ECONOMETRIA
Pruebas de Especificación en el
Modelo de Regresión Múltiple
Mtro. Horacio Catalán Alonso
Normalidad
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de Econometría
Y  β  U
El modelo de regresión múltiple asume diverso
supuestos estadísticos que determinan la validez
de los resultados econométricos así como la
inferencia estadística
Asume principalmente
E (U )  0
E ( U/  )  0
X
X
regresores
fijos
regresores
con muestras
aleatorios
independie
ntes
Horacio Catalán Alonso
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E (U )  0
X
E ( UU )  
/
E (U i )  
2
2
E (U iU j)  0
2
regresores
fijos
lo cual implica
que :
No Heterosced asticidad

i  j No Autocorrel ación
Estos supuestos garantizan que los estimadores
de mínimos cuadrados sean insesgados y
eficientes
E ( βˆ )  β
E ( βˆ )  
2
X X 
/
1
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La inferencia estadística sobre los estimadores de
MCO se pueden realizar bajo el supuesto de que
los errores se distribuyen como una normal con
media cero y varianza constante
U  0 , 
2

Supuesto de normalidad
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Propiedades de los estimadores MCO
Asintóticas
Nota: Se demuestra que se x es una variable
2

aleatoria con media μ y varianza
entonces
n    
Cuando n tiende a infinito converge a
una normal con media cero y varianza  2

n      N 0, 
2

Bajo esta idea se necesita probar como es la
distribución de n βˆ - β 
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
1)
ˆβ  β  X / X
2)
βˆ - β  X X

/

1

1
/
X U
/
X U
La diferencia entre el estimador y el parámetro
3)
1
n
βˆ - β  

X X 
n
1
/
1
/
X U

Permite analizar la distribución
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4)

X X 
n
1
1
/
X X
P lim n   
 n
/




X X
/
X U  
 n
/



1
/
X U
n
1
Q
1
La matriz de covarianzas de los regresores
converge a una matriz positiva. Esto se cumple
con regresores fijos o aleatorios con muestras
independientes
/
¿Cuál es la distribución de?
X U
n
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La expresión
1
/
X U se define como W
n
5)
1
X U W
/
n
Aplicando el valor esperado
6)
 1

/
E W   E 
X U  0
 n

Por el supuesto de ortogonalidad
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La varianza se define como:
7)
8)
9)
/

 1
 1
 
/
/
/
E W W  Var  W   E  
X U 
X U 
 n
 
  n





E W W  X UU

/

E W W 
/
/
/
X
1
n
 X X
2
/
n
Cuando el lim n   entonces
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10 )
E W W    Q
/
2
/
lim
X X
n
Q
1
n
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lim
1
n

X U  N 0,  Q
/
n
2

Si el término de error se distribuye como una
normal con media cero y varianza constante
entonces
-1
2
-1
ˆ
n β - β   N 0, Q  QQ 
 N 0,  Q
2
-1

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De este resultado se obtiene que:

n βˆ - β   N 0, n 
2
X X 
/
1

Si el estimador es insesgado

βˆ  N β, 
2
X X 
/
1

El estimador de normalidad de los errores
garantiza que los estimadores se distribuyan como
una normal.
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El supuesto de normalidad de los errores garantiza
que los estimadores se distribuyan como una
normal
El método de MCO garantiza estimadores
insesgados. Lo cual permite que la media del
estimador sea igual al parámetro
En la práctica
Q

1
Se aproxima por medio de
X
/
X

1
/
2
Se aproxima con
U U
N -K
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Heteroscedasticidad
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

Var U   E UU   I
/
2
Varianza constante


0
/
EUU   
 

 0
2
0

2
0
0

 0
No autocorrelación
  

2
  

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¿Cuáles son las implicaciones de varianza no
constante?
*
*
*
*
*
*
*
  
Var U i   E U
Varianza de
observación
2
i
los
*
i
para
errores
*
*
*
*
*
*
i  1,..., N
cambia
con
cada
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Bajo el supuesto de que no existe autocorrelación


0
V
 

 0
2
0

2
0
0

 0
/
 EUU 
  

2
  

La matriz de varianza y covarianza se modifica en
la diagonal principal la varianza cambia
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Existen diferentes especificaciones para la matriz V
Se asuma que la varianza puede cambiar en cierta
proporción dependiendo de la muestra
 2 W1

0


 

 0
 i2   2 Wi
0

 W2

2

0



0 
 

2
 Wn 
0
i  1,...n
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Que la varianza en cada punto de la muestra es
proporcional al cuadrado de un regresor
 2 X12

