1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 5:
ESTÁTICA
FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I
Indice

Punto 5.1 Introducción

Punto 5.2 Centro de masa y centro de gravedad



Punto 5.2.1 Centro de masa
Punto 5.2.2 Centro de gravedad
Punto 5.3 Centroides de volúmenes, superficies y líneas



Punto 5.3.1 Centroides de volúmenes
Punto 5.3.2 Centroides de superficies
Punto 5.3.3 Centroides de líneas

Punto 5.4 Centroides de cuerpos compuestos

Punto 5.5 Teoremas de Pappus y Guldin
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MECANICA I
5.1 Introducción
Hasta ahora hemos tratado con fuerzas
concentradas representadas por un vector con su
módulo, una recta soporte, un sentido y en
ocasiones, un punto de aplicación.
Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un
punto sino que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una
superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La
fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y
sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables
frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza
concentrada.
Otras fuerzas llamadas másicas, debidas a efectos gravitatorios,
eléctricos o magnéticos, se distribuyen por toda la masa del cuerpo (se
miden en N/m3).
La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida normalmente a
ésta se denomina presión y se mide en N/m2.
La fuerza distribuida sobre una línea ejercida normalmente a ésta
se mide en N/m.
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MECANICA I
Hasta ahora hemos considerado los momentos de
fuerzas respecto a un punto o respecto a un eje.
En el análisis de muchos problemas de ingeniería aparecen expresiones que representan
momentos de masas, fuerzas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o
planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el plano xy) respecto al
eje y.
La superficie puede considerarse compuesta por un gran
número de elementos de superficie muy pequeños de
área dA, así el momento de un elemento respecto al eje y
será: dM  x dA
i
i
i
Y el momento total de la superficie A respecto del eje y
n
será:
M y   x i dA i o M y   x i dA i
i 1
A
El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un
plano puede definirse de manera análoga recibiendo el nombre de primer momento de
la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo o negativo ya que
las coordenadas pueden ser positivas o negativas.
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5.2 Centro de masa y centro de
gravedad
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MECANICA I
5.2.1 Centro de masa (C.D.M.)
Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría
concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto
a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la
masa distribuida.
Si consideramos un sistema de n puntos
materiales, las distancias a los planos de
coordenadas del C.D.M. G del sistema de
puntos materiales son:
n
M
yz
mx 
mx
i
i
o sea
x 
m
i 1
n
M
zx
m y 
m
i
yi
o sea
y 
n
xy
mz 
mz
i
i 1
i
1
m
i 1
M
1
o sea
z 
1
m
n
mx
i
i
i
yi
i 1
n
m
i 1
n
mz
i
i 1
n
i
Donde:
m
m
i
i 1
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MECANICA I
Las ecuaciones anteriores pueden condensarse
en una ecuación vectorial única así:
n
m x i  m y j m z k 
mx
i
n
i
i 1
i   mi yi j 
i 1
n
mz
i
i
k
i 1
n
de donde
m (x i  y j  z k) 
m
i
( xi i  y i j  z i k )
i 1
n
que se reduce a
MO  m r 
m
i
ri
o sea
r 
i 1
1
n
m

m
i
ri
i 1
ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es
ri  x i i  y i j  z i k
y el vector de posición del CDM respecto al origen es
r  x i  y j z k
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Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las
sumas se sustituyen por integrales extendidas a
toda la masa del cuerpo.
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MECANICA I
M
M
M
yz
mx 
zx
m y 
xy
mz 

x dm

y dm

z dm
o sea
x 
1
m
o sea
y 
1
m
o sea
1
z 
m
 x dm
 y dm
Donde: m   dm
 z dm
Vectorialmente:
m r 
 r dm   r 
m
r 
1
m
 r dm 
m
dV
V
1
r 

m
dV
V
donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la
densidad del elemento y dV es su volumen
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5.2.2 Centro de gravedad (C.D.G.)
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MECANICA I
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas
másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los
puntos materiales que constituyen el cuerpo.
• El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el C.D.G. del cuerpo.
• El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo
depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la
Tierra. En la práctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan la misma
aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de
las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de
la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad
que coincide con el CDM ya que:
W mg
• Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo
1
del CDM tendremos: M yz  W x   x dW o sea x   x dW
W
M
M
zx
W y 
xy
W z 

y dW

z dW
o sea
y 
1
W
o sea
z 
1
W

y dW
Donde:
W   dW
 z dW
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Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su
C.D.G. podrá determinarse considerando que el
cuerpo está constituido por infinitos elementos
cada uno de los cuales tenga un peso dW dado así:
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MECANICA I
dW   dV
donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el
volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:
W 

