xG
m
y como los ejes y y z pasan por el c.d.m. G del cuerpo,
Por tanto,
 y dm  0
 z dm  0
m
m

 x
 x

 mI
 mI
I x´  I xG  y 2  z 2 m  I xG  d x2 m
I y´  I yG
I z´  I zG
2
2
z
2
 y2
yG
d m
zG
 d z2 m
2
y
Teorema de Steiner para
momentos de inercia
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Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase
por su centro de masa, se podrá hallar el momento de inercia respecto a otro eje
cualquiera paralelo a él, sin necesidad de integración, utilizando las ecuaciones
anteriores.
Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes paralelos existe una relación similar
dada por
2
2
2
k x´ m  k xG m  d x m
luego
2
k x2´  k xG
 d x2
2
k y2´  k yG
 d y2
2
k z2´  k zG
 d z2
Los dos sistemas de ecuaciones enmarcados sólo son válidos para pasar de ejes xyz
que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos o al revés.
¡No son válidos para ejes paralelos arbitrarios!
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MECANICA I
10.4.3 Momentos de inercia de cuerpos
compuestos
Muchas veces el cuerpo de interés puede descomponerse en varias formas simples
tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las cuales se han calculado y
tabulado previamente los momentos de inercia. (Ver tablas siguientes).
El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un eje cualquiera es igual a la
suma de los momentos de inercia de las distintas partes que lo componen respecto a
dicho eje.
2
2
2
Por ejemplo, I x  rx dm  y  z dm 



m
m
 y
m1
2


 y
 z 2 dm 
m2
2

 z 2 dm  ... 
 y
2

 z 2 dm 
mn
 I x1  I x2  ...  I xn
Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deberá
restarse del momento de inercia de la parte mayor para obtener el momento de inercia
del cuerpo compuesto.
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Momentos de inercia de formas corrientes
1/3
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MECANICA I
Momentos de inercia de formas corrientes
2/3
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MECANICA I
Momentos de inercia de formas corrientes
3/3
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MECANICA I
PROBLEMA 10.14
Determinar el momento de inercia del volante de hierro colado de la figura
respecto a su eje de rotación. Densidad del hierro colado 7730 kg/m3.
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MECANICA I
10.4.4 Producto de inercia
En los estudios de movimientos de cuerpos rígidos (DINAMICA) aparecen, a veces,
expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeño elemento por
las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Se trata de del
producto de inercia del elemento.
Por ejemplo, el producto de inercia del
elemento representado en la figura respecto
a los planos xz e yz es
dIxy  x y dm
La suma de los productos de inercia de
todos los elementos de masa del cuerpo
respecto a los mismos planos ortogonales
se define como el producto de inercia del
cuerpo.
I xy   x y dm
m
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Así pues, los tres productos de inercia del cuerpo
representado son
I.T.I 1º:
MECANICA I
I xy   x y dm
I yz   y z dm
m
I zx   z x dm
m
m
Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones ML2
por lo que su unidad de medida del SI será el kg.m2
El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo ya que las
coordenadas tiene signos independientes.
El producto de inercia será nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de
simetría, ya que los pares de elementos simétricos respecto a éste tendrán productos
de inercia opuestos cuya suma dará cero.
Los productos de inercia de placas delgadas con densidad ρ uniforme, con grosor t
uniforme y una sección de área A y suponiendo además que los ejes x e y están
contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetría), serán
I xym   x y dm   x y  dV  x y  t dA  t  x y dA  t I xyA
m
V
I yzm   y z dm  0
m
A
y
V
I zx m   z x dm  0
m
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Se puede desarrollar, para los productos de
I.T.I 1º:
inercia, un teorema de Steiner muy parecido al de
MECANICA I
los momentos segundos mixtos de superficie
vistos anteriormente.
Considérese el cuerpo representado en la figura,
el cual tiene un sistema de coordenadas xyz con
origen en el centro de masa G del cuerpo y un
sistema de coordenadas x´y´z´ con origen en el
punto O´ y ejes paralelos a los anteriores. En la
figura se observa que
x´ x  x
y´ y  y
z´ z  z
Por tanto,
I x´ y´   x´ y´ dm    x  x  y  y  dm  x y  dm  x  y dm  y  x dm   x y dm
m
como
m
 x y dm  I
m
xyG
m
;
 y dm  0
m
tenemos que: I x´ y´  I xyG  x y m
;
m
m
m
 z dm  0
m
I y´z´  I yzG  y z m
I z´x´  I zxG  z x m
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PROBLEMA 10.16
Determinar los productos de inercia Ixy, Iyz e Izx de la voladera plana y homogénea
de acero de la figura. El orificio se encuentra en el centro de la placa. Densidad
del acero 7870 kg/m3.
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MECANICA I
10.5 Momentos de inercia principales
En algunos casos, en el análisis dinámico de cuerpos, hay que determinar ejes
principales y momentos de inercia máximo y mínimo.
El problema estriba en transformar momentos y productos de inercia fácilmente
calculables respecto a un sistema de coordenadas en los correspondientes a otro
sistema x´y´z´ de igual origen O pero inclinados respecto a los ejes xyz.
Considérese el cuerpo representado en la figura, en
donde el eje x´ forma los ángulos θx´x, θx´y y θx´z con
los ejes x, y y z respectivamente.
2
El momento de inercia Ix´ es, por definición: I x´  r dm

m
Desarrollando y realizando un análisis similar al que se realiza para localizar los ejes
principales y determinar los momentos segundos de superficie máximo y mínimo, se
pueden localizar los ejes principales de inercia y determinar los momentos de inercia
máximo y mínimo.
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PROBLEMA
EXAMEN
Un cuerpo compuesto consiste en un bloque rectangular de latón (ρ=8,75 Mg/m3)
unido a un cilindro de acero (ρ=7,87 Mg/m3) según se indica en la figura.
Determinar el momento de inercia del cuerpo compuesto y el radio de giro
respecto al eje y que se indica en la figura.
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PROBLEMA
EXAMEN
Calcula el momento de Inercia respecto al eje x del cuerpo de la figura siguiente
compuesto por dos cilindros de acero (ρ=7850 kg/m3) y una esfera de latón
(ρ=8750 kg/m3).
- 36 -
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