0

V
 


 0
 i2   2 X i2
0

 2 X 22


0



0 



2
2
 Xn 

0
i  1,...n
El aspecto fundamental es que la varianza de los
errores cambia con el tamaño de la muestra
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El estimador de mínimos cuadrados se define
como:
1)
1
ˆ
β  X´X  X´Y
Bajo el supuesto de
estimador es insesgado
2)
heteroscedasticidad
el
ˆ β
Eβ
¿Pero la varianza?
3)

ˆ )  E β
ˆ  β β
ˆ  β
Var(β
/

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4)
Si

ˆ)  X X
Var( β

E UU
/
/

-1
 V  
/

/
 
/
X E UU X X X
2

-1
I
Entonces
5)

ˆ)  X X
Var( β
/

-1
/

/
X VX X X

-1
Los estimadores pierden eficiencia
¿Cuáles son las propiedades estadísticas de X’VX?
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Aplicando las propiedades asintóticas
-1

X X 
1 /

  P lim n  X VX 
6)  P lim n 
n  
n


/
1 / 
Sabemos que P lim n   X X 
n

a una matriz positiva
-1

X X
 P lim n 

n 

/
-1
converge a Q-1
ˆ por MCO depende
La consistencia del estimador β
de
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-1
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Aplicando las propiedades asintóticas
7) P lim n 
1
n
X VX    
/
*
n
*
Si  n converge a una matriz positiva el estimador
converge al parámetro
*
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¿De que depende la convergencia de la matriz
X’VX?
Si la varianza cambia en cada punto de la muestra
que una proporción Wi i= 1,…,n
   Wi
2
i
2
i
donde Wi puede ser X2i el cuadrado de uno de los
regresores
Si Wi es finito para todo i, entonces Wi / n converge
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Observación
X’VX es la suma de cuadrados y el producto
cruzado de los regresores ponderados por Wi
Sea un modelo de consumo privado (CP) para un
conjunto de familias el cual depende del ingreso
(Y)y la riqueza financiera (RF)
8 ) CP t   1Y t   1RF t  U t
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 Y1
9) X  
 RF 1
/


10 ) V  



2
W1
0

RF 2

0

 W2

2

0
Y2

0

 Y1

Yn  /
Y2

X


 
RF n 

 Yn


0 



2
 W n 
0
 W1

0
2
 

 0
RF 1 

RF 2

 

RF n 
0

W1


0

0 

0



Wn 
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 Y1
11 ) X VX   
 RF 1
/
2
 n
2
  W i Yi
/
12 ) X VX   n t 1
 W Y RF
i i
i
 
t 1
Y2

RF 2

 Y1

Yn  /
Y2

X



RF n 

 Yn

 W i Yi RF i 
t 1

n

W
RF
 i i 
t 1

RF 1 

RF 2

 

RF n 
n
n
Si  W  1 entonces la matriz X’VX converge a una
matriz positiva
i
t 1
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¿Cuál es la solución para los estimadores de
MCO?
Es necesario encontrar un estimador para
13 )
1
/
X VX
n
White H. (1980), “A Heteroskedasticity-consistent
covariance estimator and direct test for
heteroskedasticity”, Econometrica, vol. 48, 11. 817838.
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Demuestra que
n
14 )
So 

2
Uˆ i
i 1
/
X X
T
Es un estimador consistente de
1
/
X VX
n
ˆ i2 = Errores de MCO
U
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Así con la expresión 14 la varianza del estimador
se aproxima por:
15)

ˆ)  X X
Var( β
/

1

/
So X X

1
Que puede ser utilizado para obtener la varianza
del estimador y realizar las pruebas estadísticas
Este procedimiento se conoce como estimación
robusta “Robust Standard errors”
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En nuestro modelo
16 ) CP t   1Y t   1RF t  U t
Una estimación robusta en:
a) Estimar por MCO la ecuación 16
b) Obtener los residuales U t
c) Obtener la varianza de cada estimador

ˆ)  X X
Var( β
/

1

/
So X X

1
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X X 
/
1
 n 2
  Yi
  n t 1
 Y RF
i
i
 
t 1

 Yi RF i 
t 1

n
2 
RF
 i 
t 1

n
X X 
/
n
La ponderación 
t 1
Wi 
1
 n 2 2
ˆi
Y
U

i

 t 1
 n T

2
ˆ
Y
RF
U
 i i i
t 1

T

n

t 1
2 
ˆ
Y i RF i U i 
T
n

2
2
RF i Uˆ i
t 1
T
2
Uˆ i
T
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