dV
V
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela
al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será
dM
y
y según la definición de CDG:
 x dW  x (  dV )
M
y
 x W  x   dV 
V

x (  dV )
V
así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:
x 

x (  dV )
V

V
 dV
y análogamente:
y 

y (  dV )
V

V
 dV
y
z 

z (  dV )
V

 dV
V
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MECANICA I
PROBLEMA 5.1
Cuatro cuerpos A, B, C y D (puntos materiales) están unidos a un árbol. Sus
masas son 0,2 kg, 0,4 kg, 0,6 kg y 0,8 kg, respectivamente y las distancias de sus
centros de masa al eje del arbol son 1,50 m, 2,50 m, 2,00 m y 1,25 m
respectivamente. Hallar el C.D.M. de los 4 cuerpos.
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MECANICA I
5.3 Centroides de Volúmenes,
Superficies y Líneas
5.3.1 Centroides de Volúmenes
Cuando sea constante el peso específico x  1
de un cuerpo tendremos que:
V

x dV
y 
V
1
V

V
y dV
z 
1
V
 z dV
V
Estas coordenadas (Centroide) solo dependen de la
configuración geométrica del cuerpo y son independientes
de sus propiedades físicas.
El centroide de un volumen coincide en posición con el
C.D.G. G del cuerpo si este es homogéneo. Cuando el
peso específico varíe de unos puntos a otros, el C.D.G. G
del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.
Ejemplo: En el caso de la figura, como el peso específico
de la parte inferior del cono es mayor que el de la parte
superior, el C.D.G., que depende del peso de las dos
partes, se hallará por debajo del centroide C que solo
depende del volumen de dichas partes.
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Flotación
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5.3.2 Centroides de Superficies
El C.D.G. G de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y superficie de
área A, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen dV
que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de superficie dA de la
placa en la forma siguiente: dV = t dA.
Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:
x 
1

A
x dA
A
y 
1

A
A
y dA
z 
1
z dA

A
A
5.3.3 Centroides de Líneas
El C.D.G. G de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área A y de
longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen
dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de longitud en la
forma: dV = A dL.
Así pues, para una varilla o x  1 x dL y  1 y dL z  1 z dL



alambre finos tendríamos:
L L
L L
L L
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5.4 Centroides de cuerpos
compuestos
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MECANICA I
Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos
centroides tengan posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el
momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los
primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del
centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la línea, superficie o
volumen.
Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, …, An y las
coordenadas de los centroides de las respectivas partes son x1 , x 2 , ..., x n tendremos:
M
y
 ( A1  A 2  ...  A n ) x  A1 x1  A 2 x 2  ...  A n x n
n
M
y
 A x 

Ai x i
o sea
x 
x
 A y 

1
n

A
Ai x i
i 1
te
n
M
y
A
i 1
análogamen
M
Si se considera un agujero como parte
integrante de un cuerpo compuesto,
su área se considerará magnitud
negativa.

i 1
Ai y i
o sea
y 
M
A
x

1
A
n

i 1
Ai y i
Se pueden desarrollar ecuaciones
análogas para L, V, m y W.
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Centroides en algunas Líneas y Superficies
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Centroides en algunas Líneas y Superficies
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MECANICA I
Centroides de algunos Volúmenes
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MECANICA I
Centroides de algunos Volúmenes
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MECANICA I
PROBLEMA 5.9
Una varilla delgada se ha doblado,
dándole la forma que se indica en la
figura. Localizar su centroide.
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MECANICA I
PROBLEMA 5.10
Localizar el centroide de la superficie compuesta de la figura.
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5.5 Teoremas de Pappus y Guldin
Teorema 1:
El área de la superficie de revolución generada
al girar una curva plana de longitud L
alrededor de un eje coplanario con ella y que
no la corte es igual al producto de la longitud
de la curva por la longitud del camino que
recorre su centroide.
Teorema 2:
El volumen V del sólido de revolución
generado al hacer girar una superficie plana
de área A alrededor de un eje coplanario que
no la corte es igual al producto del área de
dicha superficie por la longitud del camino
que recorre el centroide de la superficie.
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MECANICA I
PROBLEMA 5.11
Determinar el área A de la superficie y el volumen V del cuerpo (toro) generado
por rotación de 360º alrededor del eje y del círculo de la figura.
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MECANICA I
PROBLEMA 5.12
Determinar el área A de la superficie y el volumen V del cuerpo generado por
rotación de 360º alrededor del eje y de la superficie sombreada de la figura.
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tema5: centroides y centros de gravedad. -