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Problemas con la corrección White:
• Las propiedades asintóticas de los estimadores
son ambiguas
• La suma de errores al cuadrado de OLS
subestima la varianza de los regresores
• No se recomienda para muestras grandes
• La Prueba de White es extremadamente general
no aporta información sobre la naturaleza de la
varianza
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Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS)
Si
   Wi
2
i
2
i
i  1,..., n
17) V   i 
2
Si es una matriz definida positiva, si exite una
matriz P no singular que tiene la propiedad de
18) P  P'  I
De lo cual se deduce que
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19) P' P  
1
20) Var U   P V P'   P  P'
2
De 21 Y   β  U
Multiplicado por P
22)
PY  P  β  PU
23)
Y*   * β  U *
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Se define el estimador GLS
ˆ
β
 X *´X * X *´Y *
GLS
1
 X´P' PX  X´P' PY
1
24)

ˆ
β
 X'  X
GLS
-1

1
X'  Y
-1
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P  P'  I
 W1

0

Si  
 

 0
0
W2



0

0 

0



Wn 
 1
W
 1
 0
2
 
 

 0

0
1

0

0
W2

0

1
Wn









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



P





1
0

W1
0
1

W2

0

0


0


0 



1 
W n 
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



P  P'  









I  





1



0 



1 
W n 

0
0
W1
0
1

W2

0
W1


0
0
 W1

0

 

 0

0

0
W1
0
W2
W2

0

0

Wn
Wn
0
W2



0

0 

0



Wn 










1
0

W1
0
1

W2

0

0




0 



1 
W n 
0










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



PY  




CP 1 

W1

CP 2 
W2 



CP n

W n 




PX  




Y1
W1
Y2
W2

Yn
Wn
RF 1 

W1

RF 2 
W2 



RF n

W n 
El estimador GLS es una ponderación de las
variables del modelo
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Así
27)
1
2
ˆ
Var β GLS    X*' X *

28)
S
2
GLS
2
X' 
ˆ

Y * -X * β

-1
X

1
 Y * -X * βˆ
/
GLS
N  K 
GLS

1
ˆ
Y - Xβ GLS   Y - Xβˆ GLS 
/

N  K 
Estimador de la varianzxa de los errores
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ˆ

q - Rβ
F
 R X' Ω
/
GLS
1
  q - Rβˆ
X R'
1
GLS
/ q
2
GLS
S
Que permita realizar inferencia estadística en el
modelo
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• Sin embargo GLS requiere la matriz Ω, es decir,
en cuanto se afecta la varianza en cada punto de
la muestra
• Una especificación común es atribuir la varianza
al cuadrado de uno de los regresores
  X
2
i
2
2
i
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La varianza del error se debe al ingreso (la variable
más relevante para el consumo)
Se transforma el modelo como
CP t
Yi
 1
Yt
Yi
 2
RF t
Yi
 Ut
Se obtienen los estimadores por GLS
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• No es el procedimiento más adecuado
• No se puede determinar que variable afecta a la
varianza de los errores
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En general se obtiene una estimación de la matriz
Ω

ˆ
β
 X'  X
GLS
-1

1
X'  Y
-1
Este procedimiento se conoce como Mínimos
Cuadrados Factibles (FGLS)
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Procedimiento
(FGLS)
Mínimos
Cuadrados
Factibles
a) Estimar el modelo
ˆi
b) Obtener los residuales U
c) se obtiene un estimador de la varianza de los
errores
2
 Uˆ
S 
2
i
N  K 
d) El estimador es utilizado como un ponderador
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(FGLS)
ˆ 1

 1
S2

0
 

 
 0


0

0
S


0


1
0
1
2
S
2








• Las variables del modelo son individuales por
varianza de los errores de MCO
• Es una forma de estandarizar las variables
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Cuestiones a revisar
• Transformar las variables por medio de logaritmo
a índices o estandarizadas reduce el problema de
la varianza
• ¿Qué sucede si la varianza en series de tiempo
sigue un proceso como el siguiente?
  1
2
t
2
t -1
 t
 t ~ N0,  
2

• Es posible aplicar GLS o FGLS
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Autocorrelación
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1)
Eui u j   0

i j
No existe autocorrelación en le término de error
que sucede si
E ui u j   0
2)
 2

Eu 2 u1 

E UU'  




E u n u1 
Eu1u 2 

2



Eu n u 2 

E u1u 2 

Eu 2 u n 



2



Se afecta la matriz de varianza y covarianza de los
errores
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3)
1
ˆ
β  X' X  X' Y
El estimador por MCO sigue siendo insesgado
4)
1
1
ˆ
Var β   X' X  X' EUU' XX' X 
Pierde eficiencia
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Asumiendo un proceso de autocorrelación de
orden uno
1)
u t   u t -1  ν t
Donde
 1
Eu t -1 ν t   0
Var ν t    
2
Eν t   0
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Bajo el supuesto de no Heteroscedasticidad
2)
Var u t   
3)
Var u t   E u
4)
Var u t   E  u
2
   E u

2
t
2
2
t -1
t -1
 νt

2
 2  u t -1 ν t  ν
2
t

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5)

Var u t    E u
2
2
t -1
  2  E u
6)
Var u t      σ
7)
    σ
8)
2
2
 
2
2
σ
2
2
t -1

 
νt  E ν
2
t
2
ν
2
ν
2
ν
1 
2
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Es necesario definir
Eu t -i u t -s 
9)
Es decir la covarianza de los
errores
Covu t , u t -1   Cov u t -1  ν t , u t -1 
  Cov u t -1 , u t -1   Covν t u t -1 
  Var  u t -1   E ν t u t -1 


2
ν
1 -  
2
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Covu t , u t -1   
10)
 ν2
1 -  
2
Covu t , u t - 2   Cov u t -1  ν t , u t -1 
  Cov u t -1 , u t - 2   Covν t u t - 2 
  Var  u t , u t -1 


 
  1-  2


2
ν

  2 


  1-  2
 

2
ν





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De manera general
11)
Covu t , u t -s  
Se define
 S ν2
1 -  
2
Covu t , u t    0 

2
ν
1 -  
2
El coeficiente de correlación se define como
12)
Corr u t , u t -s  
S
0
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 S ν2
13)
Corr u t , u t -s

1-  

2
 ν2
1 -  
2
14)
Corr u t , u t -s   
S
El procesos de autocorrelación es aproximado por
el coeficiente de correlación
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Así  2  se define como
 
2

2
ν
1- 
2
E u t u t -1   
E u t u t - 2   
2

E u t u t -S   
S

E u t u t -(t -1)   
t 1
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15)
 1

 
2
  ν  2
2

   
2  
 1-  
 
 t 1


2

1

 t 2

 t 1 

 t 2 





1 
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Dado que la matriz Ω no es igual a la identidad es
necesario aplicar un método que permita obtener
estimadores consistentes:
• Bajo la estimación de MCO los estimadores
siguen siendo insesgados
16)
1
1
2
ˆ
Var β    X' X  X' XX' X 
  X' X    X' X   X' X  
1
2


T 
T
1


T


T


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Las propiedades de la varianza dependen de:
17)
X' X
Es necesario que
una matriz positiva
1
T
X' X cuando T → ∞ sea
Q
*
T
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18)
1
T
T


T
t s
XtX
'
s
t 1 s 1
donde X t y X de X y  t s es el coefieente
de autocorrelación entre ut y us
'
s
La expresión 18 convergen rapidamente cuando el
k
coeficiente  converge a cero. Cuando T → ∞ sea
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Ejemplo:
y t  βx t  u t
u t  ρu t 1  ν t
t  1,2,3
1
1
1

X' X  x1x 2 x 3   
T
T
 2


1

   x1 
2
 
  x2
 
1   x 3 
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x
 x 2   x 3
x1  x 2  x 3
2
1
x



 x 2 x1   x 3 x1  x1x 2  x  x 3 x 2 
2
1

 

 x1 
 
2
 x1  x 2  x 3 x 2
 
 x 3 
2
2
x1x 3  x 2 x 3  x
3
3
2
2

1  x  x  x   x 2 x1  x1x 2  x 3 x 2  x 2 x 3   
 2

T   x 3 x1  x1x 3 

2
1
2
2
3
3
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

1  x  x  x  2  x1x 2  x 2 x 3   
 2

T   x1x 3 

1
T
'  
2
1
1
T
2
2

2
x
2
3
 2  x  2   x    2 
2
2
2
 x 
T 1
2
Es una suma ponderada de la covarianza de las
variables explicativas
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La ponderación esta determinada por ρ
La convergencia esta definida como:
1
T

 1   
2
x
1 
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ρ define las propiedades de la varianza de los
estimadores por OLS
І ρ І < 1 se garantiza convergencia
Que pasa en los casos en que
ІρІ>1
ІρІ=1
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La matriz  ' converge a una matriz positiva
T
si І Ρ І < 1 por lo tanto se puede obtener una
estimación por GLS
donde

ˆ
β
 X'  X
GLS
' P  
-1
-1
ˆ

Var β
GLS

1
X'  Y
-1
P
2
X' 
-1/2
-1
X

1
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 1  2

 

0




0

P
-1/2
0
0

1
0


1



0
0
' P  

0

0
0



0
-1
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
 1

2


1


1 
1
 
2
1   


0
 0

0
0
 
0
0
0

0

  1 
0
 X'  X 
ˆ
 
Var β
GLS

T 
T

2
-1

0 

0

 

1 
1
La varianza de los estimadores GLS depende de la
varianza de los regresores y de ρ
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Varianza Relativa
ˆ

1   1   
Var β
OLS
2
2
ˆ
Var β GLS 
1   / 1    2

ρ=0


Ambos estimadores son ineficientes
ρ = 1
La varianza de OLS crece más que la
varianza de GLS
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Así la transformación en las variables se define
como
 1  2 Y 
 1  2 X 
1
1




 Y2   Y1 
 X 2   X1 
PY  Y*   Y3   Y2  PX  X*   X 3   X 2 














YT   YT -1 
X T   X T -1 


ˆ
β
 X*'  X *
GLS
-1
1
X*'  Y *
-1
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y t  xtβ  u t
Si
u t   u t -1  v t
y t -  y t -1  β  x t -  x t -1   u t -  u t -1 
No tiene problemas de
atucorrelación
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Ejemplo:
CP t -  CP t -1  β 1 Y t -  Y t -1   β 2 RF t -  RF t -1    t
La corrección Durbin-Watson en 2 etapas es una
estimación GLS
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El problema es obtener una estimación de la matriz
ˆ

Es necesario estimar
correlación
ˆ
el coeficiente de
ˆ permite obtener estimadores
Una estimación de 
FGLS
¿Cómo calcular 
ˆ ?
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ˆ
Opciones para estimar 
1) Estimar ecuación
u t   u t -1  v t
ut
Residuales OLS
ˆ OLS
(Durbin-Watson 2 etapas). Obtener 
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2) Box-Pearce
T
ˆ r 
u
t
u t -r
t  r 1
T
u
t 1
2
t
t
Función de Autocorrelación
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3) Estimadores OLS modificado
T
~ 
u
t
u t -1
t2
T
u
t2
2
t -1
t
No incluye completamente
la suma de los errores
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4) Modelo MA(1)
Se asume que los errores siguen un proceso de
media móvil de orden 1
u t   t  
t -1
donde θ es la estimación de ρ
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5) Un proceso diferente es utilizar una estimación
robusta
1
1
~
ˆ
Var β   X' X  X' XX' X 
Lo cual implica:
• Obtener un estimador aproiado de la varianza de
OLS
• Interporar la corrección de autocorrelación
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White (1986) porpone un estimador de la varianza
Newey y West (1987) incorporar la corrección de
autocorrelación
El problema es obtener un estimador de

1
T
T


T
t s
XtX
'
s
t 1 s 1
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Se propone
S*  S0 
1
T
T
W(l )uˆ uˆ  

T
t
t -l
t
t l
  t l  t 
t 1 s 1
T
donde S0   uˆ   t
2
t
'
t
t 1
W(l )  1 -
l
L 1
ponderador
uˆ t  residuales OLS
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• El
problema
de
autocorrelación
estimadores ineficientes
genera
• Se puede corregir por medio de FGLS si es
posible un estimador de ρ
• FGLS implica una transformación de las variables
• Se puede obtener una estimación robusta por
emdio de Newey-West
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Problemas
• FGLS asume autocorrelación de primer orden y
ІΡІ<1
• ¿Qué sucede cuándo?
u t   1 u t -1   2 u t - 2  v t
El proceso de autocorrelación es de orden dos o
superior
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• Es más complicado la especificación para GLS
• Newey-West propone una corrección semiparámetrica
• Hendry propone como solución los modelos de
especificación dinámica
• La teoría de series de tiempo asumen que las
series son procesos estocásticos. Modelos AR,
MA y ARIMA
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ECONOMETRIA
Pruebas de Especificación en el
Modelo de Regresión Múltiple
Mtro. Horacio Catalán Alonso
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